Hintergrund
Ich habe kürzlich beim klassischen Drei-Muscheln-Spiel mit meiner zehnjährigen Tochter über das Monty-Hall-Problem nachgedacht. Zur Erinnerung: Das Monty-Hall-Problem ist im Grunde das Drei-Muscheln-Spiel mit einem besonderen Kniff: Ein Gegenstand wird unter eine der drei Muscheln gelegt, ohne dass der Spieler ihn sieht, und der Spieler wählt eine der Muscheln aus, in der er den Gegenstand vermutet. Nachdem der Spieler seine Wahl getroffen hat, wird eine der Muscheln entfernt, die a) nicht die vom Spieler gewählte war und b) den Gegenstand ebenfalls nicht enthält. Anschließend hat der Spieler die Wahl, entweder bei seiner ersten Wahl zu bleiben oder die andere verbleibende Muschel auszuwählen.
Es ist ein spannendes Gedankenexperiment, und wir hatten eine Zeit lang Spaß daran, es gemeinsam zu spielen. Zum Glück konnte ich mich nicht erinnern, ob es der „richtige“ Ansatz war, seine Wahl zu ändern oder bei der ursprünglichen Wahl zu bleiben. Meine Tochter hatte das Spiel noch nie gesehen, daher waren wir beide zumindest ein wenig unvoreingenommen.
Nach ein paar Runden beschlossen wir beide, wissenschaftlich vorzugehen und zu sehen, ob wir einen Weg finden könnten, häufiger zu gewinnen. Wir entschieden uns, die anfängliche Wahl beizubehalten (vier von zehn Spielen endeten mit einem Sieg) und die Wahl zu ändern (sechs von zehn Spielen endeten mit einem Sieg). Dann wurde es richtig interessant, als wir an den Computer gingen, JMP öffneten und eine Simulation durchführten. Meine Tochter weiß, dass ich für JMP arbeite, aber darüber hinaus wusste sie nicht wirklich, was ich beruflich mache.
Erstellen eines Modells
Ich dachte, das wäre eine gute Gelegenheit, ihr die Verwendung von JMP zur Problemlösung näherzubringen. Also erstellten wir gemeinsam eine Datentabelle, um jeden Schritt des Spiels zu simulieren. Wir begannen mit nur zehn Zeilen und erstellten für jeden Schritt Formelspalten. Es gab ein bisschen Herumprobieren, während wir die Formeln mit den Bechern vor uns testeten (und verfeinerten). Es gab auch einige lustige Momente, als ich sah, wie schnell meine Tochter das Erstellen von Formeln lernte. Sie fragte mich sogar, wann sie „so etwas in der Schule lernen“ würde und wann der nächste „Nimm dein Kind mit zur Arbeit“-Tag sei.
Die von uns erstellte Tabelle (siehe Abbildung unten und Anhang) ist recht einfach. Jeder Spielschritt wird in einer Formelspalte dargestellt. Die ersten Spalten sind einfache Formeln, die zufällig auswählen, unter welcher Hülle sich der Gegenstand befindet und welche Hülle der Spieler wählt.
Einige Spalten enthalten komplexere Formeln. Beispielsweise ähnelt die Formel der Spalte „Welche Auswahl entfernen“ eher einem Skript und umfasst mehrere Schritte, um zu einer Ausgabe zu gelangen.
Die letzten beiden Spalten geben den Gewinn (1) oder Verlust (0) des Spiels an, je nachdem, ob man bei der ursprünglichen Vermutung bleibt oder die Vermutung ändert.
Simulation und Lernen
Nachdem wir nun ein Modell hatten, das den Ausgang einiger Experimente vorhersagen konnte, wollten wir viele Experimente durchführen, um das Gesamtergebnis vorherzusagen. Dies wird oft als Monte-Carlo-Methode bezeichnet. Um den Ausgang vieler verschiedener Experimente zu simulieren, mussten wir unserer Datentabelle lediglich viele Zeilen hinzufügen. Als wir die Tabelle auf 10.000 Zeilen erweiterten, erkannten wir in den Header-Diagrammen schnell, dass ein Wechsel die bessere Strategie ist. Dies bestätigten wir mit der Distribution-Plattform.
Die Erfolgsquote von 66 % für die Wechselstrategie überraschte mich jedoch. Intuitiv ging ich davon aus, dass der Wechsel eine Erfolgsquote von 50 % hätte, während die Erfolgsquote bei der ersten Wahl 33 % betrug. Wie so oft half mir die Visualisierung des Problems mit dem Graph Builder, es besser zu verstehen. Die erste Wahl hat eine Wahrscheinlichkeit von 33 %, richtig zu sein, während die beiden verbleibenden Schalen zusammen eine Wahrscheinlichkeit von 66 % haben. Das Entfernen einer der verbleibenden Schalen ändert nichts an dieser 66-%-Chance, beschränkt sie aber auf nur eine Schale.
Abschluss
Letztendlich war dies ein unterhaltsamer Anlass, meine Tochter an ein spannendes Thema heranzuführen und gleichzeitig meine Neugier zu befriedigen. Ich finde es immer wieder faszinierend, wie vielfältig JMP zur Untersuchung und Lösung von Problemen eingesetzt werden kann. Haben Sie ähnliche Erfahrungen gemacht? Wenn ja, teilen Sie sie uns gerne in den Kommentaren mit.
Sie haben eine zentrale Annahme des Monty-Hall-Problems und Ihres Modells nicht erwähnt. Die Information, dass eine der Muscheln a) nicht die vom Spieler gewählte ist und b) den gesuchten Gegenstand nicht enthält, reicht nicht aus, um die Erfolgsquote von 66 % beim Tausch zu erklären. Entscheidend ist auch, wie die Muschel entfernt wird. Wenn der Moderator weiß, wo sich der Preis befindet und ihn niemals verraten würde, ist Ihr Modell korrekt. Wenn der Moderator jedoch den Fundort des Preises nicht kennt und einfach rät, eine leere Muschel zu finden, liegt die Erfolgsquote der beiden verbleibenden Muscheln jeweils bei 50 %, und ein Tausch bringt keinen Vorteil. Beachten Sie, dass der Moderator, wenn er den Fundort nicht kennt und rät, in 33 % der Fälle versehentlich und unglücklicherweise den Preis verraten würde.
Monty Hall war bekanntermaßen kein ungebildeter Spielshow-Moderator.
Danke für die Klarstellung, @stat_tom ! Ich war davon ausgegangen, dass es klar wäre, dass der Host weiß, wo sich der Preis befindet, um eine Shell zu entfernen, die den Preis nicht enthält, aber ich verstehe, wie das verwirrend/unklar gewesen sein könnte.
