Salut à tous. Je m'appelle Dale Human. Je suis ingénieur chez GE Healthcare à Milwaukee, dans le Wisconsin. Aujourd'hui, je vais vous parler de la modélisation, de l'utilisation du bootstrapping pour évaluer les résultats attendus et la variation par rapport à ces modèles. Si vous souhaitez approfondir le sujet, vous pouvez utiliser la simulation de Monte-Carlo pour évaluer plus précisément la variation attendue dans votre système en fonction des variations de vos entrées. C'est un sujet vaste. Commençons. Je vais d'abord vous donner quelques indications.
Tout cela se résume aux situations où, dans le cadre du développement de nouveaux produits ou de la R&D, vous partez d'un petit échantillon, vous effectuez quelques tests, et à partir de ces quelques mesures, vous tentez de décider de la marche à suivre ou d'anticiper le comportement de votre système. C'est précisément dans ce contexte que des outils comme le bootstrapping et la simulation de Monte-Carlo trouvent toute leur utilité. Voyons comment procéder avec JMP.
Nous allons commencer par examiner un système relativement simple. Imaginez un système de serrage. Nous avons ici un tournevis. Il sert à serrer une pièce assemblée. Nous avons inséré un capteur de force dans l'assemblage pour mesurer la force appliquée lors du serrage. Il s'agit d'une application mécanique assez classique. Nous voulons savoir si, en mesurant le couple appliqué à la vis et en obtenant la force correspondante, nous pouvons établir une relation et tenter de modéliser le comportement futur de ce système.
Voici un exemple de tableau de données. Comme vous pouvez le voir, nous avons effectué neuf tests en appliquant un couple à la vis sans fin et en mesurant la force. Nous souhaitons comprendre la relation entre la force et le couple appliqué. Modélisons-le, car nous n'avons qu'une seule variable réponse et un seul facteur d'entrée (le couple). Nous pouvons donc utiliser la plateforme « Ajuster Y par X ».
Je vais dans le menu Analyser, puis je choisis Ajuster Y par X. Nous pouvons indiquer la force mesurée comme variable réponse et le couple appliqué comme variable d'entrée dans la boîte de dialogue. JMP indique qu'il va effectuer une analyse bivariée, car nous n'avons que deux variables. Je clique sur OK. Comme par défaut, JMP affiche un graphique, un simple nuage de points représentant les données. Nous pouvons ainsi observer visuellement la relation entre le couple appliqué et la force mesurée. Comme vous pouvez le constater, il semble y avoir une corrélation. Lorsque j'augmente le couple, la force mesurée tend à augmenter. C'est logique.
Il semble également que la force se stabilise légèrement à mesure que le couple augmente. Dans ce système, on peut imaginer qu'à un certain point, l'assemblage est complètement bloqué et qu'appliquer un couple plus important n'apporte donc aucun gain en termes de force. Cependant, cette relation est bien visible. Essayons de modéliser. Je vais cliquer sur le triangle rouge. On pourrait utiliser l'outil « Ajuster une ligne » pour une relation linéaire, mais compte tenu de cet effet de stabilisation, je vais plutôt utiliser la boîte de dialogue « Ajuster spécial », qui me permet de définir des transformations sur les axes X et Y.
Dans ce cas, je vais choisir le logarithme népérien de X, ce qui permettra de mieux appréhender l'hypothèse d'un effet de plateau dans ce système. J'ai également désactivé l'option des polynômes centrés. Vous pouvez la laisser activée ; cela ne change rien. C'est simplement une autre façon d'interpréter l'équation. Pour l'instant, je l'ai désactivée. Je clique sur OK. Voici notre courbe d'ajustement optimal. Il s'agit essentiellement d'une régression linéaire par les moindres carrés utilisant le logarithme népérien du couple appliqué dans l'analyse. Cette courbe semble bien correspondre à nos données.
C'est bien. Nous avons ici l'équation issue de l'analyse, ce qui nous permet de le constater. Si vous avez déjà effectué des régressions, vous avez probablement déjà examiné les valeurs du coefficient de détermination (R²). Nos valeurs de R² sont excellentes : elles sont très élevées, supérieures à 90 %. Le R² ajusté et le R² sont proches l'un de l'autre. Dans ce cas précis, il n'y a qu'une seule variable X, ce qui est tout à fait normal.
Si vous regardez l'erreur quadratique moyenne, qui correspond en quelque sorte à l'écart type du modèle, elle est peut-être un peu élevée. C'est un peu difficile à voir. Je vais donc afficher l'intervalle de confiance de l'ajustement que nous avons appliqué en cliquant sur l'option correspondante. On peut ainsi visualiser l'incertitude du modèle. Par exemple, si j'avais un couple de 100 newtons-mètres, la variation attendue de la force moyenne mesurée serait d'environ 1 000 newtons-mètres. Cela correspond à la largeur de l'intervalle de confiance.
C'est un peu élevé. Vous vous dites peut-être : « Avec seulement neuf points de données, ce modèle comporte une grande incertitude », et c'est probablement vrai. L'analyse des estimations des paramètres est présentée ci-dessous. Elle indique les valeurs des paramètres du modèle, à savoir la pente et l'ordonnée à l'origine, qui figurent également dans l'équation. Vous obtenez aussi une idée des erreurs standard associées à ces valeurs, ce qui quantifie l'incertitude qui les entoure.
Comme vous pouvez le constater, l'ordonnée à l'origine présente une erreur standard d'environ 2 000 newtons, et la pente une incertitude d'environ 500 newtons-mètres, soit environ 500 newtons-mètres par newton. Nous cherchons à déterminer si cette variation est réaliste et si, en collectant davantage de données, l'incertitude restera aussi importante.
Étant donné que nous avons construit ce modèle à partir d'un échantillon restreint (neuf points de données dans ce cas), comment évaluer la pertinence de nos prévisions ? Risquons-nous de surestimer l'erreur de ce modèle, justement à cause de la petite taille de l'échantillon ? Une solution possible consiste à utiliser la technique du bootstrap.
Parlons du bootstrap. Le bootstrap est une technique relativement simple qui consiste à rééchantillonner les données initiales un grand nombre de fois afin de réestimer les valeurs des paramètres calculés. Dans ce cas précis, nous réestimerions la pente et l'ordonnée à l'origine de ce modèle à de nombreuses reprises pour mieux appréhender l'incertitude réelle à laquelle nous pouvons nous attendre dans ce système. C'est le principe fondamental du bootstrap. Visuellement, la figure ci-contre illustre ce principe. Dans cet exemple, nous disposons d'un petit échantillon de données, soit trois points.
Le bootstrapping consiste à prélever un échantillon aléatoire de votre jeu de données initial. Ici, nous avons un échantillon aléatoire dans cette case. Il contient trois points de données, mais j'ai choisi aléatoirement, dans ce cas précis, la ligne 3 deux fois et la ligne 1 une fois. La ligne 2 n'apparaît pas. Ce processus est répété des centaines, voire des milliers de fois. À chaque nouvel échantillon, le paramètre d'intérêt pour votre système est recalculé. Dans notre cas, nous souhaitons examiner les valeurs de la pente et de l'ordonnée à l'origine de notre modèle.
Quel que soit le paramètre d'intérêt, on le calcule pour chacun des différents échantillons, et on répète l'opération de nombreuses fois afin de mieux comprendre la variation attendue, même avec un petit ensemble de données. C'est le principe fondamental du bootstrap. C'est une technique courante. Son principal avantage réside dans son caractère non paramétrique. Elle ne repose sur aucune hypothèse de normalité ou autre, et s'applique donc à de nombreuses situations.
Cette méthode est particulièrement utile avec de petits échantillons. Elle s'avère pertinente pour estimer l'erreur de votre modèle ou de vos calculs. On utilise souvent la variance pour évaluer la variabilité de votre système. Rappelons que la variance s'obtient en divisant par n ou n - 1. Avec un petit échantillon, cette division est généralement très faible, ce qui tend à surestimer la variabilité attendue. Or, cette estimation pourrait ne pas être réaliste si la collecte de données se poursuivait. Le bootstrap permet d'obtenir une estimation plus réaliste de cette variabilité.
Voilà le principe de base du bootstrapping. Prenons un exemple simple : avant de revenir au modèle que nous avons créé, examinons la distribution des valeurs. Nous avons neuf valeurs de force mesurées. Commençons par une analyse de distribution. Je vais dans le menu « Analyser la distribution » et me concentrer sur la force pour cet exemple. Observons la distribution des valeurs.
Voilà. Vous pouvez voir un tableau de statistiques descriptives. Je vais masquer les quantiles pour l'instant, car ce n'est pas ce qui m'intéresse. On constate une valeur moyenne d'environ 7 100 newtons et un écart type d'environ 2 000 newtons. Cet écart type est assez important, car l'échantillon est petit. Il est donc faussé par la faible valeur de n.
Peut-on raisonnablement s'attendre à ce que cette variation se produise au sein de notre population à l'avenir, sachant que nous n'avons mesuré que neuf unités ? Nous pouvons utiliser la méthode du bootstrap pour déterminer si cette estimation est réaliste. Comment procéder ? JMP simplifie grandement la tâche. Puisque nous disposons de ce tableau contenant le paramètre qui nous intéresse (la moyenne et l'écart type), ces deux valeurs figurent dans ce tableau. Je vais donc faire un clic droit dedans. Vous retrouverez tous les éléments du menu contextuel, et tout en bas se trouve l'option « Bootstrap ».
Cela vous permet de rééchantillonner vos données à de nombreuses reprises. Pour chaque échantillon, toutes ces statistiques sont recalculées. Vous pouvez ensuite analyser la distribution de ces valeurs afin de mieux comprendre le comportement de votre système avec des échantillons de plus en plus grands. Le nombre d'échantillons par défaut étant de 2 500, JMP examine les valeurs de ma force mesurée et en sélectionne neuf aléatoirement parmi les neuf valeurs initiales. Il arrive parfois qu'une même valeur soit sélectionnée plusieurs fois, comme illustré sur la figure.
On n'obtient pas toujours exactement les mêmes neuf points de données. C'est tout l'avantage du bootstrap. Par défaut, il sera effectué 2 500 fois. Je clique sur OK et on laisse faire. Cela ne prendra que quelques secondes. C'est un calcul assez simple. Sachez simplement que si votre modèle est très complexe, le traitement d'un grand nombre d'itérations peut prendre du temps. C'est particulièrement vrai pour les modèles nécessitant une puissance de calcul importante. Ici, nous calculons simplement les moyennes et les écarts types. C'est assez simple. Nous avons maintenant un nouveau tableau de données créé par JMP.
Vous constaterez qu'il comporte 2501 lignes. Cela s'explique par le rééchantillonnage de nos données originales 2500 fois. La première ligne correspond aux valeurs des données originales. Il s'agit de la ligne zéro. Les lignes suivantes correspondent aux valeurs calculées après rééchantillonnage pour chacune des statistiques de ce tableau. Comme toutes ces valeurs sont regroupées dans le même tableau, JMP effectue un rééchantillonnage bootstrap pour chacune de ces statistiques. À ce stade, ces autres valeurs ne nous intéressent pas. Nous souhaitons nous concentrer sur la moyenne afin de comprendre la variation attendue des performances moyennes de notre système, ici la force moyenne.
Je vais me concentrer sur la moyenne. JMP génère automatiquement une analyse de distribution pour chaque variable de votre tableau. Ici, dans la section Distribution, nous pouvons exécuter ce script, ce qui ouvrira l'analyse de toutes ces variables. Encore une fois, nous voulons nous concentrer sur la moyenne. Je vais maintenir la touche Ctrl enfoncée pour masquer toutes les analyses de distribution. Ensuite, j'affiche uniquement la moyenne pour une meilleure lisibilité, et je vais la placer à côté de l'analyse de distribution.
Je vais masquer à nouveau les quantiles. Je ne m'y intéresse pas pour l'instant. Cela pourrait vous intéresser, mais regardons plutôt les valeurs calculées. Voici 2 500 valeurs différentes pour la moyenne, obtenues par rééchantillonnage de cet échantillon. La moyenne est d'environ 7 100 newtons, très proche de la valeur initiale. L'écart type, en revanche, est beaucoup plus faible. Initialement, il était d'environ 2 100 newtons.
Maintenant, la valeur n'est plus que d'environ 670 Newtons, car nous rééchantillonnons plusieurs fois au sein de cette vaste population. Notre estimation de l'écart type se rapproche probablement de la variation réelle attendue dans cette population. Ici, nous surestimons la variation en raison de la petite taille de l'échantillon. Nous rééchantillonnons au sein de la même population. Toutes les données utilisées pour ces calculs proviennent de la même population que ces neuf points de données, puisqu'il s'agit d'un tirage à partir des mêmes données.
Ceci représente probablement une variation plus réaliste de celle que l'on peut attendre dans cette population. C'est toute la puissance du bootstrap. Vous vous demandez peut-être : « Si je prends un échantillon bootstrap encore plus grand, mon écart type continuera-t-il à diminuer ? » Essayons. Je vais revenir à mes données initiales. Faites un clic droit dans ce tableau et choisissez « Bootstrap ». Cette fois-ci, effectuons 10 000 échantillonnages bootstrap. Je clique sur OK.
L'exécution prendra quelques secondes, laissons-la donc se terminer. Peut-être même plus. Nous avons maintenant un tableau de données avec 10 000 lignes, chacune représentant un échantillon différent de la même population. Nous pouvons observer la distribution à partir de ce tableau. Je vais l'ouvrir. Je vais me concentrer sur la moyenne. Je ferme toutes les distributions et j'ouvre la fenêtre de la moyenne. Plaçons-la à côté des autres fenêtres. Excusez-moi, je vais les réorganiser un peu pour que nous puissions toutes les voir ensemble.
Nous disposons maintenant d'un échantillon bootstrap de 10 000 valeurs. On constate que la moyenne se situe toujours autour de 7 100, et l'écart type autour de 670. Cela n'a rien d'étonnant, car toutes ces valeurs sont calculées à partir de la même population. Cette population possède une moyenne, une certaine variation et un certain écart type. On ne devrait pas s'attendre à ce que cela change, étant donné la taille importante des échantillons dans les deux analyses.
C'est différent de celui-ci car il s'agissait d'un échantillon très petit. Mais cela vous permet de bien observer les résultats futurs. On peut s'attendre à une variation plus proche de 670 Newtons que de 2000 Newtons. Et bien sûr, des intervalles de confiance sont calculés en bas, avec différents niveaux de confiance, afin de vous donner une idée de la variation attendue pour votre population.
Là encore, vous remarquerez que les valeurs des échantillons bootstrap sont très similaires et légèrement plus étroites que les intervalles de confiance initiaux de la moyenne issus de notre petit échantillon. Ceci s'explique par l'utilisation d'une estimation probablement plus réaliste de l'écart type. C'est là toute la puissance du bootstrap : il permet d'appréhender la variation au sein de votre système, même à partir d'un petit échantillon de données. Fermons maintenant ces tableaux. Maintenant que nous avons compris le principe du bootstrap, je vais les fermer.
Si nous revenons à notre journal, j'ai expliqué comment effectuer le bootstrap et je l'ai démontré. Votre écart type ne devrait pas vraiment changer. Votre moyenne non plus, car elles représentent la population dont vos données ont été extraites. C'est le principe du bootstrap. Revenons à notre modèle. J'ouvre simplement cette section, et nous pouvons faire la même chose avec ce modèle. Dans notre modèle, nous avons calculé des estimations pour les paramètres de la pente et de l'ordonnée à l'origine de ce modèle de régression par les moindres carrés. La question est : est-ce que je crois vraiment que l'erreur sur ces estimations devrait être aussi importante ?
Nous pouvons utiliser la méthode du bootstrap pour ces estimations, comme nous l'avons fait pour la moyenne de ces forces. Il suffit de faire un clic droit dans la colonne « Estimation » du tableau, de choisir « Bootstrap » et d'indiquer le nombre d'itérations souhaité. Je vais utiliser 2 500 pour gagner du temps. Patientez quelques secondes pendant le calcul. Nous obtenons ainsi un tableau de 2 500 valeurs. Je vais examiner l'analyse de distribution générée par JMP. Cette analyse ne comporte que deux valeurs, car nous n'avions que deux estimations : une pour l'ordonnée à l'origine et une pour la pente.
Je vais à nouveau masquer les quantiles en maintenant la touche Ctrl enfoncée et en fermant les deux fenêtres simultanément. L'erreur standard de l'ordonnée à l'origine était d'environ 2 000 newtons, et celle de la pente d'environ 450 newtons. Qu'avons-nous obtenu avec le bootstrap ? L'écart type de l'échantillon bootstrap est toujours d'environ 2 000, soit 2 200 dans ce cas. De même, l'écart type de la pente obtenu par bootstrap est d'environ 475, légèrement différent, mais proche de la valeur initiale de 452 issue de l'analyse de régression par les moindres carrés. Vous vous dites peut-être : « Attendez une minute. Le bootstrap n'a servi à rien. » Et vous avez raison. Le bootstrap n'a pas été très utile dans ce cas précis.
C'est tout à fait normal, car, comme vous vous en souvenez peut-être de la régression par les moindres carrés, cette méthode vise à choisir l'ajustement qui minimise la variance du modèle. Les valeurs estimées de la pente et de l'ordonnée à l'origine sont choisies précisément pour minimiser l'erreur du modèle. Dans le cas de la régression par les moindres carrés, le bootstrap n'est pas très utile. En fait, je voulais simplement utiliser cet exemple pour illustrer comment appliquer le bootstrap à un modèle.
Maintenant, si vous utilisez d'autres techniques de modélisation qui ne fournissent pas d'estimation de l'erreur, comme par exemple une analyse par réseau de neurones ou une analyse en composantes principales, et que l'analyse ne vous donne pas d'indication directe sur la variation attendue ni sur vos erreurs standard, vous pouvez utiliser le bootstrap pour tenter d'appréhender cette erreur. Or, je vous montre ici que le bootstrap n'apporte pas d'amélioration significative. Il concorde généralement avec les résultats de l'analyse par les moindres carrés, car cette dernière est conçue pour minimiser la variation.
Ce concept s'applique à toute technique de modélisation. En effet, le bootstrapping n'est pas une approche paramétrique. Il ne repose sur aucune hypothèse quant à la distribution des données. Il peut être utilisé avec toutes les techniques de modélisation que vous pourriez employer. C'est une façon d'utiliser la modélisation, ou plutôt le bootstrapping, pour mieux comprendre l'erreur dans une régression par les moindres carrés. Son utilité est toutefois limitée. Si vous souhaitez simplement comprendre la variation de vos moyennes, comme nous l'avons fait ici avec la force, vous pouvez utiliser le bootstrapping pour obtenir une estimation plus réaliste de la variation future, avant même d'effectuer une modélisation plus détaillée. Cette méthode est également envisageable.
C'est le principe du bootstrap. Je l'ai illustré de façon très simple en examinant la variation attendue d'une valeur moyenne. On peut aussi l'utiliser pour comprendre l'erreur des estimations d'un modèle, moins pertinente pour la méthode des moindres carrés que pour d'autres techniques. Cela peut s'avérer utile dans ce cas.
Une autre méthode permettant d'évaluer l'impact des variations sur votre système est la simulation de Monte-Carlo, et JMP facilite grandement son exécution. Elle fait partie intégrante de la plateforme de modélisation. Examinons la simulation de Monte-Carlo. Fondamentalement, à quoi sert-elle ? Si vous disposez d'un modèle, ou plus généralement d'une équation (ici, nous avons élaboré une équation de modèle à partir de notre analyse – il s'agit du même modèle), la simulation de Monte-Carlo vous permet d'introduire des variations dans les entrées de ce modèle et d'évaluer l'impact de ces variations sur vos facteurs de sortie, c'est-à-dire vos variables de réponse.
Le principe est de supposer une certaine variation des entrées. Ici, par exemple, je suppose que le couple appliqué suit une loi normale centrée sur une valeur d'intérêt, avec un écart type. Je vais sélectionner aléatoirement un grand nombre de valeurs dans cette distribution, puis les insérer dans l'équation et calculer la sortie afin de vérifier si la variation des entrées correspond à ce résultat. Voici à quoi devrait ressembler la sortie. C'est le principe de base de la simulation de Monte-Carlo.
Là encore, on procède généralement ainsi sur un grand nombre d'échantillons afin de mieux comprendre la variation attendue dans la réponse. JMP permet également d'introduire d'autres types de variation dans les résultats. Je n'en parlerai pas ici. Sachez simplement que cette option est disponible. Comment utiliser Monte Carlo avec JMP ? C'est très simple. Une fois le modèle créé (ici, un modèle des moindres carrés), je vais accéder à l'ajustement du modèle et activer le profileur. C'est par là qu'il faut commencer. Si vous avez déjà utilisé le profileur, il s'agit d'une représentation graphique de l'équation du modèle déterminée lors de votre analyse précédente. Vous pouvez ainsi modifier la valeur d'entrée X et observer son impact sur Y.
L'outil de profilage vous permet également de réaliser une simulation de Monte Carlo. En cliquant sur le triangle rouge du profileur, vous pouvez activer le simulateur. Il s'agit du simulateur de Monte Carlo. Celui-ci vous permet de spécifier comment la valeur de votre variable X évolue. Il vous montre ensuite l'évolution de vos variables de réponse. Dans le menu déroulant ci-dessous, vous pouvez choisir le type de variation de votre variable X, ici le couple appliqué. Je vais sélectionner « aléatoire ». Une fois l'option « aléatoire » sélectionnée, vous pouvez spécifier la distribution à utiliser pour la variation de cette entrée.
Supposons, par exemple, que nous souhaitions faire fonctionner ce système à 125 Nm, ce qui correspond à notre valeur de couple typique. Vous avez effectué quelques mesures rapides avec la clé dynamométrique que vous allez utiliser et vous avez constaté qu'en la programmant à 125 Nm, on obtient généralement cette valeur, avec un écart type de 3 Nm, par exemple. Vous pouvez indiquer la moyenne et l'écart type correspondant à vos attentes.
Il vous suffit ensuite de cliquer sur le bouton « Simuler » ici, et JMP calcule un grand nombre de valeurs, celui que vous avez saisi dans le champ ci-dessous. Dans cet exemple, 10 000 valeurs ont été utilisées. JMP a sélectionné aléatoirement 10 000 valeurs différentes issues d'une distribution normale de moyenne 125 et d'écart type 3. Ces 10 000 valeurs ont ensuite été intégrées à l'équation de votre modèle à l'aide des estimations de paramètres précédemment déterminées, et la réponse a été calculée pour chacune de ces variables. La distribution affichée vous donne un aperçu du résultat.
L'affichage est légèrement réduit car l'échelle du graphique est un peu étroite ; vous pouvez l'agrandir si vous le souhaitez. Vous pouvez également demander à JMP d'afficher les valeurs dans un tableau (voir ci-dessous : « Simuler dans un tableau »). Je vais l'ouvrir et cliquer sur le bouton « Créer un tableau ». Voici les 10 000 valeurs différentes de couple appliqué, sélectionnées aléatoirement à partir de la distribution normale. Elles ont été intégrées à l'équation, puis utilisées pour calculer la force.
JMP a déjà effectué une analyse de distribution enregistrée ici. Je vais donc l'ouvrir. Elle affiche la distribution des forces mesurées. Cette distribution, ici, est affichée avec une résolution légèrement supérieure pour que vous puissiez mieux observer le fonctionnement de votre système. Cette distribution des forces mesurées illustre l'effet des variations du couple appliqué, selon une distribution supposée, et vous permet de visualiser l'impact de ces variations sur la réponse.
À partir de là, vous pouvez effectuer diverses analyses, comme l'analyse de capabilité du processus, l'analyse des intervalles de tolérance, etc. Ces analyses vous permettront d'appréhender le comportement de votre système face à la variation de vos entrées. Le choix des méthodes vous appartient. Vous pouvez par exemple utiliser des données historiques. Vous avez examiné la clé dynamométrique utilisée sur ce système et constaté que le couple varie selon cette distribution. Vous pouvez donc choisir la distribution et les paramètres appropriés.
Vous possédez peut-être une expertise du domaine qui vous permet d'analyser le fonctionnement de votre système et de supposer, par exemple, que certaines valeurs suivent une distribution uniforme. Bien sûr, vous pouvez aussi faire des suppositions, puisqu'il s'agit d'un modèle. En cas de doute, commencez par supposer une distribution normale afin d'observer les résultats. Vous pourrez ensuite réaliser de nombreuses analyses de scénarios qui pourraient vous intéresser. C'est le principe de la simulation de Monte-Carlo, très simple à mettre en œuvre dans JMP. Avec le bootstrapping, ces deux techniques permettent d'évaluer la variabilité de votre système, soit à partir de petits échantillons pour le bootstrapping, soit à partir de la variabilité connue de vos entrées afin d'évaluer l'impact sur vos sorties.
Nous avons abordé plusieurs points. Le bootstrapping est une technique qui permet d'anticiper les variations possibles au sein de votre système, même à partir de petits échantillons. L'analyse de Monte Carlo, quant à elle, permet d'introduire des variations dans les entrées d'un modèle afin d'en comprendre l'impact sur ses sorties. Ce sont des techniques très courantes, très populaires et très performantes. Une fois votre modèle établi, vous disposez d'outils très utiles. Voilà ce dont je voulais vous parler aujourd'hui. Merci beaucoup.
