謎を解き明かしたい実験計画法(DoE) 初心者が混乱する可能性のあるいくつかの用語や概念について簡単に説明します。 この全体を通じて一連のブログ投稿では、水サンプル中の微量不純物の GC-MS 分析で大容量インジェクター (LVI) を設定する方法を理解することを目的としたケース スタディを使用してきました。 計画された実験で探す最も重要な特性のいくつかを説明するための例として、8 つの LVI 因子の設定の 26 の組み合わせをテストすることからなる実験計画を導入しました。
このシリーズの以前の投稿では、重線形回帰を導入しました26 回の実験で次の結果が得られたことがわかりました。有用な相関プロパティ主効果、二次効果などの重要な動作を理解するため二因子交互作用。 ただし、潜在的に重要な効果をすべて含む重線形回帰モデルを構築することは不可能であることも明らかにしました。 モデルでは効果ごとに少なくとも 1 回の実行が必要で、すべての主効果、二次関数、二因子交互作用、および切片を追加して、合計 44 個のパラメーターを推定する必要がありました。 これを、12 席しかない部屋での会議に 20 人を招待することに例えました。
この投稿では、考えられるすべての効果のうちどれがモデルに含めるのに重要であるかを理解する方法を見ていきます。 アインシュタインは、「すべてのものはできるだけシンプルにすべきだが、それ以上にシンプルにするべきではない」と言ったとされています[1]。これが私たちがここで目指しているバランスです。 検出信号を最大化するように LVI を設定できるように、知る必要がある動作を捕捉するシステムのモデルが必要です。 重要な効果を見逃したくはありませんが、不必要に複雑なモデルも望んでいません。 私たちには、倹約的なモデル。
26 回の実験からのデータを使用して、最も重要な効果のみを含む重線形回帰モデルを構築する方法を見ていきます。 まず、会議のたとえ話に戻りますが、限界点を超えないようにしてください。
最良の会議を段階的に構築する
What if 20 people wanted to attend a meeting in a room that holds only 12? (Photo from https://unsplash.com/search/photos/meeting)What if 20 people wanted to attend a meeting in a room that holds only 12? (Photo from https://unsplash.com/search/photos/meeting)What if 20 people wanted to attend a meeting in a room that holds only 12? (Photo from https://unsplash.com/search/photos/meeting)What if 20 people wanted to attend a meeting in a room that holds only 12? (Photo from https://unsplash.com/search/photos/meeting)12 人しか収容できない会議に 20 人が参加したい場合はどうなるでしょうか? (写真はhttps://unsplash.com/search/photos/meetingより)私たちの会議には 12 人しか参加できないのですが、参加したい人は 20 人います。 最高の会議を開催するには、この 20 人のうち誰がその部屋にいる必要があるでしょうか?
ステップ 0 から開始して、段階的に出席者を選択してこれに答えます。
ステップ0。 会議室には誰もいない状態からスタートします。
ステップ1。 私たちは会議に参加している 20 人をそれぞれ自分で試してみて、会議の質が最も高かった 1 人を選びました。ケイティです。彼女がこの会議に最適な人物です。 他の人は今のところ部屋の外にいます。
ステップ2。 次に、残りの 19 人の参加者を検討し、各参加者を部屋に入れて、Katie + 1 のどのペアが最良の会議を提供するかを調べます。 ケイティ + ロバートが最適であることがわかりました。 残りの 18 人は部屋の外にいます。
ステップ3。 残りの 18 人の参加者を調べて、Katie + Robert + 1 のどの組み合わせが最適かを調べます。 ジュディを部屋に加えます。
ステップ4。 等々…
ステップ12。 …満室になるまで。
これは私たちができる最高の会議でしょうか？ 私たちは、マイケルが 12 人目の出席者として追加するのに最適な人物であることがわかりました (他の 8 人、特にフィリップはひどかったです)。 マイケルは、自分の参加を正当化できるほど会議に貢献するでしょうか? 彼はただ電話をタップして会議を中断することにほとんどの時間を費やすのでしょうか? 本当に会議に 12 人全員が必要ですか?
ここで、ステップ 0 から 12 までに会議の質がどのように変化したかを見てみましょう。 会議の品質が最も高かった場所を探し、それがステップ 4 であることがわかりました。
Meeting Quality versus Step.Meeting Quality versus Step.Meeting Quality versus Step.Meeting Quality versus Step.会議の品質とステップ。
私たちは、ケイティ、ロバート、ジュディ、ルイーズとの出会いが最良であると結論付けています。 会議に必要な理解をカバーする最適なバランスを見つけました。 他の参加者全員が有益な貢献をする可能性はありますが、非常に多くの人が部屋で互いに話し合うことによるマイナスを上回るほど重要ではありません。
これは会議を設計する良い方法でしょうか? わからない。 試してみて私に知らせてもいいかもしれません。 ただし、これは、次のデータを使用してモデルを構築する方法の良い例えです。計画された実験。
最適なモデルを段階的に構築する
PkHt(SUM) モデルの場合、44 の可能な効果があります。 ミーティングに誰を参加させるかを決定したのと同じ方法でモデルを決定します。
ステップ0。 まず、切片のみのモデルを 26 回実行した実験のデータに適合させます。どの要素も応答に重要な影響を与えない限り、このモデルは単純すぎて役に立ちません。 モデルには因子効果がないため、予測プロファイラーには X 軸がありません。
実際の応答結果とモデル予測をプロットすると、このモデルがあまり役に立たないことがわかります。
各実行の実際の結果と、その要因の設定に対するモデルの予測の間にはあまり一致がありません。 完全に予測するモデルの場合、点は 45 度の線に揃います。 現在のモデルは 1 つの値のみを予測します。 これは、すべての実行 (4862070) の平均 PkHt(SUM) を示します。これは、要因の影響について何も知らない場合の PkHt(SUM) の最良の推定値です。
ステップ1。切片と他の 43 パラメーターのいずれかを含む最良のモデルを探します。 43 の異なる可能なモデルを当てはめたところ、切片と Speed(Inj) の二次効果を備えたモデルが最適であることがわかりました。 他の 42 のエフェクトはすべて、この段階ではモデルに含まれていません。
以下は、Speed(Inj) に対する PkHt(SUM) の曲線変化を示すプロファイラー プロットです。
実際の値と予測値は改善されていますが、まだ素晴らしいとは言えません。
ステップ2。Vol(Inj) と T(Inj) の相互作用が、このステップで追加する最適な効果であることがわかります。 この効果は、Vol(Inj) を最低設定に設定したプロファイラー プロットから確認できます。
…そして最高設定で。
PkHt(SUM) 対 T(Inj) の傾きがどのように変化したかに注目してください。 ここでも、実際と予測の間の一致が改善されています。
ステップ3から19。 このようにして、各ステップで最も重要なエフェクトを追加していきます。
ステップ20。 ステップ 20 に早送りすると、すべての因子からの効果が、20 の効果と切片を含む複雑なモデルに組み込まれます。
実際の値と予測値ははるかに良くなりました。
実験で実行したのと同じ数のパラメータを適合させるまでさらに進めることもできますが、おそらくこの段階ですでにオーバーフィットしていると思われます。 ここで、モデルの品質がステップ 0 から 20 までどのように変化したかを振り返ってみましょう。 実際と予測がどのように変化したかを確認できます。
おそらく複雑さは犠牲になりますが、ステップを進めるにつれてモデルが改善されていることがわかります。 各ステップで、最良のモデルとなるエフェクトを追加しましたが、「最良」が何を意味するかについては言及しませんでした。 各ステップで最適なモデル、およびすべてのステップにわたって最適なモデルを決定するプロセスを確立するには、モデルがどの程度優れているかを数値化できる必要があります。 実際、統計学者はこれを行うためのさまざまな方法を考え出しました。 この例では、修正された赤池の情報量基準またAICc 。 各ステップで、AICc が最も低いモデルに与える効果を追加しました。 ここに、AICc とステップ番号のプロットがあります。
AICc が低いほど、モデルが優れていることを表します。データへの適合が向上するにつれて、AICc は減少します。モデルにパラメータを追加すると、AICc が増加します。 これを使用して、適合性と複雑さのバランスがとれたスイート スポットを見つけることができます。 この場合、AICc がステップ 0 からステップ 7 まで減少し、その後ステップ 20 に向かってスケール外に増加していることがわかります。 (黄色と緑色のバンドはガイドです。これらの範囲内の AICc を持つモデルは、最良のモデルとある程度同等です。) したがって、ステップ 7 でモデルを選択する可能性があります。
前進と後退
私たちが説明したプロセスは次のように呼ばれます段階的回帰また段階的な選択。 より具体的には、私たちが使用したのは、前方段階的な選択。 使用できます後ろ向き適合するパラメータよりも多くの実行がある場合に選択できるため、モデル内のすべてのエフェクトから開始し、各ステップで最も重要でないエフェクトを取り除いて逆方向に作業することができます。 順方向と逆方向を組み合わせて使用することもできます。 もう 1 つの選択肢は、指定するかどうかです。影響遺伝、そのため、二次効果は、その主効果もモデル内にある場合にのみ含めることができます。 一般に、効果の遺伝に従うモデルが好まれます。
これらのさまざまなオプションやその他のオプションは、次のようなソフトウェアで段階的に自動化されたプロセスで利用できます。 JMP 。 一般化回帰プラットフォームJMPプロモデルの可能性を探るためのインタラクティブで視覚的なインターフェイスを提供します。 これは、モデルの最終的な選択が AICc や 1 つの統計的尺度だけに依存しないため便利です。
「すべてのモデルは間違っています…
[2] この有名な引用は、DoE を初めて使用する場合に心配になる真実を表しています。つまり、結局のところ正しい答えはありません。 モデルは実際の動作に近似するため、常にある意味で「間違っている」ことになります。 これが問題だと考えるべきではありません。 このように「間違っている」モデルがあると、科学的および工学的目標を達成するために重要な動作を理解することに集中できるようになります。 前に述べたように、私たちは倹約モデルを目指しています。
この例では、比較的多数の考えられる効果を並べ替えて重要な少数の効果を見つけることで、有用なモデルを構築する方法を確認しました。 また、システムに関する経験と知識とともに統計的手法を使用して、最も有用なモデルを選択する方法についても説明しました。 私たちが計画した実験により、最小限の実験労力で、これを達成するために必要なデータが得られました。 この方法では、計画の相関特性が明確であるため、各ステップで最良の効果を選択できます。 繰り返しになりますが、最も有用なソリューションに効率的に到達することに自信を持ちたい場合は、DoE を使用する必要があるということがわかります。
このシリーズの最後の投稿では、これまでに学んだことをすべて要約し、見逃したことについてもお話したいと思います。
ノート
[1]実際には、アインシュタインはこんなことは言っていなかったようです。 皮肉なことに、彼のバージョンは思ったほど単純ではありませんでした。
[2] ジョージ・ボックス。 見るこのウィキペディアのエントリ多くのための。
