Arrière-plan
J'ai récemment repensé au problème de Monty Hall en jouant au jeu classique des trois coquillages avec ma fille de 10 ans. Pour rappel, le problème de Monty Hall est essentiellement le jeu des trois coquillages, avec une variante : un objet est placé sous l'un des trois coquillages sans que le joueur ne le voie, et le joueur choisit l'un des coquillages où il espère trouver l'objet. Après avoir fait son choix, le joueur retire l'un des coquillages : a) celui qui n'était pas celui qu'il avait choisi et b) celui qui ne contenait pas l'objet. Le joueur a ensuite le choix de conserver son premier choix ou de choisir l'autre coquillage restant.
C'était une expérience de réflexion captivante, et nous avons pris plaisir à y jouer ensemble pendant un moment. Heureusement, je ne me souvenais plus si changer de choix était la « bonne » approche, ou s'il fallait s'en tenir à son choix initial. Ma fille n'avait jamais vu le jeu auparavant, donc nous étions toutes les deux au moins un peu impartiales.
Après quelques parties, nous avons décidé de faire preuve de « science » et de voir si nous pouvions trouver un moyen de gagner plus souvent. Nous avons choisi de conserver le choix initial (quatre parties sur dix ont abouti à une victoire) et de changer de choix (six parties sur dix ont abouti à une victoire). Ensuite, les choses sont devenues vraiment intéressantes lorsque nous sommes allés à l'ordinateur, avons ouvert JMP et avons fait une simulation. Ma fille sait que je travaille pour JMP, mais au-delà de ça, elle ne savait pas vraiment ce que je faisais au travail.
Construire un modèle
J'ai pensé que ce serait une bonne occasion de lui faire découvrir JMP pour résoudre des problèmes. Nous avons donc créé ensemble un tableau de données pour simuler chaque étape du jeu. Nous avons commencé avec seulement 10 lignes, en créant des colonnes de formules pour chaque étape. Nous avons procédé par tâtonnements pour tester (et affiner) les formules avec les gobelets devant nous. J'ai aussi eu des moments amusants en voyant la rapidité avec laquelle ma fille apprenait à formuler des formules. Elle m'a même demandé quand elle pourrait « apprendre ce genre de choses à l'école » et quand aurait lieu la prochaine journée « Emmenez votre enfant au travail ».
Le tableau que nous avons créé, illustré ci-dessous et joint à cet article, est assez simple. Chaque étape du jeu est reflétée dans une colonne de formules. Les premières colonnes sont des formules simples, choisissant aléatoirement la coque sous laquelle se trouve l'objet et celle que le joueur choisit.
Certaines colonnes ont des formules plus complexes. Par exemple, la formule « Supprimer quel choix » de la colonne ressemble davantage à un script, incluant plusieurs étapes pour obtenir un résultat.
Les deux dernières colonnes reflètent la victoire (1) ou la défaite (0) du jeu en fonction du maintien de la supposition initiale ou du changement de supposition.
Simulation et apprentissage
Maintenant que nous disposions d'un modèle capable de prédire le résultat de quelques expériences, nous souhaitions en réaliser de nombreuses pour prédire le résultat général. Cette méthode est souvent appelée méthode de Monte-Carlo . Pour simuler le résultat de nombreuses expériences différentes, il nous suffisait d'ajouter de nombreuses lignes à notre tableau de données. En modifiant le tableau pour qu'il comporte 10 000 lignes, nous avons rapidement constaté, dans les graphiques d'en-tête, que la commutation était la meilleure stratégie. Nous l'avons confirmé avec la plateforme de distribution.
Cependant, le taux de réussite de 66 % pour la stratégie de changement m'a surpris. Mon intuition me laissait penser que le changement aurait un taux de réussite de 50 %, contre 33 % pour le premier choix. Comme souvent, visualiser le problème avec Graph Builder m'a permis de mieux le comprendre. Le choix initial a 33 % de chances d'être correct, tandis que les deux autres options ont une chance combinée de 66 %. Supprimer l'une des options restantes ne modifie pas ces 66 %, mais les limite à une seule option.
Conclusion
En fin de compte, c'était une occasion amusante de présenter un sujet amusant à ma fille, tout en satisfaisant ma curiosité. Je trouve toujours intéressant de voir les nombreuses façons d'utiliser JMP pour étudier et résoudre des problèmes. Avez-vous vécu des expériences amusantes de ce genre ? Si oui, n'hésitez pas à les mentionner dans les commentaires.
Vous n'avez pas mentionné une hypothèse fondamentale du problème de Monty Hall et de votre modèle. Le fait de savoir que lorsqu'une coquille est retirée, a) ce n'était pas celle choisie par le joueur et b) elle ne contient pas l'objet, ne suffit pas à expliquer le taux de réussite de 66 % lors du changement de coquille. La manière dont la coquille est retirée est également cruciale. Si l'animateur du jeu télévisé connaît l'emplacement du prix et ne le révélerait jamais, votre modèle est correct. En revanche, s'il ignore l'emplacement du prix et choisit au hasard pour révéler une coquille vide, les deux coquilles restantes ont chacune une probabilité de réussite de 50 %, et il n'y a aucun avantage à changer de coquille. Notez que si l'animateur ignore l'emplacement du prix et choisit au hasard pour trouver une coquille vide, il révélera accidentellement et malchance le prix dans 33 % des cas.
Monty Hall était réputé pour ne pas être un animateur de jeux télévisés ignorant.
Merci pour cette précision, @stat_tom ! Je pensais qu'il serait évident que l'hôte sait où se trouve le prix afin de supprimer un shell qui ne le contient pas, mais je comprends que cela ait pu prêter à confusion.
