Sfondo
Di recente ho ripensato al problema di Monty Hall mentre giocavo al classico gioco delle tre conchiglie con mia figlia di 10 anni. Nel caso in cui abbiate bisogno di un ripasso, il problema di Monty Hall è essenzialmente il gioco delle tre conchiglie con una variante: un oggetto viene posizionato sotto una delle tre conchiglie senza che il giocatore lo veda, e il giocatore sceglie una delle conchiglie in cui spera che si trovi l'oggetto. Dopo che il giocatore ha fatto la sua scelta, viene rimossa una delle conchiglie che a) non era la conchiglia scelta dal giocatore e b) non contiene l'oggetto. Quindi, al giocatore viene data la possibilità di scegliere se mantenere la sua prima scelta o cambiare la sua scelta con l'altra conchiglia rimanente.
È un esperimento mentale coinvolgente e ci siamo divertiti a giocarci insieme per un po'. Per fortuna, non riuscivo a ricordare se cambiare la propria scelta fosse l'approccio "corretto" o se si dovesse mantenere la scelta iniziale. Mia figlia non aveva mai visto il gioco prima, quindi eravamo entrambi almeno un po' imparziali.
Dopo aver giocato per alcune partite, abbiamo deciso entrambi di essere "scientifici" e vedere se potevamo trovare un modo per vincere più spesso. Abbiamo deciso di seguire la scelta iniziale (quattro partite su 10 si sono concluse con una vittoria) e di cambiarla (sei partite su 10 si sono concluse con una vittoria). Poi, le cose si sono fatte davvero interessanti quando siamo andati al computer, abbiamo aperto JMP e abbiamo fatto una simulazione. Mia figlia sa che lavoro per JMP, ma a parte questo, non sapeva davvero cosa facessi al lavoro.
Costruire un modello
Ho pensato che questa potesse essere una buona occasione per introdurla all'uso di JMP per risolvere i problemi, quindi abbiamo creato insieme una tabella dati per simulare ogni fase del gioco. Abbiamo iniziato con solo 10 righe, creando colonne per le formule per ogni passaggio. Abbiamo fatto un po' di tentativi ed errori mentre testavamo (e perfezionavamo) le formule con le tazze davanti a noi. Ci sono stati anche momenti divertenti nel vedere quanto velocemente mia figlia stava imparando a creare formule. Mi ha persino chiesto quando avrebbe potuto "imparare questo tipo di cose a scuola" e quando sarebbe stato il prossimo giorno di "Porta tuo figlio al lavoro".
La tabella che abbiamo elaborato, illustrata qui sotto e allegata a questa voce, è piuttosto semplice. Ogni fase del gioco è riportata in una colonna di formule. Le prime colonne sono formule semplici, che scelgono casualmente sotto quale conchiglia si trova l'oggetto e quale conchiglia sceglie il giocatore.
Alcune colonne contengono formule più complesse. Ad esempio, la formula della colonna "Rimuovi quale scelta" è più simile a uno script, che include diversi passaggi per arrivare a un output.
Le ultime due colonne indicano la vittoria (1) o la sconfitta (0) della partita in base al mantenimento dell'ipotesi originale o al cambio di ipotesi.
Simulazione e apprendimento
Ora che avevamo un modello in grado di prevedere l'esito di alcuni esperimenti, volevamo eseguirne molti per prevedere l'esito generale. Questo metodo è spesso chiamato metodo Monte Carlo . Per simulare l'esito di molti esperimenti diversi, ci è bastato aggiungere molte righe alla nostra tabella dati. Modificando la tabella per avere 10.000 righe, abbiamo subito visto nei grafici di intestazione che cambiare la strategia era la migliore. Lo abbiamo confermato con la piattaforma di distribuzione.
Tuttavia, il tasso di successo del 66% per la strategia di cambio mi ha sorpreso. Il mio intuito mi ha portato a pensare che il cambio avrebbe avuto un tasso di successo del 50%, contro il 33% di successo per la prima scelta. Come spesso accade, visualizzare il problema con Graph Builder mi ha aiutato a comprenderlo meglio. La scelta iniziale ha una probabilità del 33% di essere corretta, mentre le due shell rimanenti hanno una probabilità combinata del 66%. Rimuovere una delle shell rimanenti non modifica quella probabilità del 66%, ma la limita a una sola shell.
Conclusione
In definitiva, questa è stata una scusa divertente per introdurre mia figlia a un argomento divertente e, allo stesso tempo, un modo per soddisfare la mia curiosità. Trovo sempre interessante quanti modi diversi JMP possa essere utilizzato per analizzare e risolvere i problemi. Avete esperienze divertenti come questa? In tal caso, vi prego di segnalarle nei commenti.
Non hai menzionato un presupposto chiave del problema di Monty Hall e del tuo modello. L'informazione che quando una delle conchiglie viene rimossa a) non era la conchiglia scelta dal giocatore e b) non contiene l'oggetto non è sufficiente per produrre il tasso di successo del 66% nello scambio. Ciò che conta è anche come viene rimossa la conchiglia. Se il conduttore del quiz sa dove si trova il premio e non lo rivelerebbe mai, allora il tuo modello è corretto. Tuttavia, se il conduttore del quiz non sapeva dove si trovasse il premio e si limitava a indovinare di trovare una conchiglia vuota, allora le due conchiglie rimanenti hanno ciascuna un tasso di successo del 50% e non c'è alcun vantaggio nello scambio. Nota che se il conduttore non lo sapesse e indovinasse di trovare una conchiglia vuota, nel 33% dei casi rivelerebbe accidentalmente e sfortunatamente il premio.
Monty Hall era famoso per non essere un conduttore di quiz televisivi ignorante.
Grazie per il chiarimento, @stat_tom ! Pensavo che fosse chiaro che l'host sapesse dove si trova il premio, in modo da poter rimuovere una shell che non lo contiene, ma capisco come ciò possa essere stato poco chiaro/confuso.
