Centrare gli IV nella regressione solo nell'interazioneHo letto in diversi articoli che, con la regressione, JMP centra gli IV coinvolti nelle interazioni, ma NON le versioni a effetto semplice di tali IV. Innanzitutto, è vero? In secondo luogo, se fosse vero, come fa questo a non violare il requisito di indipendenza lineare della regressione?
Per esempio,
Y = b0 + b1x1 + b2c2 + b3x1x2
Se x1x2 viene trasformato in x1'x2' perché JMP centra entrambi solo per l'interazione, allora b1 non è più la stima dell'effetto di x1 su Y quando x2 = 0 perché il termine di interazione non è più 0. Lo stesso vale per b2.
Considerati questi problemi, presumo di non aver capito bene cosa stia realmente facendo JMP. Qualcuno può chiarire?
Analisi e modellazione dei dati di baseRe: Centratura degli IV nella progressioneCiao @Jimvano7 ,
Benvenuti nella Community!
I polinomi di centraggio o gli effetti di interazione sposteranno il valore dell'intercetta e modificheranno i valori dei coefficienti.
Nel tuo esempio, senza centratura, l'intercetta è b0.
Se X1 e X2 sono centrati nel termine di interazione, allora la "nuova" intercetta corrisponde a b0 + la parte contenuta nel termine di interazione con i valori medi di X1 e X2 e il coefficiente b'3.
Vedi in "Perché JMP® centra i polinomi nei modelli per impostazione predefinita?" le ragioni alla base della centratura in JMP: l' inserimento di fattori C aiuta a ridurre la multicollinearità in presenza di termini di interazione o termini polinomiali nel modello, il che potrebbe rendere i coefficienti dei termini più complessi e meno precisi da stimare (e potrebbe portare a differenze nella valutazione della significatività statistica). Vedi la domanda sul modello stepwise per un esempio pratico.
E le discussioni precedenti Calcolo dei polinomi centrati e Intercetta di una parabola per maggiori informazioni.
Spero che questo chiarisca la situazione,
Re: Centratura degli IV nella progressioneCiao @Victor_G ,
Grazie per aver risposto e mi scuso per non essere stato chiaro. Non sto chiedendo perché si dovrebbero usare variabili centrate sulla media. Lo faccio di routine.
Le mie due domande sono:
1) JMP si riferisce agli IV centrali coinvolti nelle interazioni e *NON* si riferisce alle versioni a effetto semplice di quegli IV? Quindi, usando il mio esempio, X1 come effetto semplice e X1' nell'interazione.
2) E se così fosse, come ho letto, qual è il significato di b1 e b2, dal momento che non rappresentano più l'effetto di x1 su Y e l'effetto di x2 su Y, rispettivamente, quando l'altra variabile è 0?
Grazie,
Jim
Re: Centratura degli IV nella progressioneCiao @Jimvano7 ,
Non c'è niente di meglio di un esempio pratico per capire come funziona JMP.
Ho preparato un set di dati con due fattori X1 e X2, una risposta con equazione della superficie di risposta predeterminata Y e due colonne calcolate per X1 centrato e X2 centrato.
Quando si avvia l'adattamento del modello con le variabili originali e un modello di superficie di risposta, è possibile notare che JMP non centra le variabili originali, ma lo fa con le variabili coinvolte nell'interazione o nei termini polinomiali:
Quando si avvia l'adattamento del modello con variabili centrate e un modello di superficie di risposta, è possibile vedere che le stime dei parametri sono le stesse tra Xi e Xi centrato, l'intercetta è diversa ma le stime dei parametri sono le stesse di prima:
Centrare le variabili non modifica i coefficienti delle stime dell'effetto principale corrispondenti (la "pendenza" è la stessa indipendentemente dal fatto che si centri la variabile o meno), quindi l'interpretazione rimane la stessa.
Quindi penso che questo caso d'uso e questa dimostrazione rispondano alle tue due domande (non sono sicuro di aver capito il problema della tua seconda domanda)?
Re: Centratura degli IV nella progressioneCiao @Victor_G ,
Grazie per aver risposto alla mia prima domanda e per aver creato l'esempio. Il problema con il tuo esempio è che hai attivato l'opzione di centratura della media di JMP quando hai incluso X1X2, in modo che la media di JMP sia centrata. Disattivandola, ottieni un risultato molto diverso. Ecco i dati del tuo dataset. X1, X2 e Y sono tutte variabili continue. X1 ha una media di 9,886 e X2 ha una media di 1,303.
Versione 1. Disattivando l'opzione di centratura media JMP e con IV grezzi si ottiene:
| Termine |
Stima |
Errore standard |
Rapporto t |
Prob>|t| |
| Intercettare |
164.198 |
36.29445 |
4.52 |
0,0001* |
| X1 |
-50.64385 |
3.103592 |
-16.32 |
<.0001* |
| X2 |
-14.74154 |
8.796501 |
-1,68 |
0,1058 |
| X1*X2 |
-6.260865 |
0,726168 |
-8,62 |
<.0001* |
Versione 2. Con l'opzione di centratura della media JMP attivata e con termini di effetto semplice grezzi e termini di interazione centrati sulla media, otteniamo
| Termine |
Stima |
Errore standard |
Rapporto t |
Prob>|t| |
| Intercettare |
83.558404 |
35.53908 |
2.35 |
0,0266* |
| X1 |
-42.48702 |
2.977176 |
-14.27 |
<.0001* |
| X2 |
-76.63734 |
4.675518 |
-16.39 |
<.0001* |
| (X1-9,88614)*(X2+1,30283) |
-6.260865 |
0,726168 |
-8,62 |
<.0001* |
Versione 3. Con le variabili centrate manualmente sulla media per tutte le variabili e con la centratura della media JMP disattivata.
| Termine |
Stima |
Errore standard |
Rapporto t |
Prob>|t| |
| Intercettare |
-236.6291 |
19.63316 |
-12.05 |
<.0001* |
| Centrato X1 |
-42.48702 |
2.977176 |
-14.27 |
<.0001* |
| Centrato X2 |
-76.63734 |
4.675518 |
-16.39 |
<.0001* |
| Centrato X1*Centrato X2 |
-6.260865 |
0,726168 |
-8,62 |
<.0001* |
Come puoi vedere, b0, b1 e b2 assumono valori diversi tra la versione 1 e la versione 2.
Versione 1 : Poiché questa equazione ha un termine di interazione, il significato di b1 (-50,644) e il test statistico eseguito per determinare la significatività di b1 (H0 = 0) sono correlati all'influenza di X1 su Y, **quando X2 = 0**. X1 non è un effetto principale, ma un effetto semplice, condizionato al momento in cui X2 è 0 (Jaccard & Turissi, 2003). Analogamente, b2 è l'influenza di X2 su Y quando X1 = 0.
Ora, quando X2 nel termine dell'effetto semplice è grezzo e X2 nel termine dell'interazione è grezzo, allora la matematica funziona perfettamente. b1 è l'effetto di X1 su Y quando X2 è 0. Pertanto, b2X2 = 0 e interazione = 0. Ci rimane Y = 164,198 - 50,644X1 quando X2 = 0.
Versione 3 : Se intendiamo il centro X1 come X1' e X2 come X2' sia per il termine di effetto semplice che per quello di interazione, allora la matematica funziona di nuovo perfettamente. b1 è l'effetto di X1' su Y quando X2' è 0 (quando X2 è 1,303). Pertanto, b2X2' = 0 e l'interazione = 0. Ci rimane Y = -236,629 + (-42,487)X1' quando X2' = 0, che equivale anche a dire quando X2 = 1,303.
Versione 2 : Se manteniamo X1 e X2 grezzi per i termini di effetto semplice e intendiamo centrare il termine di interazione usando X1' e X2', allora b1 non è più l'effetto di X1 su Y quando X2 è 0, perché in questo caso ci rimane Y = b0 + b1X1 + b3X1'X2' o Y = 83,558 + (-42,487)X1 + (-6,261)(-1,303)X1'. In questo caso, la pendenza cambia da 50,644X1 a (-42,487)X1 + (8,158)X1' . Il mio problema è: quali sono le interpretazioni di b0, b1 e b2 in questa versione?
E poiché X1 predice perfettamente X1', abbiamo una multicollinearità perfetta, quindi perché JMP risolve il modello nella versione 2 senza errori?
Re: Centratura degli IV nella progressioneCiao @Jimvano7 ,
Mi dispiace, ho effettivamente dimenticato di disattivare l'opzione di centratura della media nei miei test modello.
Sono ancora confuso da alcune delle tue osservazioni, come:
E poiché X1 predice perfettamente X1', abbiamo una multicollinearità perfetta, quindi perché JMP risolve il modello nella versione 2 senza errori?
X1 e X'1 sono variabili nel modello e si usa solo una piccola trasformazione per passare dall'una all'altra. Avresti la stessa situazione con X1 e X1, o X'1 e X'1, quindi non capisco il punto.
È più una questione di correlazione/collinearità tra le stime dei parametri (b0, b1, b2 ... e b'0, b'1, b'2 ...) che potrebbe rappresentare un problema.
Rilanciando i test, ecco alcuni risultati per le correlazioni delle stime:
A sinistra, la versione del modello senza "autocentratura dei polinomi". Si possono osservare VIF elevati per gli effetti X1/X1² e X2. Osservando la correlazione delle stime, si possono osservare forti correlazioni tra le stime dei parametri X1 e X1², X2 e X1*X2, nonché un errore standard gonfiato per le stime dei parametri di questi effetti principali.
A destra, versione del modello con centratura automatica dei polinomi. Si possono osservare VIF bassi/accettabili per tutti gli effetti (< 2) e, anche se alcune stime degli effetti sono correlate, si evita una correlazione banale tra le stime dei parametri (ad esempio tra le stime degli effetti X1 e X1²). La centratura automatica evita l'inflazione delle stime dei parametri che condividono le stesse variabili originali (ad esempio, l'effetto principale e l'effetto polinomiale di X1).
Sono d'accordo sul fatto che l'interpretazione potrebbe essere diversa in queste situazioni a causa della traduzione delle variabili trasformate, poiché si confronta il valore della risposta in base alla deviazione dalla media delle variabili e non in base a una deviazione da 0.
Potresti trovare delle buone spiegazioni sul perché potrebbe non essere consigliabile centrare la media dell'IV di un modello: https://stats.stackexchange.com/questions/65898/why-could-centering-independent-variables-change-the-main-effects-with-moderatio
Quindi, per concludere, JMP non utilizza il metodo del centro di media IV per mantenere la scala e l'interpretazione originali degli effetti, ma lo fa per polinomi e interazioni per evitare la collinearità e aumentare la precisione delle stime dei parametri. Il Prediction Profiler utilizza automaticamente le variabili originali per comprendere meglio gli effetti delle variabili (e mantiene le stesse "coordinate" delle variabili indipendentemente dall'effetto).
Spero che questo ti aiuti,
Re: Centratura degli IV nella progressioneCiao @Jimvano7 : oltre agli ottimi punti di @Victor_G , questa discussione potrebbe rivelarsi utile;
https://community.jmp.com/t5/Discussions/Intercept-of-a-parabola/mp/805020
Re: Centratura degli IV nella progressioneGrazie @Victor_G
So come cambia la correlazione tra le variabili con la centratura della media e so quando è appropriato centrare o meno la media. Quello che non so è l'interpretazione di b0, b1 e b2 in questo modello derivato da JMP - Versione 2 sopra, quando il modello mescola variabili grezze e centrate sulla media. La tua risposta non sembra rispondere alla mia domanda.
Nella mia discussione sul modello della Versione 2, ho chiesto il significato di b1. Ho mostrato che, quando si tenta di interpretare b1, si imposta X2 = 0 e si ottiene Y = 83,558 + (-42,487)X1 + (8,158)X1'. In questo caso, b1 (-42,487) NON è la pendenza dell'influenza di X1 su Y quando X2 = 0. Invece, b1 non sembra avere un significato interpretabile. La stessa logica si applica a X2. Inoltre, non c'è mai un punto (nel tuo set di dati) in cui X1, X2 e X1'X2' siano tutti uguali a zero, quindi b0 non è la media di Y quando i due valori di variabilità e il prodotto dei due valori di variabilità sono uguali a 0. Quindi, cosa significano questi tre coefficienti????
Re: Centratura degli IV nella progressioneCiao @Jimvano7 : Per quel che vale, ho seguito questa discussione con un certo interesse, ed ecco il mio contributo:
Come si può vedere, l'interpretazione delle stime dei parametri nel modello centrato sulla media è difficile. L'"intercetta" è in realtà solo una costante per garantire un adattamento ai minimi quadrati, e anche i coefficienti non sono facilmente interpretabili. Inoltre, molti dei valori p corrispondenti nelle tabelle (centrati sulla media vs. non centrati sulla media) non testano nemmeno la stessa ipotesi.
Detto questo, tutte le previsioni sono uguali e, se si presta attenzione, è possibile dimostrare che tutte le inferenze sono uguali (quando si testano le stesse ipotesi, i valori p, ecc. sono identici).
Ma se sei interessato all'output visualizzato e vuoi che sia facile da interpretare, allora non usare mean-center.
Re: Centratura degli IV nella progressione@MRB3855
Le diverse versioni del modello (versioni 1-3) non hanno la stessa ipotesi e producono previsioni diverse, come ho mostrato utilizzando l'output di JMP in un post precedente. Versione 1 e versione 3: le ipotesi mi sono chiare e le interpretazioni dei coefficienti (stime dei parametri) hanno tutte un significato. Inoltre, le previsioni sono diverse perché le domande a cui si risponde sono diverse tra V1 e V3. Tuttavia, non ho idea di quale sia l'ipotesi per la versione 2 (versione JMP con variabili grezze e centrate sulla media interconnesse per X1 e X2) perché, per quanto ne so, i coefficienti non hanno alcun significato.
Nella versione 3, con tutte le variabili centrate sulla media, tutti i coefficienti, compresa l'intercetta, hanno un significato. b0 non è "solo una costante per garantire un adattamento ai minimi quadrati". È la media di Y quando X1' è 0 (alla media di X1) e X2' è 0 (alla media di X2).
L'unica versione che non ha senso per me è il modello intermixed derivato da JMP.
Re: Centratura degli IV nella progressioneCiao @Jimvano7 : Quindi, se espandi completamente l'equazione in base all'output rispettivamente delle versioni 2 e 3, quindi raccogli i termini simili e la semplifichi, non ottieni la stessa equazione della versione 1?
Ed è facile da fare senza doverlo fare manualmente; basta salvare la Y prevista per ogni versione in tre nuove colonne nella tabella dati (tramite "Salva colonne" nel menu a forma di triangolo rosso dell'output). Se lo fai, le Y previste sono diverse?
Re: Centratura degli IV nella progressione@MRB3855 ,
Le tre formule per le tre diverse versioni del modello sono riportate nelle tre tabelle che ho fornito. Sono tutte e tre diverse. Le ho ricopiate qui per risparmiare tempo.
Versione 1. Disattivando l'opzione di centratura media JMP e con IV grezzi si ottiene:
| Termine |
Stima |
Errore standard |
Rapporto t |
Prob>|t| |
| Intercettare |
164.198 |
36.29445 |
4.52 |
0,0001* |
| X1 |
-50.64385 |
3.103592 |
-16.32 |
<.0001* |
| X2 |
-14.74154 |
8.796501 |
-1,68 |
0,1058 |
| X1*X2 |
-6.260865 |
0,726168 |
-8,62 |
<.0001* |
Versione 2. Con l'opzione di centratura della media JMP attivata e con termini di effetto semplice grezzi e termini di interazione centrati sulla media, otteniamo
| Termine |
Stima |
Errore standard |
Rapporto t |
Prob>|t| |
| Intercettare |
83.558404 |
35.53908 |
2.35 |
0,0266* |
| X1 |
-42.48702 |
2.977176 |
-14.27 |
<.0001* |
| X2 |
-76.63734 |
4.675518 |
-16.39 |
<.0001* |
| (X1-9,88614)*(X2+1,30283) |
-6.260865 |
0,726168 |
-8,62 |
<.0001* |
Versione 3. Con le variabili centrate manualmente sulla media per tutte le variabili e con la centratura della media JMP disattivata.
| Termine |
Stima |
Errore standard |
Rapporto t |
Prob>|t| |
| Intercettare |
-236.6291 |
19.63316 |
-12.05 |
<.0001* |
| Centrato X1 |
-42.48702 |
2.977176 |
-14.27 |
<.0001* |
| Centrato X2 |
-76.63734 |
4.675518 |
-16.39 |
<.0001* |
| Centrato X1*Centrato X2 |
-6.260865 |
0,726168 |
-8,62 |
<.0001* |
Re: Centratura degli IV nella progressione@MRB3855
Scusa, mi sono accorto che mi avevi anche chiesto di semplificare i problemi. L'ho fatto nei miei post precedenti. Riassumendo, quando X2=0 per le versioni 1 e 2, e X2'=0 per la versione 3.
Versione 1: Y = 164,198 - 50,644 * X1
Versione 2: Y = 83,558 - 42,487 * X1 + 8,158 * X1'
Versione 3: Y = -236,629 - 42,487 * X1'
Re: Centratura degli IV nella progressioneCiao @Jimvano7 . I tuoi calcoli non sono completi e corretti. Devi espandere 8.158 * X1' nella versione 2.
(dove X1' = X1-9,88614) e vedrai che l'equazione nella versione 2 corrisponde esattamente all'equazione nella versione 1.
E X2' = 0 nella versione 3 non è corretto se si assume X2 = 0. Quando X2 = 0, X2' = 0 + 1,30283 = 1,30283. E, come ho appena descritto nella frase precedente, bisogna fare attenzione anche con X1'.
Moltiplicate attentamente tutti i valori e le equazioni nelle versioni 2 e 3 corrispondono esattamente all'equazione nella versione 1... promesso (l'ho appena fatto in Excel).
Re: Centratura degli IV nella progressione@MRB3855
Sembra che per qualche motivo abbia perso la mia risposta: è stato raggiunto il limite massimo di inondazione???. Riprovo...
Grazie per aver notato che mi era sfuggito il segno negativo sulla media di X2!!! E ho detto X2' = 0 per la versione 3, non X2 = 0. La versione 3 è corretta così com'era. Sto copiando le formule qui e correggendo il segno (8,158 diventa -8,158) nella versione 2.
Riassumendo, quando X2=0 per la versione 1 e 2 e X2'=0 per la versione 3, allora ci rimane:
Versione 1: Y = 164,198 - 50,644 * X1
Versione 2: Y = 83,558 - 42,487 * X1 - 8,158 * X1'
Versione 3: Y = -236,629 - 42,487 * X1'
Sono assolutamente d'accordo sul fatto che tutte e tre le formule producano lo stesso valore per Y quando X1=0 e X2=0.
Ma non era questa la mia domanda.
La mia domanda è:
Qual è il significato di b0, b1 e b2 nella versione 2?
- Se b1 (-42,487) nella Versione 2 dovrebbe essere l'influenza di X1 su Y quando X2 = 0, allora b1 dovrebbe essere -50,644 come nella Versione 1. L'unico modo per far sì che b1 nella Versione 2 corrisponda a b1 nella Versione 1 è aggiungere b3X1'. Quindi, b1 non può essere l'influenza di X1 su Y quando X2 = 0. Lo stesso vale per b2.
- Se b1 (-42,487) nella Versione 2 dovrebbe essere l'influenza di X1' su Y quando X2' = 0, allora b0 (intercetta) dovrebbe essere -236,629 come nella Versione 3. L'unico modo per far sì che b0 nella Versione 2 corrisponda a b0 nella Versione 3 è aggiungere b3X1'. Quindi, b0 non può essere la media di Y quando X1' = 0 e X2' = 0, o quando X1 = 0 e X2 = 0.
Pertanto, b0, b1 e b2 non sono significativi a mio parere. Cosa mi sfugge???
Grazie,
Jim
Re: Centratura degli IV nella progressioneGrazie @MRB3855 e @Victor_G per i vostri commenti e il vostro aiuto! Ho imparato cose interessanti strada facendo. Questo è un estratto del post originale.
Per riassumere la mia domanda iniziale:
Quali sono i significati di b0 (intercetta), b1 e b2 nel modello misto JMP creato con i "polinomi centrati sulla media" attivati, in cui solo le variabili nell'interazione sono centrate sulla media (versione 2)?
La versione 2 è: Y = b0 + b1X1 + b2X2 + b3X1'X2', dove X1' è una versione centrata in media di un X1 continuo e X2' è una versione centrata in media di un X2 continuo. Inoltre, presumo che X1<>X1' e X2<>X2'.
Ecco le mie risposte finora e mi piacerebbe sapere se qualcuno ha ragione o meno.
b0: l'output JMP etichettato "intercetta" non è in realtà l'intercetta , che è definita da numerose fonti come il valore di Y (non la media di Y!) quando X1 e X2 sono uguali a 0 (ad esempio, Montgomery, Peck e Vining, 2001).
Quando X1=0 e X2=0, il coefficiente di intercetta nell'output non è l'intercetta vera, perché bisogna sommare b0 + b3(-media di X1)(-media di X2) per ottenere l'intercetta vera. Sia nella versione 1 che in quella 3, l'intercetta è l'intercetta vera. Non riesco a trovare una situazione in cui il coefficiente di "intercetta" nell'output di JMP della versione 2 sia l'intercetta vera. Esiste una situazione?
b1: il coefficiente etichettato X1 nell'output di JMP è la misura dell'influenza di X1 su Y quando X2 = media (X2), non quando X2 = 0 come nelle versioni 1 e 3. Jaccard e Turrisi (2003) lo hanno definito come quando X2 = 0. L'intercetta è la somma b0 + b2X2.
b2: il coefficiente etichettato X2 nell'output JMP è la misura dell'influenza di X2 su Y quando X1 = media(X1), non quando X1 = 0 come nelle versioni 1 e 3. L'“intercetta” è la somma b0 + b1X1.
Re: Centratura degli IV nella progressioneCiao @Jimvano7 . Non posso parlare per JMP (per rispondere alla tua domanda fondamentale). Ma... puoi scegliere se "intendere il centro" (versione 2) o meno (versione 1).
Re: Centrare gli IV nella regressione solo nell'interazioneCiao @Jimvano7 e a tutti gli altri,
Mi occupo di questa risposta un po' in ritardo, quindi perdonatemi se non ho risposto a tutti gli elementi (o se mi sono perso qualche dettaglio), ma volevo condividere una risposta (e un video) che ho dato sullo stesso argomento alla community circa 10 anni fa. Nel video ho fatto una piccola dimostrazione con il profiler di previsione che credo abbia contribuito a chiarire alcune delle stime.
https://community.jmp.com/t5/Discussions/estimates-in-multipule-regression/mp/10965/highlight/true#M10565
Ed ecco il link diretto al video:
https://www.youtube.com/watch?v=LLh1V9MtKvs
Spero che questo ti aiuti!
@julian
Re: Centrare gli IV nella regressione solo nell'interazione@julian
Grazie Julian. Molto utile.
Qual è il significato dell'intercetta quando non è mai veramente l'intercetta? In ogni caso che ho esaminato, è stato necessario aggiungere un altro valore al coefficiente di "intercetta" per ottenere l'intercetta effettiva.
Grazie,
@Jimvano7
Re: Centrare gli IV nella regressione solo nell'interazioneL'intercetta rappresenta sempre una variazione della posizione della retta (o del piano di regressione nei modelli con più di un termine) sull'asse Y quando gli altri coefficienti non contribuiscono a nulla (ovvero sono impostati a 0). Quando centriamo solo il termine di interazione, "nulla" degli effetti principali assume un significato diverso. Non numericamente, stiamo sempre parlando di 0 per ciascun predittore, ma ciò a cui punta quello zero nella popolazione cambia perché centrare l'interazione sulla media sposta l' effetto di interazione zero sul comportamento medio della popolazione, non sul punto di origine letterale (0,0) dei predittori.
In breve, in un modello come questo, l'intercetta è più simile a una stima in un'analisi di covarianza, una stima aggiustata basata sulla rimozione, statisticamente, dell'effetto medio dell'interazione dal piano. Non trovo questa spiegazione particolarmente utile concettualmente, quindi, se me lo permettete, la approfondirò con l'esempio che ho usato prima.
Trovo sempre utile vedere queste cose visivamente. Ecco l'esempio che ho usato prima, e diamo un'occhiata ai piani di regressione (che saranno gli stessi) per il modello polinomiale centrato (a sinistra) e per il modello non centrato (a destra). Ho aggiunto una griglia di risposta a 50 per entrambi (che è l'intercetta del modello centrato). Ho anche inserito dei punti blu per indicare dove si trovano le intercette dei modelli.
Partendo da destra , l'intercetta ha un'interpretazione molto semplice. È il valore di Y in corrispondenza del quale il piano della risposta interseca lo 0 sia per X1 che per X2. Cioè, quando ci sono 0 ore di studio e 0 conoscenze pregresse. Facile. (Importante per dopo: non stiamo nemmeno pensando al termine di interazione qui perché in questo tipo di modello, quando X1 = 0 e X2 = 0, sappiamo che l'interazione non aggiunge nulla perché il coefficiente b3 viene moltiplicato per zeri).
Per il modello centrato a sinistra, l'intercetta del modello pari a 50 è ben al di sopra del valore in presenza di 0 per entrambe le X. Ma perché questo aumento di circa 20 punti all'esame?
Un punteggio di 50 corrisponde a circa 40 di conoscenze pregresse e 0 ore di studio; oppure a 0 conoscenze pregresse e 4 ore di studio. Qui ho attivato le griglie dei valori in modo che possiate vederle allineate con i punti blu che ho inserito prima:
Quindi, cosa succede?! Sappiamo che queste non sono le medie delle conoscenze pregresse e delle ore di studio, quindi non è così semplice mantenere una variabile costante e l'altra alla sua media. Una cosa potrebbe saltarvi all'occhio: questi punti si trovano a una distanza simmetrica sul piano di risposta rispetto all'intercetta "reale" (X1=0 e X2=0). E l'unico termine nel nostro modello che esercita un'influenza simmetrica (in senso scalare) su Y attraverso i fattori di X1 e X2 è b3, il termine di interazione.
Ciò di cui non stiamo ancora tenendo conto è l'impostazione del termine di *interazione*, B3, a 0. E questo zero si verifica in un punto diverso in un modello come questo rispetto a dove X1 e X2 sono 0 (a causa di quella centratura); si verifica in corrispondenza della media di X1 e X2, quindi stiamo parlando di interazione *media*. L'intercetta di 50 qui riflette una sorta di baseline aggiustata: è ciò che otterremmo (X1 = 0 o X2 = 0) se non ci fosse alcun effetto di interazione nella popolazione . Concettualmente, una stima dell'intercetta aggiustata per la presenza dell'interazione.
Per me, questo termine resiste a un'interpretazione concettuale molto più di qualsiasi intercetta tipica, ma ecco come lo inquadrerei in questo caso: con il coefficiente negativo per il termine di interazione, sappiamo che questi fattori interagiscono in modo antagonistico (una maggiore quantità di uno diminuisce l'intensità della relazione tra la risposta Y e l'altro fattore). In altre parole, più le persone sanno in anticipo, meno ottengono in media valore dallo studio. Oppure, più le persone studiano, meno in media ottengono valore da quanto sapevano. L'intercetta in questo modello cerca di dirci come sarebbero i punteggi degli esami *se non fosse così*. Se quell'interazione non fosse lo stato del mondo che abbiamo misurato, allora le persone che hanno studiato 0 ore avrebbero tratto maggior valore dalle loro conoscenze pregresse, e quindi avrebbero ottenuto risultati migliori all'esame, con un aumento da un'intercetta di 30 a 50. E se quell'interazione non fosse lo stato del mondo che abbiamo misurato, allora le persone che avevano 0 conoscenze pregresse avrebbero tratto maggior valore dal loro studio , da qui lo stesso aumento dell'intercetta da 30 a 50. Come un'ANCOVA, questo è un esperimento mentale statistico "come se".
Spero che questo ti aiuti!
Giulio
