回帰分析でIVを相互作用のみで中心化いくつかの場所で読んだのですが、JMPは回帰分析において、相互作用のある変数群は中心化されるものの、それらの変数群の単純効果バージョンは中心化されないということです。まず、これは本当でしょうか？次に、もし本当なら、回帰分析の線形独立性要件に違反しないのはなぜでしょうか？
例えば、
Y = b0 + b1x1 + b2c2 + b3x1x2
JMP が相互作用についてのみ両方を中心化するため、x1x2 が x1'x2' にされると、相互作用項が 0 ではなくなるため、b1 は x2 = 0 のときの x1 の Y への影響の推定値ではなくなります。b2 についても同様です。
これらの問題を考えると、JMPの実際の動作を誤解しているのではないかと思います。どなたか説明していただけますか？
基本的なデータ分析とモデリング回帰におけるIVの中央化こんにちは@Jimvano7さん、
コミュニティへようこそ！
多項式または相互作用効果を中心化すると、切片値がシフトし、係数値が変わります。
あなたの例では、中心化しない場合、切片は b0 になります。
X1 と X2 を相互作用項の中心に置いた場合、「新しい」切片は、b0 + 相互作用項に含まれる部分と、X1 と X2 の平均値および係数 b'3 に対応します。
JMP®がデフォルトで多項式をモデルの中心に配置する理由については、「JMP®はなぜデフォルトで多項式をモデルの中心に配置するのか？ 」をご覧ください。C因子を入力することで、モデルに交互作用項や多項式項が存在する場合に多重共線性を軽減できます。多重共線性があると、項の係数がより複雑になり、推定精度が低下する可能性があります（統計的有意性の評価に差異が生じる可能性があります）。実用的な例については、ステップワイズモデルに関する質問をご覧ください。
さらに詳しい情報については、多項式の中心化の計算と放物線の切片に関する以前の議論を参照してください。
これで状況が明らかになれば幸いです。
回帰におけるIVの中央化こんにちはビクターG 、
ご返信ありがとうございます。説明が明確でなかったことをお詫び申し上げます。なぜ変数を平均中心化するのかを尋ねているわけではありません。私は日常的にそうしています。
私の質問は2つあります:
1) JMPとは、相互作用に関係する変数群を中心化することを意味し、それらの変数群の単純効果バージョンを中心化することを意味しないのでしょうか？つまり、私の例で言えば、単純効果はX1、相互作用はX1'です。
2) そして、私が読んだとおりにそうなるのであれば、もう一方の変数が 0 のときに、b1 と b2 はもはや x1 の Y への影響と x2 の Y への影響ではなくなるので、それらの意味は何でしょうか。
ありがとう、
ジム
回帰におけるIVの中央化こんにちは@Jimvano7さん、
JMP がどのように動作するかを知るには、実践的な例が最適です。
2 つの因子 X1 と X2、事前に決定された応答曲面方程式 Y を持つ応答、および中心化された X1 と中心化された X2 の 2 つの計算された列を含むデータセットを準備しました。
元の変数と応答曲面モデルを使用してモデルフィッティングを開始すると、JMP は元の変数を中心化せず、相互作用項または多項式項に関係する変数を中心にすることがわかります。
中心化変数と応答曲面モデルを使用してモデルフィッティングを開始すると、Xi と中心化 Xi の間でパラメータ推定値が同じであり、切片は異なりますが、パラメータ推定値は以前と同じであることがわかります。
変数を中央揃えしても、対応する主効果推定値の係数は変わりません (変数を中央揃えするかどうかに関係なく、「傾き」は同じです)。そのため、解釈は同じままです。
したがって、このユースケースとデモンストレーションは、あなたの 2 つの質問に答えていると思います (2 番目の質問の問題を理解しているかどうかはわかりません)。
回帰におけるIVの中央化こんにちはビクターG 、
最初の質問に答えていただき、また例を作成していただき、ありがとうございます。この例の問題点は、X1X2をJMPの平均値中心化オプションに含めた際に、JMP平均値中心化オプションをオンにしていることです。このオプションをオフにすると、全く異なる結果になります。データセットのデータを以下に示します。X1、X2、Yはすべて連続変数です。X1の平均は9.886、X2の平均は1.303です。
バージョン 1。JMPの平均中心化オプションをオフにし、生の IV を使用すると、次のようになります。
| 学期 |
見積もり |
標準エラー |
t比 |
おそらく |
| インターセプト |
164.198 |
36.29445 |
4.52 |
0.0001* |
| X1 |
-50.64385 |
3.103592 |
-16.32 |
<.0001* |
| X2 |
-14.74154 |
8.796501 |
-1.68 |
0.1058 |
| X1*X2 |
-6.260865 |
0.726168 |
-8.62 |
<.0001* |
バージョン2。JMPの平均中心化オプションをオンにし、生の単純効果項と平均中心化された交互作用項を加えると、次のようになります。
| 学期 |
見積もり |
標準エラー |
t比 |
おそらく |
| インターセプト |
83.558404 |
35.53908 |
2.35 |
0.0266* |
| X1 |
-42.48702 |
2.977176 |
-14.27 |
<.0001* |
| X2 |
-76.63734 |
4.675518 |
-16.39 |
<.0001* |
| (X1-9.88614)*(X2+1.30283) |
-6.260865 |
0.726168 |
-8.62 |
<.0001* |
バージョン 3。すべての変数に対して手動で平均中心化を行い、JMP の平均中心化をオフにします。
| 学期 |
見積もり |
標準エラー |
t比 |
おそらく |
| インターセプト |
-236.6291 |
19.63316 |
-12.05 |
<.0001* |
| 中央揃えX1 |
-42.48702 |
2.977176 |
-14.27 |
<.0001* |
| 中央X2 |
-76.63734 |
4.675518 |
-16.39 |
<.0001* |
| 中央揃えX1*中央揃えX2 |
-6.260865 |
0.726168 |
-8.62 |
<.0001* |
ご覧のとおり、b0、b1、b2 はすべてバージョン 1 とバージョン 2 で異なる値になります。
バージョン1 ：この式には交互作用項が含まれているため、b1（-50.644）の意味と、b1の有意性を判断するために行われる統計的検定（H0 = 0）は、**X2=0**のときのX1がYに与える影響と関連しています。X1は主効果ではなく、X2が0のときの条件付き単純効果です（Jaccard & Turissi, 2003）。同様に、b2はX1 = 0のときのX2がYに与える影響です。
ここで、単純効果項の X2 が生の値で、相互作用項の X2 が生の値である場合、計算は完璧に機能します。b1 は、X2 が 0 の場合の Y に対する X1 の影響です。したがって、b2X2 = 0 で、相互作用 = 0 です。X2 = 0 の場合、Y = 164.198 - 50.644X1 となります。
バージョン3 : 単純効果項と交互作用項の両方において、X1をX1'、X2をX2'として中心に置くとすれば、計算は再び完璧に機能します。b1は、X2'が0（X2が1.303）のときのX1'のYへの影響です。したがって、b2X2' = 0、交互作用 = 0です。X2' = 0、つまりX2 = 1.303のときのY = -236.629 + (-42.487)X1'となります。
バージョン2 : 単純効果項についてはX1とX2をそのまま残し、相互作用項をX1'とX2'を使って中心化すると、X2が0のときのb1はもはやX1のYへの影響ではなくなります。なぜなら、この場合、Y = b0 + b1X1 + b3X1'X2' または Y = 83.558 + (-42.487)X1 + (-6.261)(-1.303)X1' となるからです。この場合、傾きは50.644X1から(-42.487)X1 + (8.158)X1' に変わります。私の問題は、このバージョンにおけるb0、b1、b2の解釈はどうなっているかということです。
また、X1 は X1' を完全に予測するため、多重共線性は完全であり、JMP がバージョン 2 でエラーなしでモデルを解決するのはなぜでしょうか?
回帰におけるIVの中央化こんにちは@Jimvano7さん、
申し訳ありませんが、モデルテストで平均中心化オプションをオフにするのを忘れていました。
あなたの発言のいくつかにはまだ混乱しています。例えば、
また、X1 は X1' を完全に予測するため、多重共線性は完全であり、JMP がバージョン 2 でエラーなしでモデルを解決するのはなぜでしょうか?
X1とX'1はモデル内の変数であり、一方から他方へはわずかな変換のみが行われます。X1とX1、あるいはX'1とX'1でも同じ状況になるので、ポイントが理解できません。
問題となる可能性があるのは、パラメータ推定値 (b0、b1、b2 ... および b'0、b'1、b'2 ...) 間の相関/共線性の問題です。
テストを再開すると、相関関係の推定値に関する結果がいくつか得られます。
左側は、「多項式の自動センタリング」を行わないモデルバージョンです。X1/X1²およびX2効果のVIFが高いことがわかります。推定値の相関を見ると、X1とX1²、X2、X1*X2パラメータ推定値の間に強い相関があり、これらの主効果パラメータ推定値の標準誤差が過大になっていることがわかります。
右側は、多項式を自動センタリングしたモデルバージョンです。すべての効果についてVIFが低い/許容範囲内（< 2）であることがわかります。また、一部の効果推定値が相関している場合でも、パラメータ推定値間の自明な相関（例えば、X1効果とX1²効果の推定値間）は回避されています。自動センタリングにより、元の変数が同じであるパラメータ推定値の過大評価（例えば、主効果とX1の多項式効果）が回避されます。
応答値を 0 からの偏差ではなく、変数の平均からの偏差に基づいて比較しているため、変換された変数の変換により、このような状況では解釈が異なる可能性があることに同意します。
モデルの IV を平均中心化することが推奨されない理由について、いくつかの良い説明が見つかるかもしれません : : https://stats.stackexchange.com/questions/65898/why-could-centering-independent-variables-change-the-main-effects-with-moderation
結論として、JMPは、効果の元の尺度と解釈を維持するために変数中心化を行いませんが、多項式と交互作用については共線性を避け、パラメータ推定値の精度を高めるために変数中心化を行います。予測プロファイラーは、変数の効果をより深く理解するために、自動的に元の変数を使用します（そして、効果に関わらず同じ変数の「座標」を維持します）。
これがお役に立てば幸いです。
回帰におけるIVの中央化こんにちは@Jimvano7 : ビクターGの非常に良い点に加えて、このスレッドも役立つかもしれません。
https://community.jmp.com/t5/Discussions/Intercept-of-a-parabola/mp/805020
回帰におけるIVの中央化ありがとうビクターG
平均中心化によって変数間の相関がどのように変化するか、また、中心化が適切かそうでないかは理解しています。私が理解していないのは、このJMP導出モデル（バージョン2）において、生の変数と平均中心化された変数が混在する場合のb0、b1、b2の解釈です。あなたの回答は私の質問に答えていないようです。
バージョン2モデルに関する議論の中で、b1の意味について質問しました。b1を解釈する際には、X2 = 0と設定し、Y = 83.558 + (-42.487)X1 + (8.158)X1'となることを示しました。この場合、b1 (-42.487)は、X2 = 0のときのX1がYに与える影響の傾きではありません。むしろ、b1には解釈可能な意味がないように見えます。この論理はX2にも当てはまります。さらに、（データセットにおいて）X1、X2、X1'X2'がすべて0になる箇所は存在しないため、2つのIVとそれらの積が0のとき、b0はYの平均ではありません。では、これら3つの係数は何を意味するのでしょうか？
回帰におけるIVの中央化こんにちは@Jimvano7 : ちなみに、私はこのスレッドを興味深くフォローしていますが、私の意見を述べさせていただきます。
ご覧のとおり、平均中心モデルにおけるパラメータ推定値の解釈は困難です。「切片」は実際には最小二乗近似を保証するための定数に過ぎず、係数の解釈も容易ではありません。さらに、表中の対応するp値（平均中心モデルと非平均中心モデル）の多くは、同じ仮説を検定しているわけでもありません。
そうは言っても、すべての予測は同じであり、注意深く行えば、すべての推論が同じであることを示すことができます (同じ仮説をテストする場合、p 値などは同一です)。
しかし、表示される出力に興味があり、その出力を簡単に解釈したい場合には、mean-center を使用しないでください。
回帰におけるIVの中央化@MRB3855
以前の投稿でJMPの出力結果を用いて示したように、モデルの異なるバージョン（バージョン1～3）はそれぞれ異なる仮説に基づいており、異なる予測値を示しています。バージョン1とバージョン3では、仮説は明確で、係数（パラメータ推定値）の解釈にも意味があります。また、予測値が異なるのは、V1とV3で答えるべき質問が異なるためです。しかし、バージョン2（X1とX2に生の変数と平均中心変数が混在するJMPバージョン）については、係数に意味がないため、仮説が何なのか全く分かりません。
バージョン3では、すべての変数が平均中心化されているため、切片を含むすべての係数に意味があります。b0は「最小二乗近似を保証するための単なる定数」ではありません。これは、X1'が0（X1の平均）かつX2'が0（X2の平均）のときのYの平均です。
私にとって意味をなさない唯一のバージョンは、JMP から派生した混合モデルです。
回帰におけるIVの中央化こんにちは@Jimvano7 : では、バージョン 2 と 3 の出力に基づいて方程式を完全に展開し、同類項を集めて簡略化すると、バージョン 1 と同じ方程式は得られないのですか?
手動で行う必要もなく、簡単に実行できます。各バージョンの予測Yをデータテーブルに3つの新しい列として保存するだけです（出力画面の赤い三角のメニューにある「列を保存」を選択）。そうすると、予測Yは異なるのでしょうか？
回帰におけるIVの中央化@MRB3855 ,
3つの異なるモデルバージョンの3つの式は、私が提供した3つの表に示されています。3つともそれぞれ異なる式です。時間を節約するために、ここに再度コピーしました。
バージョン 1。JMPの平均中心化オプションをオフにし、生の IV を使用すると、次のようになります。
| 学期 |
見積もり |
標準エラー |
t比 |
おそらく |
| インターセプト |
164.198 |
36.29445 |
4.52 |
0.0001* |
| X1 |
-50.64385 |
3.103592 |
-16.32 |
<.0001* |
| X2 |
-14.74154 |
8.796501 |
-1.68 |
0.1058 |
| X1*X2 |
-6.260865 |
0.726168 |
-8.62 |
<.0001* |
バージョン2。JMPの平均中心化オプションをオンにし、生の単純効果項と平均中心化された交互作用項を加えると、次のようになります。
| 学期 |
見積もり |
標準エラー |
t比 |
おそらく |
| インターセプト |
83.558404 |
35.53908 |
2.35 |
0.0266* |
| X1 |
-42.48702 |
2.977176 |
-14.27 |
<.0001* |
| X2 |
-76.63734 |
4.675518 |
-16.39 |
<.0001* |
| (X1-9.88614)*(X2+1.30283) |
-6.260865 |
0.726168 |
-8.62 |
<.0001* |
バージョン 3。すべての変数に対して手動で平均中心化を行い、JMP の平均中心化をオフにします。
| 学期 |
見積もり |
標準エラー |
t比 |
おそらく |
| インターセプト |
-236.6291 |
19.63316 |
-12.05 |
<.0001* |
| 中央揃えX1 |
-42.48702 |
2.977176 |
-14.27 |
<.0001* |
| 中央X2 |
-76.63734 |
4.675518 |
-16.39 |
<.0001* |
| 中央揃えX1*中央揃えX2 |
-6.260865 |
0.726168 |
-8.62 |
<.0001* |
回帰におけるIVの中央化@MRB3855
すみません、問題を単純化するようにもおっしゃっていたのに気づきました。以前の投稿でも同じことをしました。まとめると、バージョン1と2ではX2=0、バージョン3ではX2'=0です。
バージョン1: Y = 164.198 - 50.644 * X1
バージョン2: Y = 83.558 - 42.487 * X1 + 8.158 * X1'
バージョン3: Y = -236.629 - 42.487 * X1'
回帰におけるIVの中央化こんにちは、@Jimvano7さん。あなたの計算は不完全で正確ではありません。バージョン2では「8.158 * X1」を展開する必要があります。
(ここで、X1' = X1-9.88614) となり、バージョン 2 の方程式がバージョン 1 の方程式と完全に一致することがわかります。
また、バージョン3のX2' = 0は、X2 = 0と仮定した場合、正しくありません。X2 = 0のとき、X2' = 0 + 1.30283 = 1.30283となります。また、先ほどの文で述べたように、X1'についても注意が必要です。
すべてを注意深く掛け合わせると、バージョン 2 と 3 の方程式はバージョン 1 の方程式と完全に一致します... 約束します (Excel で実行しただけです)。
回帰におけるIVの中央化@MRB3855
何らかの理由で返信が消えてしまったようです。最大フラッド制限に達したようです。もう一度試してみます…
X2の平均値の負の符号を忘れていたことに気づいていただきありがとうございます！ また、バージョン3ではX2=0ではなくX2' = 0と書きました。バージョン3はそのままで正しいです。バージョン2では、式をコピーして符号を修正します（8.158は-8.158になります）。
要約すると、バージョン 1 と 2 で X2=0、バージョン 3 で X2'=0 の場合、次のようになります。
バージョン1: Y = 164.198 - 50.644 * X1
バージョン2: Y = 83.558 - 42.487 * X1 - 8.158 * X1'
バージョン3: Y = -236.629 - 42.487 * X1'
X1=0 かつ X2=0 の場合、3 つの式すべてが Y に同じ値を生成するということに完全に同意します。
しかし、これは私の質問ではありませんでした。
私の質問は次のとおりです:
バージョン 2 の b0、b1、b2 の意味は何ですか?
- バージョン2のb1 (-42.487) が、X2 = 0 のときのX1からYへの影響であるとすると、バージョン1と同様にb1は-50.644となるはずです。バージョン2のb1をバージョン1のb1と一致させる唯一の方法は、b3X1'を加算することです。したがって、X2 = 0 のときのb1は、X1からYへの影響ではありません。b2についても同様です。
- バージョン2のb1 (-42.487) が、X2' = 0 のときのX1' からY への影響であるとすると、バージョン3と同様にb0 (切片) は -236.629 となるはずです。バージョン2のb0 をバージョン3のb0 と一致させる唯一の方法は、b3X1' を加算することです。したがって、X1' = 0 かつ X2' = 0 のとき、またはX1 = 0 かつ X2 = 0 のとき、b0 はY の平均にはなり得ません。
したがって、b0、b1、b2は意味がないと私は思います。何が足りないのでしょうか？
ありがとう、
ジム
回帰におけるIVの中央化@MRB3855さんとビクターGさん、コメントとアドバイスをありがとうございました！いくつか興味深いことを学びました。これは元の投稿を編集したものです。
私の最初の質問を要約すると、次のようになります。
「平均中心化多項式」をオンにして作成された、相互作用内の変数のみが平均中心化される JMP 混合モデル (バージョン 2) における b0 (切片)、b1、b2 の意味は何ですか。
バージョン2は、Y = b0 + b1X1 + b2X2 + b3X1'X2'です。ここで、X1'は連続体X1の平均中心版であり、X2'は連続体X2の平均中心版です。さらに、X1<>X1'、X2<>X2'と仮定します。
これまでの私の答えは次のとおりです。もし私の結論が間違っている場合は、ぜひご意見をお聞かせください。
b0: 「切片」というラベルの付いた JMP 出力は、実際には切片ではありません。切片は、X1 と X2 が 0 に等しい場合の Y の値 (Y の平均ではありません!) として、さまざまな情報源によって定義されています (例: Montgomery、Peck、Vining、2001)。
X1=0かつX2=0の場合、出力の切片係数は切片そのものではありません。真の切片を求めるには、b0 + b3(-X1の平均)(-X2の平均)を足す必要があるからです。バージョン1とバージョン3の両方において、切片は真の切片です。JMPバージョン2の出力における「切片」係数が実際の切片である状況は見つかりませんでした。そのような状況はあるのでしょうか？
b1: JMP出力でX1とラベル付けされた係数は、バージョン1および3のようにX2=0の場合ではなく、X2=mean(X2)の場合のX1のYへの影響度を表す尺度です。Jaccard & Turrisi (2003)は、これをX2=0の場合と定義しています。「切片」はb0 + b2X2の和です。
b2: JMP出力でX2というラベルの付いた係数は、バージョン1および3のようにX1 = 0の場合ではなく、X1 = mean(X1)の場合のX2がYに与える影響の尺度です。「切片」はb0 + b1X1の合計です。
回帰におけるIVの中央化こんにちは、@Jimvano7さん。JMPについては（根本的な質問への回答として）お答えできません。ただ…「平均中心」を使う（バージョン2）か使わない（バージョン1）かは選択できます。
Re: 回帰分析におけるIVの中央化は相互作用のみで行うこんにちは@Jimvano7さん、そして皆さん、
回答が少し遅れてしまい、全ての部分に返信できていないこと（あるいはニュアンスが欠けていること）をお許しください。しかし、約10年前にコミュニティで同じトピックについて投稿した回答（と動画）をここでご紹介したいと思います。動画では予測プロファイラーを使った簡単なデモを行っており、推定値の一部を明確にするのに役立ったと思います。
https://community.jmp.com/t5/Discussions/estimates-in-multipule-regression/mp/10965/highlight/true#M10565
以下はそのビデオへの直接リンクです:
https://www.youtube.com/watch?v=LLh1V9MtKvs
これが役に立つことを願います!
@ジュリアン
Re: 回帰分析におけるIVの中央化は相互作用のみで行う@ジュリアン
ありがとう、ジュリアン。とても助かりました。
切片が実際には決して切片ではない場合、切片の意味は何でしょうか? 私が調べたすべてのケースにおいて、実際の切片を得るためには、「切片」係数に他の何らかの値を追加する必要がありました。
ありがとう、
@Jimvano7
Re: 回帰分析におけるIVの中央化は相互作用のみで行う切片とは、他の係数が何も寄与しない（つまり0に設定されている）場合の直線（または複数の項を持つモデルでは回帰平面）のY軸上の位置の変動です。交互作用項のみを中心化する場合、主効果の「何もない」という表現は意味が変わります。数値的にではなく、各予測変数が常に0であることを意味しますが、母集団内でそのゼロが指し示す位置が変わります。これは、交互作用を平均中心化すると、ゼロ交互作用効果が予測変数の文字通りの原点（0,0）ではなく、母集団内の平均行動に移動するためです。
つまり、このようなモデルでは、切片は共分散分析における推定値、つまり統計的に相互作用の平均効果を平面から除去した調整推定値に近いと言えます。この説明は概念的にはあまり役に立たないので、もしよろしければ、先ほど使った例を使って詳しく説明したいと思います。
こういったことは視覚的に確認すると分かりやすいですね。以前使った例ですが、中心化多項式モデル（左）と非中心化モデル（右）の回帰平面（どちらも同じです）を見てみましょう。どちらも50（中心化モデルの切片）に反応グリッドを追加しました。また、モデルの切片の位置を示す青い点も追加しました。
右から見ていくと、切片の解釈は非常に簡単です。それは、X1とX2の両方において、応答平面が0と交差するYの値です。つまり、学習時間と事前知識が0のときです。簡単ですね。（後ほど重要になりますが、ここでは交互作用項については全く考えていません。この種のモデルでは、X1=0、X2=0のとき、b3係数にゼロが乗算されるため、交互作用は何も加えないことが分かっているからです。）
左側の中央モデルでは、モデル切片の50は、両方のXが0の場合の値を大きく上回っています。しかし、なぜ試験点が約20ポイントも上昇するのでしょうか？
スコア50は、予備知識が約40で学習時間が0の場合、つまり、予備知識が0で学習時間が4の場合です。ここでは、値のグリッドをオンにして、先ほど配置した青い点と揃っていることを確認しています。
では、一体何が起こっているのでしょうか？これらは「事前知識」と「学習時間」の平均ではないことは分かっているので、片方の変数を一定に保ち、もう片方の変数を平均値に保つという単純な計算にはならないのです。ここで一つ気になる点があります。これらの点は、「真の」（X1=0、X2=0）切片から応答平面上を対称的な距離だけ離れているということです。そして、このモデルにおいて、X1とX2の因子間でYに（尺度的に）対称的な影響を与える唯一の項は、交互作用項であるb3です。
まだ考慮していないのは、*交互作用*項B3を0に設定することです。そして、このモデルでは、このゼロはX1とX2が0になる場所（中心化のため）とは異なる場所で発生します。X1とX2の平均値で発生するため、*平均*交互作用について話していることになります。ここでの切片50は、一種の調整されたベースラインを反映しています。つまり、母集団に交互作用効果がない場合に得られる値（X1 = 0またはX2 = 0）です。概念的には、交互作用の存在を考慮して調整された切片の推定値です。
私にとって、この用語は典型的な切片よりも概念的な解釈が難しいように思われますが、今回のケースでは次のように表現します。交互作用項の係数が負であることから、これらの要因は拮抗的に作用していることがわかります（一方の要因が大きいほど、応答Yともう一方の要因の関係の強さは低下します）。つまり、事前に知っている知識が多ければ多いほど、平均して勉強から得られる価値は少なくなります。あるいは、勉強すればするほど、平均して知っている知識から得られる価値は少なくなります。このモデルの切片は、*そうでなかった場合*に試験の点数がどうなるかを教えてくれます。その相互作用が私たちが測定した世界の状態でなかった場合、0 時間勉強した人は以前の知識からより多くの価値を得て、試験でより良い成績を収め、切片が 30 から 50 に上昇します。また、その相互作用が私たちが測定した世界の状態でなかった場合、以前の知識が 0 時間だった人は勉強からより多くの価値を得て、切片が 30 から 50 に上昇します。ANCOVA と同様に、これは統計的な「あたかも」思考実験です。
これが役に立つことを願います!
ジュール
