배경
최근 열 살 딸과 고전적인 세 개의 껍질 게임을 하면서 몬티 홀 문제 에 대해 생각해 보았습니다. 혹시 다시 한번 되짚어 보면, 몬티 홀 문제는 세 개의 껍질 게임에 약간의 변형을 준 것입니다. 플레이어가 보지 못하는 사이에 세 개의 껍질 중 하나 아래에 물체가 놓이고, 플레이어는 그 물체가 있기를 바라는 껍질 중 하나를 선택합니다. 플레이어가 선택을 마치면, a) 플레이어가 선택한 껍질이 아니고 b) 해당 물체가 없는 껍질 하나를 제거합니다. 그런 다음, 플레이어는 첫 번째 선택을 고수할지, 아니면 남은 다른 껍질로 선택을 변경할지 선택하게 됩니다.
흥미로운 사고 실험이었고, 우리는 한동안 함께 재밌게 놀았습니다. 다행히 선택을 바꾸는 것이 "올바른" 접근 방식인지, 아니면 처음 선택을 고수해야 하는지 기억이 나지 않았습니다. 딸아이는 그 게임을 본 적이 없어서, 우리 둘 다 적어도 어느 정도는 편견 없이 플레이할 수 있었습니다.
몇 라운드를 플레이한 후, 우리 둘 다 "과학적인" 방식으로 더 자주 이길 수 있는 방법을 찾아보기로 했습니다. 처음 선택지를 고수하는 방식(10게임 중 4게임이 승리)과 선택지를 바꾸는 방식(10게임 중 6게임이 승리)을 반복하기로 했습니다. 그러다 컴퓨터 앞에 앉아 JMP를 열고 시뮬레이션을 해보니 정말 흥미로운 상황이 펼쳐졌습니다. 제 딸은 제가 JMP에서 일한다는 건 알지만, 그 이상은 제가 직장에서 무슨 일을 하는지 잘 몰랐습니다.
모델 구축
딸에게 JMP를 활용한 문제 해결 방법을 알려주기에 좋은 기회라고 생각해서, 게임의 각 단계를 시뮬레이션하는 데이터 테이블을 함께 만들었습니다. 처음에는 10개의 행으로 시작해서 각 단계에 대한 수식 열을 만들었습니다. 컵을 앞에 두고 수식을 시험해 보고(그리고 다듬어 가면서) 시행착오도 겪었습니다. 딸이 수식을 만드는 법을 얼마나 빨리 배우는지 보면서 즐거운 순간도 있었습니다. 딸은 언제쯤 "학교에서 이런 내용을 배우게 될지", 그리고 다음 아이와 함께 출근하는 날은 언제인지 물어보기도 했습니다.
아래 그림과 같이 이 항목에 첨부된 저희가 만든 표는 상당히 간단합니다. 게임 진행의 각 단계는 공식 열에 반영됩니다. 첫 번째 열은 아이템이 어떤 껍질에 있는지, 그리고 플레이어가 어떤 껍질을 선택할지 무작위로 선택하는 간단한 공식입니다.
일부 열에는 더 복잡한 수식이 있습니다. 예를 들어, Remove Which Choice 열 수식은 여러 단계를 거쳐 결과를 도출하는 스크립트와 유사합니다.
마지막 두 열은 원래 추측을 고수하거나 추측을 전환하여 게임에서 이겼는지(1) 졌는지(0)를 나타냅니다.
시뮬레이션과 학습
이제 몇 가지 실험 결과를 예측할 수 있는 모델이 완성되었으므로, 전체적인 결과를 예측하기 위해 여러 실험을 실행해 보기로 했습니다. 이를 몬테카를로 방법 이라고 합니다. 여러 실험의 결과를 시뮬레이션하려면 데이터 테이블에 여러 행을 추가하기만 하면 됩니다. 테이블을 10,000개의 행으로 변경한 후, 헤더 그래프에서 행을 바꾸는 것이 더 나은 전략임을 금방 확인했습니다. 이를 Distribution 플랫폼에서도 확인했습니다.
하지만 전환 전략의 성공률 66%는 저를 놀라게 했습니다. 제 직감으로는 전환 전략의 성공률이 50%일 거라고 생각했는데, 첫 번째 선택을 고수할 경우 33%의 성공률을 보였습니다. 흔히 그렇듯, 그래프 빌더를 사용하여 문제를 시각화하는 것이 문제를 더 잘 이해하는 데 도움이 되었습니다. 첫 번째 선택이 맞을 확률은 33%인 반면, 나머지 두 셸의 성공 확률을 합치면 66%입니다. 남은 셸 중 하나를 제거한다고 해서 66%의 성공 확률이 바뀌지는 않지만, 66%의 성공 확률이 하나의 셸로 제한됩니다.
결론
결국, 이것은 딸에게 재미있는 주제를 소개하는 즐거운 핑계이자, 동시에 제 호기심을 충족시키는 방법이었습니다. JMP를 사용하여 문제를 조사하고 해결하는 방법이 얼마나 다양한지 항상 흥미롭게 생각합니다. 여러분도 이와 비슷한 재미있는 경험이 있으신가요? 있다면 댓글로 공유해 주세요.
Monty Hall 문제와 귀하의 모델의 핵심 가정을 언급하지 않았습니다. 껍질 중 하나를 제거했을 때 a) 플레이어가 선택한 껍질이 아니고 b) 해당 항목이 없다는 정보는 전환에서 66%의 성공률을 내기에 충분하지 않습니다. 또한 중요한 것은 껍질이 어떻게 제거되는가입니다. 게임 쇼 진행자가 상품의 위치를 알고 있고 결코 상품을 공개하지 않을 경우 귀하의 모델은 옳습니다. 그러나 게임 쇼 진행자가 상품 위치를 모르고 단순히 빈 껍질을 공개하도록 추측했다면 나머지 두 껍질의 성공률은 각각 50%이고 전환의 이점이 없습니다. 진행자가 모르고 빈 껍질을 찾을 것이라고 추측하면 33%의 확률로 우연히 그리고 불운하게 상품을 공개하게 됩니다.
몬티 홀은 무식한 게임 쇼 진행자가 아니었던 것으로 유명합니다.
@stat_tom 님 , 설명 감사합니다! 호스트가 상품이 없는 셸을 제거하려면 상품이 어디에 있는지 알고 있어야 한다고 생각했는데, 그게 얼마나 혼란스럽고 불분명했을지 짐작이 갑니다.
