背景
最近、10歳の娘と定番の「三つの貝殻ゲーム」をしながら、 モンティ・ホール問題について考えました。念のためおさらいすると、モンティ・ホール問題は基本的に三つの貝殻ゲームにちょっとした工夫を加えたものです。三つの貝殻のどれか一つに、プレイヤーには見えないように物体が置かれ、プレイヤーは物体があると思われる貝殻を一つ選びます。プレイヤーが選んだ後、a) プレイヤーが選んだ貝殻ではなく、b) 物体が入っていない貝殻が一つ取り除かれます。そして、プレイヤーは最初の選択を続けるか、残りのもう一つの貝殻に変更するかを選択できます。
これはとても興味深い思考実験で、しばらく一緒に遊んで楽しかったです。幸いなことに、選択を変えることが「正しい」アプローチなのか、それとも最初の選択に固執すべきなのか、私には思い出せませんでした。娘はこのゲームを見たことがなく、私たち二人とも少なくとも少しは偏見を持っていました。
数ラウンドプレイした後、私たちは二人とも「科学的」な視点で、もっと勝てる方法を見つけられないか試してみることにしました。最初の選択を貫いた場合（10回中4回勝利）と、選択を変えた場合（10回中6回勝利）を追跡することにしました。それから、コンピューターの前に行き、JMPを開いてシミュレーションをしてみたところ、事態はますます面白くなってきました。娘は私がJMPで働いていることは知っていましたが、それ以上は私の仕事についてよく知りませんでした。
モデルの構築
これは娘にJMPを使った問題解決の仕方を紹介する良い機会だと思い、一緒にデータテーブルを作成し、ゲームの各ステップをシミュレーションしました。最初は10行だけから始め、各ステップに数式の列を作成しました。目の前のカップを使って数式を試し（そして改良し）、試行錯誤を繰り返しました。娘が数式をあっという間に覚えていく様子を見るのは、私にとっても楽しい瞬間でした。娘は「学校でこういうことを習うのはいつ？」「次の子ども職場体験デーはいつ？」と聞いてくるほどでした。
以下に画像を掲載し、このエントリに添付した、私たちが考案した表は非常にシンプルです。ゲームプロセスの各ステップは、計算式の列に反映されています。最初の列は単純な計算式で、アイテムがどのシェルの下にあるか、そしてプレイヤーがどのシェルを選択するかをランダムに決定します。
一部の列には、より複雑な数式が含まれています。例えば、「Remove Which Choice」列の数式は、出力に至るまでに複数のステップを含むスクリプトのような構造になっています。
最後の 2 つの列は、最初の推測を維持するか推測を切り替えるかに基づいて、ゲームの勝ち (1) または負け (0) を反映します。
シミュレーションと学習
いくつかの実験の結果を予測できるモデルが完成したので、今度は多くの実験を実行して全体的な結果を予測したいと考えました。これはモンテカルロ法と呼ばれることもあります。多くの異なる実験の結果をシミュレートするには、データテーブルに多くの行を追加するだけで済みました。テーブルを10,000行に変更すると、ヘッダーグラフで切り替えの方が優れた戦略であることがすぐにわかりました。これはDistributionプラットフォームでも確認できました。
しかし、切り替え戦略の成功率が66%という数字には驚きました。直感的に、切り替えの成功率は50%、最初の選択肢に固執した場合の成功率は33%だろうと考えていました。よくあることですが、グラフビルダーを使って問題を視覚化することで、より深く理解することができました。最初の選択肢が正解する確率は33%ですが、残りの2つのシェルを合わせると66%になります。残りのシェルの1つを削除しても、この66%の確率は変わりませんが、その66%の確率が1つのシェルだけに限定されます。
結論
結局のところ、これは娘に楽しい話題を紹介する楽しい口実であり、同時に私自身の好奇心を満たす方法でもありました。JMPが問題の調査や解決にいかに多様な方法で活用できるかは、いつも興味深いです。皆さんもこのような楽しい経験はありますか？もしあれば、ぜひコメント欄で教えてください。
モンティ・ホール問題とあなたのモデルの重要な前提について触れていません。貝殻の 1 つが取り除かれたときに、a) プレイヤーが選んだ貝殻ではなく、b) アイテムも入っていないという情報だけでは、入れ替えの 66% の成功率を生むのに十分ではありません。また重要なのは、貝殻がどのように取り除かれるかです。ゲーム ショーの司会者が賞品の場所を知っていて、決してそれを明かさない場合、あなたのモデルは正しいです。しかし、ゲーム ショーの司会者が賞品の場所を知らず、単に空の貝殻を明らかにすることを推測した場合、残りの 2 つの貝殻はそれぞれ 50% の成功率となり、入れ替える利点はありません。司会者が何も知らずに空の貝殻の場所を推測した場合、33% の確率で、偶然かつ不運にも賞品を明らかにしてしまうことに注意してください。
モンティ・ホールは無知なゲーム番組の司会者ではなかったことで有名です。
@stat_tomさん、ご説明ありがとうございます！ホストが賞品のないシェルを削除するには、賞品の場所を明確に把握している必要があると思っていましたが、それが混乱を招いたり、不明確になったりしたかもしれません。
