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何時使用穩健擬合選項來減少異常值的影響

下圖是使用 JMP 的「二元關係」功能顯示的報表。在兩張圖中，我們可以看到 Y 軸上「三酸甘油酯」的值明顯大於其他數據（這些值可以被視為異常值）。綠線顯示的是「穩健擬合」的結果，該擬合降低了這些異常值的影響。

當 Y 為連續且 X 為連續時，JMP 的二元關係工具在二元報告中提供穩健擬合選項；當 Y 為連續且 X 為名目或序數時，JMP 的二元關係工具在單向報告中提供穩健擬合選項。

在本文中，我們將展示如何處理資料包含異常值的情況，並將解釋一種方法，穩健估計，並提供範例並將其與傳統的估計方法進行比較。

一位 JMP 客戶之前評論說 JMP 具有這種強大的估計功能，我相信它對其他用戶也可能有用。

出現異常值時該怎麼辦

在將模型擬合到資料時，有三種典型方法可以減少異常值的影響：

1. 刪除異常值
2. 執行變數變換（例如對數變換）
3. 進行受異常值影響較小的擬合（穩健估計值）

圖表是 JMP 中許多報告的第一個顯示內容，因此仔細檢查圖表中是否存在異常值非常重要。

第一步中去除異常值的方法必須經過仔細考慮，包括從實際角度考慮。隨意排除數據可能會對結果造成偏差。

2. 根據資料的分佈和性質，變數變換可能很有用。對於本例中的臨床測試值（膽固醇、三酸甘油酯），可以進行對數轉換。然而，選擇哪種類型的變換可能很困難，而且缺點是，當資料為零或負值時，它無法像對數轉換那樣應用。

因此，最有效的選擇是使用「穩健估計」方法 (3)，該方法允許在包括異常值的同時進行模型估計。穩健估計有兩種選擇：穩健擬合 (Robust Fit)和謹慎擬合 (Cauthy Fit) 。這裡我們將解釋 穩健擬合 (Robust Fit) 選項。

穩健迴歸

開頭展示的三酸甘油酯和膽固醇關係散佈圖是讓我們思考一下。使用[擬合線]選項執行的常規迴歸分析（使用最小平方法）會繪製一條直線，使得資料點與迴歸線之間的垂直距離（殘差）的平方和最小。下圖中，紅色直線上繪製的垂直線（殘差）顯示了該距離。

在這種情況下，藍色圈出的點（異常值）具有非常大的殘差，我們可以看到這樣的值傾向於拉動最小平方法計算出的直線。

因此，在最小化這些異常值的影響的同時繪製直線的方法稱為「穩健迴歸」。

穩健擬合選項使用 Huber 的 M 估計，透過減少殘差較大的觀測值的權重來減少異常值的影響。

以下是應用穩健擬合和線性擬合選項時的報告。紅色虛線是使用最小平方法得到的迴歸線，綠色實線是使用穩健迴歸得到的迴歸線。穩健迴歸的斜率 (=0.471) 小於最小平方法迴歸的斜率 (=0.684)。這表明異常值的影響有所降低，導致 Y 的估計變化範圍相對於 X 的變化範圍較小。

穩健平均值比較

單因子分析報告可以執行變異數分析（ANOVA）來比較指定為X的變數各個水準上Y的平均值，但這對Y中的異常值也很敏感。

因此，透過實施穩健擬合選項，我們可以使用 Huber 的 M 估計值來計算每個層級的“穩健平均值”，以減少異常值的影響。

以下是應用了穩健擬合和平均值/變異數分析/合併 t 檢定選項的報告，紅色虛線表示變異數分析的平均水平，綠色實線表示穩健平均值。

在「女性」層面，線條重疊，因為變異數分析平均值和穩健平均值相等（=77.375），而在「男性」層面，有幾個點的三酸甘油酯值異常高，因此穩健平均值小於變異數分析平均值。

「變異數分析」報告的 p 值為 0.0641，因此在顯著性水準為 0.05 的情況下，我們無法得出「男性和女性之間的三酸甘油酯水平存在顯著差異」的結論。另一方面，「穩健擬合」報告的 p 值為 0.0205，因此我們可以得出結論：「男性和女性之間的三酸甘油酯水平存在顯著差異」。

參考：使用響應篩選平台進行穩健估計

還可以使用響應篩選平台進行穩健擬合，該平台允許同時測試多種組合。

「応答のスクリーニング」にて[ロバスト] のオプションを指定]在「反應篩選」中選擇「穩健」選項。

ロバスト推定のp値、対数価値などを出力輸出 p 值、對數值等，用於穩健估計

*本文使用 JMP 樣本資料「Lipid Data.jmp」。

作者：Naohiro Masukawa（JMP 日本）

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