我們都需要多一點信心，對嗎？ 嗯……也許在某個領域我們應該「少一點」信心。 諷刺的是，這個區域是我們對信賴區間。
首先，我們來談談為什麼信賴區間有用。 當我們進行推論統計時，我們這樣做是因為我們沒有來自人口的所有資訊或數據。 我們正在做出明智的猜測，但我們並不總是完全正確。 就像我們使用統計數據來查看當地大學的 200 名學生樣本的智商是否高於一般人群一樣。 如果我們測量每一個學生，我們就不需要統計數據。 我們會了解平均智商是多少以及它是否高於人口平均智商 100 的真相。
例如，您可能會根據您對朋友消費的 10 瓶啤酒的平均體積的仔細（如果不是過分）測量，猜測您最喜歡的啤酒廠的平均倒入量為 15.7 盎司（標準差約為 0.51 盎司）昨夜。
酒吧聲稱其可倒出 16 盎司，因此您可能會因為少了 0.3 盎司您最喜歡的比利時啤酒而感到有點惱火。
但即使 15.7 盎司是您的最佳猜測，15.7 也不太可能是啤酒量的「準確」人口平均值。 更準確的說法是，獲得 15.7 盎司的平均值使您非常有信心總體平均值「接近」15.7 盎司。
這種不確定性——整個「近」部分——是我們經常想要用數字表示的東西。 我們在頻率主義者中這樣做的方式，零假設顯著性檢定（NHST）框架具有信賴區間。
信賴區間可讓您呈現範圍值而不是單點估計。 您可以根據數據將此範圍視為我們總體參數（此處為平均值）的合理候選範圍。 這個範圍很有用，因為它強調了我們點估計中固有的不確定性。 就像您不一定期望嬰兒在預產期出生一樣，而是在預產期前後出生。
但嘗試用信賴區間進行推理？ 這可能會有點棘手。 置信區間與置信水準配對，例如 95% 或 99%，但如果您真的願意，您可以計算出 90.273612% 的置信區間…儘管每個人都可能認為您真的很奇怪。 但是一旦有了置信區間，它意味著什麼？
抽樣分佈
在我們回答這個問題之前，我想退一步談談我之前提到的頻率主義框架。
頻率論者將總體參數視為一些真實的、堅定不移的值，而我們收集的資料樣本是隨機的。
我們可以繪製所有可能的樣本意味著我們可以可能透過計算當地啤酒廠倒出的 10 種不同啤酒的平均體積即可得出。 由於我們擁有的只是樣本數據，因此這是我們對該分佈的最佳猜測。
這被稱為抽樣分佈，樣本平均數抽樣分佈的縮寫，有點拗口。 正如我所提到的，這個分佈告訴我們，如果我們從這家啤酒廠隨機抽取 10 種啤酒併計算其平均值，我們獲得每個平均值的可能性有多大。
這是一個很好的方式來表示我們對 15.7 盎司是否「完全」是總體平均值的不確定性。 根據我們掌握的數據，15.7 盎司是最可能的數值，也是我們分佈上的最高點。 但我們的平均值可能為 15.8，這也是合理的。 我們得到的平均體積超過 16 盎司的可能性相對較小，但也有可能。
因此，如果這個分佈代表了我們期望獲得的可能平均值的 100%，我們可以透過使用它來創建一系列合理的價值來對沖我們的賭注。
傳回信賴區間
假設我們想要「非常」小心。 我們希望我們的範圍包含分佈中 99% 的值。 我們可以計算出分佈的中間 99% 的密度在哪裡。
我們透過以下事實來做到這一點：抽樣分佈的形狀類似於自由度為 n（樣本大小）負 1 的 t 分佈。
如果我們想要分佈的*中間* 99%，這意味著我們希望分佈的 1% 超出我們的範圍，即兩側各 0.5%。 因此我們可以找出該分佈中第 0.5 個和第 99.5 個百分位的位置。
快速 Google 搜尋或計算會告訴您，t 值 -3.249836 代表第 0.5 個百分位，t 值 3.249836 代表第 99.5 個百分位。 因此，這兩個 t 值之間的任何值都在我們的 99% 置信區間內。
但我們並不真正想要 t 值...我們希望我們的範圍採用常規單位：盎司！ 幸運的是，我們可以快速轉換它們。
t 值是兩個平均值（通常是觀測平均值和基線平均值）之間的距離除以標準誤差（即我們的樣本標準差除以 n 的平方根）。
例如，如果我們想知道要取得平均體積為 16 盎司的 10 瓶啤酒樣本的 t 值，如果真實平均值為 15.7 盎司，我們就可以計算出來。
因此，要將 t 值轉換為盎司，我們需要向後執行此過程。 我們乘以標準誤差，然後加回平均值。
這意味著我們的置信區間範圍約為 15.18 至 16.22 盎司。 
好的，所以我們計算了 99% 的置信區間，我們知道它是包含採樣分佈密度 99% 的範圍……但下一步是「解釋」該區間……這可能有點小棘手。
解釋
該區間包含「大多數」我們根據觀察到的數據認為合理的值。 所以它*可能*包含真實的總體平均值，對嗎？
我們可能會。 99% 置信區間中的 99% 也告訴您，如果您使用此精確過程計算了一堆不同的 99% 置信區間，則其中大約 99% 將包含真實總體平均值。
但很容易將這一事實與常見的誤解混為一談，即單一 99% 置信區間有 99% 的機會包含真實總體平均值。 這不是真的。
我們擁有的「信心」是在計算置信區間的「過程」中…而不是在我們特定的置信區間中。
例子
信賴區間也可用於決策。 假設您在啤酒廠工作。 也許就是在您最喜歡的當地啤酒廠提供美味啤酒的同一個。 你有一台機器可以測量一批啤酒花中「軟」樹脂與「硬」樹脂的百分比，啤酒花具有獨特的霉味。
您希望該值約為 8%，因此對於每批新發貨的啤酒花，您都會採集一些樣品並記錄“軟”樹脂的百分比。 然後計算「軟」樹脂百分比的 95% 信賴區間。
只要置信區間包含 8%，您就認為該批次沒問題，因為 8% 是我們根據樣本發現「合理」的總體值之一。 所以，你把它送到工廠。
如果您的置信區間 *不* 包含 8%，則您認為這批啤酒花不合格，並將其發送到農場用於動物飼料。
如果您的啤酒花*從來沒有*出現過問題，並且「軟」樹脂的真實百分比始終為 8%，則 95% 的情況下，您的置信區間將包含 8%。
5% 的情況下不會。 這 5% 就是我們所說的誤報 – 或 I 類錯誤 –因為您錯誤地將一批完美的啤酒花標記為不合格。 但是，好消息是您可以控制這種情況發生的頻率。
此誤報率始終為 100% 減去您的置信水準。 因此，作為一家企業，您可以決定願意錯誤地丟棄優質啤酒花的頻率。
本質上，你是在用給豬餵幾批好的啤酒花的經濟損失來換取捕獲一批“實際上”不好的啤酒花的能力。
推理
使用信賴區間進行推理與對相同資料進行 t 檢定非常相似。
我們對您當地啤酒廠倒出的啤酒盎司數的 99% 置信區間為 15.18 至 16.22 盎司。 由於 16 盎司（啤酒廠聲稱的平均值）在我們的置信區間內，因此我們不能聲稱有證據表明他們沒有倒酒。 根據我們觀察到的數據，我們仍然認為16盎司是一個相對「合理」的價值。
我們所說的「合理」是指與 15.7 盎司相比，其誤差在 3.25 個標準誤差以內。3.25 來自找出 99% 信賴區間的臨界 t 值。 它標示了 99% 採樣分佈所在的截止點，在任一尾部僅留下 0.5% 的分佈。
如果一個值與 15.7 盎司的距離小於 3.25 個標準誤差，那麼我們認為它是「合理的」。
事實證明，如果我們使用 alpha = 100% 置信水準（即 p < 0.01）進行 t 檢驗，我們也會測試兩個數字的相差是否超過 3.25 個標準誤。 但這次，我們要看看我們的樣本平均值（15.7 盎司）是否與我們的假設平均值（16 盎司）相差超過 3.25 個標準誤差。當某物與 16 盎司（n = 10）相差超過 3.25 個標準誤差時，我們拒絕原假設。 如果小於 3.25 個標準誤差，我們失敗拒絕原假設。
由於16 盎司處於我們的99% 置信區間內，我們已經知道它與16 盎司的標準誤差小於3.25 個標準誤差，因此在p < 0.01 水平上，15.7 盎司的平均值*不會*與16 盎司有顯著差異。
事實上，當 alpha = 100%（信賴水準）時，信賴區間內的任何值都不會與樣本平均值有顯著差異。
JMP 中的信賴區間
讓我們為超級英雄的身高創造一個置信區間Kaggle 資料集（另請參閱所附資料表）。您可以使用分析>分佈選單中JMP。 選擇高度，並將其添加到Y_列。 選擇“確定”，然後在彈出的視窗中尋找變數旁邊的紅色三角形。 選擇信賴區間從選單中選擇您所需的置信度。 繁榮！ 你有信心了！ 預設將顯示 95% 信賴區間，但您可以使用選單選擇其他信賴區間等級。
您也可以根據下列參數建立參數估計值（例如平均值和迴歸斜率）的置信區間：適合模型平台。 使用“擬合模型”平台創建模型 - 就像這個超級英雄身高和體重的回歸模型 - 並向下滾動到參數估計。 右鍵單擊表格並選擇低於95%和95%以上。 您的參數估計表現在包含信賴區間！
如果您想提高效率，您也可以按住 Option + 右鍵單擊顯示表格的設定面板並立即選取兩個方塊。
現在您對置信區間有了更多的了解，希望您對他們的解釋更加有信心（哦，來吧，您知道我必須...）。 快樂分析！
