Hallo zusammen. Mein Name ist Dale Human. Ich bin Ingenieur bei GE Healthcare hier in Milwaukee, Wisconsin. Heute möchte ich Ihnen etwas über Modellerstellung erzählen, insbesondere über die Anwendung von Bootstrapping zur Bewertung der erwarteten Ergebnisse und der Abweichungen dieser Modelle. Wer tiefer in die Materie einsteigen möchte, kann die Monte-Carlo-Simulation nutzen, um die zu erwartenden Abweichungen im System basierend auf Variationen der Eingangsdaten genauer zu analysieren. Es gibt also einiges zu besprechen. Legen wir los. Zunächst eine kurze Einführung.
Letztendlich geht es darum, in Situationen der Produktentwicklung, also in der Forschung und Entwicklung, mit einer kleinen Stichprobe zu beginnen, einige Tests durchzuführen und anhand dieser wenigen Ergebnisse oder Messungen zu entscheiden, wie man vorgehen möchte oder wie sich das System voraussichtlich verhalten wird. Genau hier bieten sich Methoden wie Bootstrapping und Monte-Carlo-Simulation an. Schauen wir uns an, wie das in JMP funktioniert.
Wir beginnen mit einem recht einfachen System. Stellen Sie sich ein Spannsystem vor. Hier haben wir einen Schraubendreher, der zum Festziehen einer Schraube in einer Baugruppe verwendet wird. Wir haben eine Kraftmessdose in die Baugruppe eingesetzt, um die auf die Schraube wirkende Kraft beim Festziehen zu messen. Eine typische mechanische Anwendung. Wir möchten verstehen, ob wir, wenn wir das auf die Schraube wirkende Drehmoment messen und die daraus resultierende Kraft ermitteln, einen Zusammenhang herstellen und versuchen können, das zukünftige Verhalten dieses Systems zu modellieren.
Ich habe eine Beispieldatentabelle, die ich hier öffnen werde. Wie Sie sehen, haben wir einige Tests durchgeführt – in diesem Fall neun –, bei denen wir ein Drehmoment auf den Schraubenantrieb ausgeübt und die Kraft gemessen haben. Wir möchten den Zusammenhang zwischen der Kraft und dem angelegten Drehmoment verstehen. Da wir nur eine Zielgröße und einen x-Faktor (die Eingangsgröße, das Drehmoment) haben, können wir in diesem Fall die Funktion „Y nach X anpassen“ verwenden.
Ich gehe zum Menü „Analysieren“ und wähle dann „Y an X anpassen“. Wir können die gemessene Kraft als Zielgröße und das angelegte Drehmoment als Eingabegröße in den Dialog eingeben. JMP führt in diesem Fall eine bivariate Analyse durch, da wir nur zwei Variablen haben. Ich klicke auf „OK“. Wie von JMP gewohnt, wird zunächst ein Diagramm angezeigt, genauer gesagt ein Streudiagramm der Daten. Wir können visuell nach einem Zusammenhang zwischen angelegtem Drehmoment und gemessener Kraft suchen. Wie Sie hier sehen, scheint ein solcher Zusammenhang zu bestehen. Wenn ich das Drehmoment erhöhe, steigt tendenziell auch die gemessene Kraft. Das ist nachvollziehbar.
Es sieht so aus, als ob die Kraftentwicklung hier bei immer größeren Drehmomenten etwas abflacht. Vielleicht können Sie sich das in diesem System vorstellen. Irgendwann ist die Baugruppe vollständig eingespannt, und weiteres Anlegen eines höheren Drehmoments bringt aus Kraftsicht nichts mehr, aber wir sehen diesen Zusammenhang. Versuchen wir, ein Modell zu erstellen. Ich gehe hier zum roten Dreieck. Sie könnten die Funktion „Linie anpassen“ verwenden, wenn es sich um einen linearen Zusammenhang handelt, aber da ich diesen Plateau-Effekt vermute, wähle ich stattdessen den Dialog „Spezial anpassen“. Damit kann ich Transformationen für die X- und Y-Koordinaten auswählen.
In diesem Fall wähle ich den natürlichen Logarithmus von X, um den möglichen Plateau-Effekt des Systems zu verdeutlichen. Ich habe außerdem die Option für zentrierte Polynome deaktiviert. Sie können diese Option aktiviert lassen, da sie keine Auswirkungen hat. Es ist lediglich eine andere Betrachtungsweise der Gleichung. Ich habe sie vorerst deaktiviert und klicke nun auf OK. Hier sehen wir unsere Ausgleichsgerade. Diese wurde im Wesentlichen mittels einer Methode der kleinsten Quadrate unter Verwendung des natürlichen Logarithmus des angelegten Drehmoments und unserer Ausgleichskurve berechnet. Sie scheint gut zu unseren Daten zu passen.
Das ist gut. Wir haben hier die aus der Analyse abgeleitete Gleichung, sodass wir das sehen können. Wenn Sie schon einmal eine Regression durchgeführt haben, kennen Sie wahrscheinlich die R²-Werte. Unsere R²-Werte sehen sehr gut aus. Sie liegen sehr hoch, über 90 %. Das korrigierte R² und das R² liegen nahe beieinander. In diesem Fall gibt es nur eine Variable X. Das war zu erwarten.
Wenn man sich den mittleren quadratischen Fehler (RMSE) ansieht, der sozusagen die Standardabweichung des Modells darstellt, fällt auf, dass er etwas hoch ist. Das ist nicht sofort ersichtlich. Ich werde nun die angewendete Anpassung aufrufen und das Konfidenzintervall aktivieren, indem ich die Option „Konfidenzintervall schattiert“ auswähle. Dort können wir die Unsicherheit des Modells erkennen. Angenommen, ich befinde mich hier bei einem Drehmoment von beispielsweise 100 Newtonmetern, dann liegt meine erwartete Abweichung der durchschnittlich gemessenen Kraft bei etwa 1000 Newtonmetern. Das ist die Breite des Konfidenzintervalls.
Das ist etwas groß. Vielleicht denken Sie jetzt: „Wir haben nur neun Datenpunkte, daher ist das Modell mit vielen Unsicherheiten behaftet“, und das stimmt wahrscheinlich. Weiter unten finden Sie außerdem die Parameteranalyse, die Ihnen natürlich die Werte der Modellparameter, also die Steigung und den Achsenabschnitt, anzeigt, die ebenfalls in der Gleichung enthalten sind. Sie erhalten dann auch einen Eindruck von den Standardfehlern dieser Werte, die die Unsicherheit dieser Werte quantifizieren.
Sie sehen dort, dass unser Achsenabschnitt einen Standardfehler von etwa 2000 Newton aufweist, und die Steigung hat eine Unsicherheit von etwa 500 Newtonmetern pro Newton. Wir versuchen zu verstehen, ob wir diese Schwankungsbreite zukünftig erwarten sollten. Würden wir bei zunehmender Datenmenge tatsächlich mit einer so großen Unsicherheit rechnen?
Da wir dieses Modell nur mit einer kleinen Stichprobe erstellt haben – in diesem Fall neun Datenpunkte –, wie können wir beurteilen, was wir tatsächlich erwarten? Oder überschätzen wir den Fehler in diesem Modell aufgrund der geringen Stichprobengröße? Eine Möglichkeit hierfür ist die Anwendung des Bootstrap-Verfahrens.
Sprechen wir über Bootstrapping. Bootstrapping ist eine eigentlich einfache Methode, bei der man wiederholt Stichproben aus den Originaldaten zieht, um die Werte der zu berechnenden Parameter neu zu schätzen. In diesem Fall würden wir die Steigung und den Achsenabschnitt dieses Modells wiederholt neu schätzen, um ein besseres Verständnis der zu erwartenden Unsicherheit in diesem System zu erhalten. Das ist die grundlegende Idee des Bootstrappings. Die Abbildung veranschaulicht dies. Wir haben in diesem Beispiel eine kleine Stichprobe von drei Datenpunkten.
Beim Bootstrapping wird eine Zufallsstichprobe aus dem ursprünglichen Datensatz gezogen. In diesem Feld sehen wir eine solche Stichprobe mit drei Datenpunkten. Ich habe in diesem Fall zufällig Zeile 3 zweimal und Zeile 1 einmal ausgewählt. Zeile 2 wurde nicht berücksichtigt. Dieser Vorgang wird hunderte oder tausende Male wiederholt. Nach jeder neuen Stichprobe wird der jeweilige Parameter des Systems neu berechnet. In unserem Fall betrachten wir die Werte für Steigung und Achsenabschnitt unseres Modells.
Unabhängig vom interessierenden Parameter berechnet man diesen für jede einzelne Stichprobe und wiederholt diesen Vorgang viele Male, um die zu erwartende Streuung zu ermitteln, selbst bei einem kleinen Datensatz. Das ist die Grundidee des Bootstrappings. Es ist eine gängige Methode und vorteilhaft, da sie nichtparametrisch ist. Sie setzt keine Normalverteilung oder Ähnliches voraus und ist daher in vielen verschiedenen Situationen anwendbar.
Diese Methode ist besonders nützlich bei kleinen Stichproben. Sie ist beispielsweise hilfreich, wenn Sie den Fehler in Ihrem Modell oder Ihrer Berechnung abschätzen möchten. Oftmals verwendet man dazu Kennzahlen wie die Varianz, um die Streuung im System zu untersuchen. Die Varianz wird berechnet, indem man durch n oder n minus 1 teilt. Bei kleinen Stichproben teilt man in der Regel durch eine sehr kleine Zahl und überschätzt dadurch die erwartete Streuung. Diese Überschätzung ist jedoch unrealistisch, wenn man weitere Daten sammelt. Bootstrapping ist eine Möglichkeit, unter diesen Umständen eine realistischere Schätzung der Streuung zu erhalten.
Das ist das Grundprinzip des Bootstrappings. Bevor wir zu unserem Modell zurückkehren, betrachten wir als einfaches Beispiel die Verteilung der Werte. Wir haben neun Messwerte der Kraft. Beginnen wir mit einer Verteilungsanalyse. Ich gehe zum Menü „Verteilung analysieren“ und betrachte in diesem Beispiel zunächst nur die Kraft. Schauen wir uns die Werteverteilung an.
Ich habe das hier. Sie sehen eine Tabelle mit zusammenfassenden Statistiken. Die Quantile blende ich vorerst aus. Darauf konzentriere ich mich nicht wirklich. Aber wenn Sie sich das ansehen, haben wir in diesem Fall einen Mittelwert von etwa 7100 Newton und eine Standardabweichung von etwa 2000 Newton. Eine ziemlich große Standardabweichung, da wir hier nur eine kleine Stichprobe haben. Diese wird durch den kleinen Wert von n verzerrt.
Können wir anhand der Tatsache, dass wir bisher nur neun Einheiten der Population gemessen haben, abschätzen, ob diese Varianz in unserer Population realistisch ist? Können wir versuchen, mithilfe von Bootstrapping zu ermitteln, ob diese Varianz realistisch ist? Wie funktioniert das? Mit JMP ist es ganz einfach. Da wir diese Tabelle mit dem relevanten Parameter haben, interessieren uns Mittelwert und Standardabweichung. Beide Werte sind in der Tabelle enthalten. Ich klicke also einfach mit der rechten Maustaste in die Tabelle. Sie sehen dann alle Menüpunkte, die Sie vielleicht schon kennen. Ganz unten finden Sie die Bootstrap-Option.
Dies ermöglicht es Ihnen, Ihre Daten mehrfach neu zu erfassen. Für jede einzelne Stichprobe werden alle Statistiken neu berechnet. Anschließend können Sie die Verteilung dieser Werte analysieren, um ein besseres Verständnis dafür zu gewinnen, wie sich Ihr System bei immer größeren Stichproben verhält. Die Standardanzahl der Stichproben beträgt 2500. JMP analysiert also die gemessenen Kraftwerte und wählt zufällig neun Werte aus diesen neun aus. Wie in der Abbildung zu sehen, kann es vorkommen, dass derselbe Wert mehrfach erfasst wird.
Man erhält nicht immer exakt dieselben neun Datenpunkte. Das ist der Vorteil von Bootstrapping. Standardmäßig wird das 2500 Mal durchgeführt. Ich klicke einfach auf OK und lasse es laufen. Das dauert nur wenige Sekunden. Es handelt sich um eine recht einfache Berechnung. Beachten Sie jedoch, dass die Berechnung einer großen Anzahl von Datenpunkten bei einem sehr komplexen Modell natürlich etwas Zeit in Anspruch nehmen kann. Dies gilt insbesondere für rechenintensive Modelle. In diesem Fall berechnen wir lediglich Mittelwerte und Standardabweichungen. Das ist recht unkompliziert. Nun haben wir eine neue Datentabelle, die von JMP erstellt wurde.
Sie werden sehen, dass die Tabelle 2501 Zeilen enthält. Das liegt daran, dass unsere Originaldaten 2500-mal neu berechnet wurden. Die erste Zeile enthält die Werte der Originaldaten selbst (Zeile null). Alle weiteren Zeilen enthalten die neu berechneten Werte für die einzelnen Statistiken in dieser Tabelle. Da sich alle Werte in derselben Tabelle befinden, versucht JMP, jede einzelne Statistik zu ermitteln. Diese anderen Werte sind für uns an dieser Stelle irrelevant. Wir konzentrieren uns auf den Mittelwert, da wir die zu erwartende Streuung der durchschnittlichen Systemleistung – in diesem Fall der durchschnittlichen Kraft – verstehen möchten.
Ich konzentriere mich auf den Mittelwert. JMP erstellt automatisch eine Verteilungsanalyse für jede Variable in Ihrer Tabelle. Hier in der Verteilungsansicht können wir das Skript ausführen, und es öffnet die Analyse all dieser verschiedenen Variablen. Wir wollen uns aber auf den Mittelwert konzentrieren. Ich halte die Strg-Taste gedrückt und blende alle Verteilungsanalysen aus. Dann öffne ich nur den Mittelwert, um die Übersichtlichkeit zu verbessern, und platziere ihn neben meiner Verteilungsanalyse.
Ich blende die Quantile wieder aus. Ich konzentriere mich nicht auf Quantile. Das mag Sie vielleicht interessieren, aber schauen wir uns die hier berechneten Werte an. Hier sind 2500 verschiedene Mittelwerte, die durch Resampling dieser Stichprobe entstanden sind. Der Mittelwert liegt bei etwa 7100 Newton, also sehr nahe am Ausgangswert. Die Standardabweichung ist jedoch viel kleiner. Ursprünglich lag sie bei etwa 2100 Newton.
Jetzt sind es nur noch etwa 670 Newton, und das liegt daran, dass wir aus dieser großen Grundgesamtheit wiederholt Stichproben ziehen. Unsere Schätzung der Standardabweichung nähert sich wahrscheinlich dem erwarteten Wert, der tatsächlichen Streuung in dieser Grundgesamtheit. Hier überschätzen wir die Streuung aufgrund der kleinen Stichprobe. Wir ziehen Stichproben aus derselben Grundgesamtheit. Alle Datenpunkte, die für diese Berechnungen verwendet wurden, stammen aus derselben Grundgesamtheit wie diese neun Datenpunkte, da sie auf denselben Daten basieren.
Dies ist wahrscheinlich eine realistischere Darstellung der zu erwartenden Variation in dieser Population. Das ist die Stärke des Bootstrappings. Sie fragen sich nun vielleicht: „Wenn ich einfach eine noch größere Bootstrap-Stichprobe nehme, sinkt meine Standardabweichung dann weiter?“ Probieren wir es aus. Ich kehre zu meinen ursprünglichen Daten zurück. Klicken Sie mit der rechten Maustaste in diese Tabelle und wählen Sie „Bootstrap“. Diesmal führen wir 10.000 Bootstrap-Stichproben durch. Ich klicke auf „OK“.
Das dauert wieder ein paar Sekunden, also lassen wir es laufen. Vielleicht etwas länger. Jetzt haben wir eine Datentabelle mit 10.000 Zeilen, die jeweils eine andere Stichprobe derselben Grundgesamtheit darstellen. Wir können uns die Verteilung in dieser Tabelle ansehen. Ich öffne sie. Ich konzentriere mich wieder nur auf den Mittelwert. Ich schließe alle Verteilungen und öffne den Mittelwert. Platzieren wir ihn neben den anderen Fenstern. Entschuldigung, ich verschiebe die Fenster kurz, damit wir alles zusammen sehen können.
Wir haben nun eine Bootstrap-Stichprobe von 10.000 Werten. Der Mittelwert liegt weiterhin bei etwa 7100, die Standardabweichung hingegen bei etwa 670. Das ist nicht verwunderlich, da alle Werte aus derselben Grundgesamtheit stammen. Diese Grundgesamtheit hat einen Mittelwert, eine gewisse Streuung und eine gewisse Standardabweichung. Aufgrund der großen Stichproben in beiden Analysen ist daher keine Veränderung zu erwarten.
Das ist anders als hier, weil es sich um eine sehr kleine Stichprobe handelte. Aber diese hier ermöglicht es Ihnen, die zukünftige Entwicklung zu beobachten. Sie können eher mit einer Streuung im Bereich von 670 Newton als im Bereich von 2000 Newton rechnen. Und natürlich werden hier unten Konfidenzintervalle mit unterschiedlichen Konfidenzniveaus berechnet, um Ihnen einen Eindruck von der zu erwartenden Streuung in Ihrer Grundgesamtheit zu vermitteln.
Sie werden feststellen, dass die Werte der Bootstrap-Stichproben einander sehr ähnlich sind und etwas enger liegen als die ursprünglichen Konfidenzintervalle für den Mittelwert unserer kleinen Stichprobe. Das liegt daran, dass wir eine wahrscheinlich realistischere Schätzung der Standardabweichung verwenden. Genau darin liegt die Stärke des Bootstrappings: Es ermöglicht Ihnen, die Streuung in Ihrem System zu erfassen, selbst wenn Sie nur mit einer kleinen Datenstichprobe begonnen haben. Schließen wir diese Tabellen nun. Nachdem wir das Grundprinzip des Bootstrappings verstanden haben, schließe ich diese Tabellen, um sie aus dem Weg zu räumen.
Wenn wir hier in unserem Journal nachschauen, habe ich das Bootstrapping-Verfahren bereits erläutert und gezeigt. Die Standardabweichung und der Mittelwert sollten sich nicht wesentlich ändern, da sie die Grundgesamtheit repräsentieren, aus der die Daten stammen. Das ist die Idee des Bootstrappings. Kommen wir nun zurück zu unserem Modell. Ich öffne den entsprechenden Abschnitt, und wir können dasselbe mit diesem Modell durchführen. In unserem Modell haben wir Schätzwerte für die Parameter der Steigung und des Achsenabschnitts dieses Regressionsmodells der kleinsten Quadrate berechnet. Die Frage ist nun: Ist es wirklich gerechtfertigt, dass der Fehler in diesen Schätzungen so groß ist?
Wir können diese Schätzwerte genauso per Bootstrap-Verfahren berechnen wie den Mittelwert der Kräfte. Klicken Sie dazu einfach mit der rechten Maustaste in die Spalte mit den Schätzwerten der Tabelle, wählen Sie „Bootstrap“ und die gewünschte Anzahl an Wiederholungen. Ich bleibe dieses Mal bei 2500, um es etwas schneller zu machen. Die Berechnung dauert einige Sekunden. Nun haben wir wieder eine Tabelle mit 2500 Werten. Ich sehe mir die von JMP erstellte Verteilungsanalyse an. Diese Analyse enthält nur zwei Werte, da wir nur zwei Schätzwerte hatten: einen für den Achsenabschnitt und einen für die Steigung.
Ich werde die Quantile erneut ausblenden, indem ich die Strg-Taste gedrückt halte und beide Fenster gleichzeitig schließe. Der Standardfehler des Achsenabschnitts lag hier bei etwa 2000 Newton, der der Steigung bei etwa 450 Newton. Was ergab der Bootstrap-Test? Die Standardabweichung der Bootstrap-Stichprobe beträgt ebenfalls etwa 2000, in diesem Fall 2200. Die Standardabweichung der Bootstrap-Stichprobe der Steigung liegt bei etwa 475, etwas anders, aber nahe am ursprünglichen Wert von 452 aus der Regressionsanalyse mit kleinsten Quadraten. Sie denken jetzt vielleicht: „Moment mal. Bootstrapping hat nichts gebracht.“ Und damit haben Sie Recht. Bootstrapping hat in diesem Fall nicht viel gebracht.
Das ist eigentlich zu erwarten, denn wie Sie sich vielleicht von der Methode der kleinsten Quadrate erinnern, dient diese dazu, die Anpassung zu finden, die die Varianz des Modells minimiert. Die Werte für die Schätzung von Steigung und Achsenabschnitt werden speziell so gewählt, dass sie den Fehler im Modell minimieren. Bei der Methode der kleinsten Quadrate bringt Bootstrapping nicht viel. Das hat sich herausgestellt. Ich wollte das nur als Beispiel dafür verwenden, wie man Bootstrapping auf ein Modell anwendet.
Wenn Sie andere Modellierungstechniken verwenden, die keine Fehlerschätzung liefern – beispielsweise eine neuronale Netzwerkanalyse oder eine Hauptkomponentenanalyse – und die Analyse Ihnen keine direkte Aussage über die zu erwartende Varianz oder die Standardfehler liefert, könnten Sie Bootstrapping einsetzen, um einen Eindruck vom Fehler in diesem Modell zu erhalten. Hier zeige ich Ihnen jedoch, dass Bootstrapping nur wenig aussagekräftig ist. Die Ergebnisse stimmen im Allgemeinen mit denen der Methode der kleinsten Quadrate überein, da diese Methode darauf ausgelegt ist, die Varianz zu minimieren.
Dieses Konzept gilt für jede Modellierungstechnik. Bootstrapping ist nämlich kein parametrischer Ansatz und trifft keine Annahmen über die Verteilung Ihrer Daten. Es kann in allen gängigen Modellierungstechniken eingesetzt werden. So könnte man beispielsweise Bootstrapping nutzen, um den Fehler bei der Kleinste-Quadrate-Regression besser zu verstehen. Nicht besonders hilfreich. Wenn Sie lediglich die Streuung Ihrer Mittelwerte untersuchen möchten, wie wir es hier mit der Kraft getan haben, können Sie Bootstrapping verwenden, um sich ein realistischeres Bild der zukünftigen Streuung zu verschaffen, noch bevor Sie detailliertere Modellierungen durchführen. Auch dafür ist Bootstrapping geeignet.
Das ist die Idee des Bootstrappings. Ich habe es in seiner einfachsten Form anhand der erwarteten Streuung eines Mittelwerts veranschaulicht. Man kann es auch verwenden, um den Fehler in den Schätzungen eines Modells zu verstehen. Nicht so sehr bei der Methode der kleinsten Quadrate, sondern bei anderen Verfahren. Dafür kann es nützlich sein.
Eine weitere Möglichkeit, die Auswirkungen von Variationen auf Ihr System zu bewerten, ist die Monte-Carlo-Simulation. JMP ermöglicht Ihnen die einfache Durchführung von Monte-Carlo-Simulationen, da diese in die Modellierungsplattform integriert sind. Betrachten wir die Monte-Carlo-Simulation genauer. Was genau leistet sie? Angenommen, Sie haben ein Modell oder allgemein eine Gleichung. Hier haben wir aus unserer Analyse eine Modellgleichung entwickelt. Es handelt sich um dasselbe Modell. Mit der Monte-Carlo-Simulation können Sie Variationen in die Eingangsgrößen dieses Modells einbringen und deren Auswirkungen auf die Ausgabegrößen, also die Zielgrößen, bewerten.
Man geht davon aus, dass die Eingangsgrößen variieren. In diesem Fall nehme ich beispielsweise an, dass das angelegte Drehmoment normalverteilt ist und einen bestimmten Mittelwert sowie eine gewisse Standardabweichung aufweist. Ich wähle nun zufällig eine große Anzahl von Werten aus dieser Verteilung aus, setze diese in die Gleichung ein und berechne das Ergebnis, um zu sehen, ob die Eingangsgrößen entsprechend variieren. So sollte das Ergebnis aussehen. Das ist das Grundprinzip der Monte-Carlo-Simulation.
Auch hier gilt: Führen Sie diese Schritte in der Regel mit einer großen Anzahl von Stichproben durch, um die zu erwartende Streuung Ihrer Ergebnisse besser zu verstehen. JMP ermöglicht es Ihnen außerdem, weitere Arten von Streuung in Ihre Ausgabe einzubeziehen. Darauf gehe ich hier nicht näher ein. Sie sollten sich lediglich bewusst sein, dass Ihnen diese Option zur Verfügung steht. Wie funktioniert Monte Carlo mit JMP? Ganz einfach: Sobald Sie ein Modell haben – in diesem Fall ein Modell der kleinsten Quadrate –, wechsle ich zur Modellanpassung und aktiviere den Profiler. Hier beginnen Sie. Falls Ihnen der Profiler bekannt ist: Er stellt die Modellgleichung grafisch dar, die direkt aus Ihrer vorherigen Analyse ermittelt wurde. Sie können mit dem Eingabewert X experimentieren, ihn ändern und beobachten, wie sich dies auf den Wert Y auswirkt.
Eine weitere Funktion des Profilers ist die Monte-Carlo-Simulation. Klicken Sie dazu auf das rote Dreieck im Profiler, um den Simulator zu aktivieren. Damit können Sie festlegen, wie sich der Wert von X ändert. Anschließend wird Ihnen angezeigt, was mit Ihren Zielgrößen passiert. Hier unten kann ich über ein Dropdown-Menü die Variation von X auswählen, in diesem Fall das angelegte Drehmoment. Ich wähle „Zufällig“. Anschließend können Sie die Verteilung für die Variation dieser Eingangsgröße festlegen.
Nehmen wir beispielsweise an, wir möchten dieses System mit einem Drehmoment von 125 Newtonmetern betreiben. Das ist unser typischer Drehmomentwert. Sie haben mit dem Drehmomentschlüssel, den Sie verwenden werden, einige Schnellmessungen durchgeführt und festgestellt, dass ich bei einer Programmierung von 125 Newtonmetern im Allgemeinen bei 125 Newtonmetern liege, die Standardabweichung aber beispielsweise 3 Newtonmeter beträgt. Sie können den Mittelwert und die Standardabweichung für Ihre Erwartungen eingeben.
Klicken Sie nun einfach auf die Schaltfläche „Simulieren“ hier, und JMP berechnet eine große Anzahl von Werten – den Wert, den Sie hier unten eingegeben haben. In diesem Fall wurden 10.000 Werte berechnet. JMP hat also zufällig 10.000 verschiedene Werte aus der Normalverteilung mit einem Mittelwert von 125 und einer Standardabweichung von 3 ausgewählt. Diese 10.000 Werte wurden mithilfe der zuvor ermittelten Parameterschätzungen in Ihre Modellgleichung eingesetzt, und die Reaktion für alle Variablen wurde berechnet. Die folgende Verteilung zeigt Ihnen, wie das Ergebnis aussehen wird.
In dieser Ansicht wirkt es etwas zusammengedrückt, da der Maßstab des Diagramms etwas klein ist. Sie können es bei Bedarf vergrößern. Alternativ können Sie JMP anweisen, Ihnen die Werte in einer Tabelle anzuzeigen. Hier unten finden Sie die Option „Simulieren zu Tabelle“. Ich öffne diese und klicke auf die Schaltfläche „Tabelle erstellen“. Hier sind die 10.000 verschiedenen Werte des angelegten Drehmoments, die zufällig aus der Normalverteilung ausgewählt wurden. Sie wurden in die Gleichung eingesetzt und anschließend zur Berechnung der Kraft verwendet.
JMP hat bereits eine Verteilungsanalyse für Sie erstellt und hier gespeichert. Ich öffne sie nun. Sie zeigt die Verteilung der gemessenen Kräfte. Die Verteilung ist hier etwas höher aufgelöst, damit Sie die Vorgänge in Ihrem System besser erkennen können. Diese Verteilung meiner gemessenen Kräfte verdeutlicht den Einfluss von Variationen des angelegten Drehmoments gemäß einer angenommenen Verteilung. Sie können so sehen, wie sich diese Variationen auf die Systemreaktion auswirken.
Von hier aus könnten Sie verschiedene Analysen durchführen, beispielsweise eine Prozessfähigkeitsanalyse oder eine Toleranzintervallanalyse. All das hilft Ihnen, ein Gefühl dafür zu bekommen, wie sich Ihre Reaktion auf diese Schwankungen der Eingangsgrößen verhält. Die Wahl liegt bei Ihnen. Idealerweise können Sie historische Daten verwenden. Sie haben sich den Drehmomentschlüssel für dieses System angesehen und festgestellt, dass das Drehmoment gemäß dieser Verteilung variiert. Daher können Sie die passende Verteilung mit den entsprechenden Parametern auswählen.
Sie verfügen möglicherweise über Fachwissen, das Ihnen hilft, die Vorgänge in Ihrem System zu analysieren und beispielsweise zu sagen: „Die Werte sollten einer Gleichverteilung folgen.“ Natürlich können Sie auch Vermutungen anstellen, da es sich um ein Modell handelt. Wenn Sie sich unsicher sind, gehen Sie zunächst von einer Normalverteilung aus, um die Auswirkungen zu beobachten. Anschließend können Sie verschiedene Was-wäre-wenn-Analysen durchführen. Dies ist die Monte-Carlo-Simulation. In JMP lässt sie sich sehr einfach umsetzen. Zusammen mit dem Bootstrapping ermöglichen Ihnen beide Techniken, die Variationen in Ihrem System zu bewerten – entweder anhand kleiner Stichproben beim Bootstrapping oder anhand bekannter Variationen Ihrer Eingabewerte, um die Auswirkungen auf Ihre Ausgaben zu analysieren.
Wir haben hier verschiedene Dinge besprochen. Bootstrapping ist eine Technik, mit der man die zu erwartende Variabilität im System verstehen kann, selbst bei kleinen Stichproben. Die Monte-Carlo-Analyse ermöglicht es, Variationen in die Eingangsdaten eines Modells einzubringen und deren Auswirkungen auf die Ausgangsdaten zu untersuchen. Sehr gängige, beliebte und leistungsstarke Techniken. Sobald man ein Modell hat, stehen einem diese Werkzeuge sehr nützlich zur Verfügung. Das war's für heute. Vielen Dank.
