Centrage des IV en régression uniquement en interactionJ'ai lu à plusieurs reprises qu'avec la régression, JMP centrerait les IV impliquées dans les interactions, mais ne centrerait pas les versions à effet simple de ces IV. Premièrement, est-ce vrai ? Deuxièmement, si c'est vrai, comment cela ne viole-t-il pas l'exigence d'indépendance linéaire de la régression ?
Par exemple,
Y = b0 + b1x1 + b2c2 + b3x1x2
Si x1x2 est transformé en x1'x2' parce que JMP centre les deux uniquement pour l'interaction, alors b1 n'est plus l'estimation de l'effet de x1 sur Y lorsque x2 = 0 car le terme d'interaction n'est plus 0. Il en va de même pour b2.
Compte tenu de ces problèmes, je suppose que je ne comprends pas vraiment le rôle de JMP. Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?
Analyse et modélisation des données de baseRe : Centrage des IV dans la rgressionSalut @Jimvano7 ,
Bienvenue dans la Communauté !
Le centrage des polynômes ou des effets d'interaction déplacera la valeur d'interception et modifiera les valeurs des coefficients.
Dans votre exemple, sans centrage, votre interception est b0.
Si vous avez centré X1 et X2 dans le terme d'interaction, alors la « nouvelle » interception correspond à b0 + la partie contenue dans le terme d'interaction avec les valeurs moyennes de X1 et X2 et le coefficient b'3.
Voir dans « Pourquoi JMP® centre-t-il les polynômes dans les modèles par défaut ? » les raisons du centrage dans JMP : la saisie de facteurs contribue à réduire la multicolinéarité en présence de termes d'interaction ou de termes polynomiaux dans le modèle, ce qui pourrait complexifier l'estimation des coefficients des termes et entraîner des différences dans l'évaluation de la signification statistique. Voir la question du modèle pas à pas pour un exemple pratique.
Et les discussions précédentes Calcul des polynômes de centrage et Interception d'une parabole pour plus d'infos.
J'espère que cela clarifiera la situation,
Re : Centrage des IV dans la rgressionSalut @Victor_G ,
Merci pour votre réponse et veuillez m'excuser pour mon manque de clarté. Je ne demande pas pourquoi on utiliserait des variables centrées sur la moyenne. Je le fais régulièrement.
Mes deux questions sont :
1) JMP signifie-t-il centrer les IV impliquées dans les interactions et *NE PAS* centrer les versions à effet simple de ces IV ? Donc, pour reprendre mon exemple, X1 est l'effet simple et X1' est dans l'interaction.
2) Et si c'est le cas comme je l'ai lu, quelles sont les significations de b1 et b2 puisqu'ils ne sont plus respectivement l'effet de x1 sur Y et l'effet de x2 sur Y, lorsque l'autre variable est 0 ?
Merci,
Jim
Re : Centrage des IV dans la rgressionSalut @Jimvano7 ,
Rien de mieux qu'un exemple pratique pour voir comment fonctionne JMP.
J'ai préparé un ensemble de données avec deux facteurs X1 et X2, une réponse avec une équation de surface de réponse prédéterminée Y et deux colonnes calculées pour X1 centré et X2 centré.
Lors du lancement du modèle d'ajustement avec des variables originales et un modèle de surface de réponse, vous pouvez voir que JMP ne centre pas les variables originales, mais le fait avec des variables impliquées dans des termes d'interaction ou polynomiaux :
Lors du lancement de l'ajustement du modèle avec des variables centrées et un modèle de surface de réponse, vous pouvez voir que les estimations des paramètres sont les mêmes entre Xi et Xi centré, l'interception est différente mais les estimations des paramètres sont les mêmes qu'avant :
Le centrage des variables ne modifie pas les coefficients des estimations de l'effet principal correspondant (la « pente » est la même, que vous centriez la variable ou non), donc l'interprétation reste la même.
Je pense donc que ce cas d'utilisation et cette démonstration répondent à vos 2 questions (je ne suis pas sûr de comprendre le problème avec votre 2ème question) ?
Re : Centrage des IV dans la rgressionSalut @Victor_G ,
Merci d'avoir répondu à ma première question et d'avoir créé cet exemple. Le problème avec votre exemple est que vous avez activé l'option de centrage de la moyenne JMP lorsque vous avez inclus X1X2, ce qui centre la moyenne JMP. Désactivez-la et vous obtiendrez un résultat très différent. Voici les données de votre ensemble de données. X1, X2 et Y sont des variables continues. La moyenne de X1 est de 9,886 et celle de X2 de 1,303.
Version 1. Avec l'option de centrage moyen JMP désactivée et les IV bruts, vous obtenez :
| Terme |
Estimation |
Erreur standard |
Rapport t |
Probablement|t| |
| Intercepter |
164.198 |
36.29445 |
4.52 |
0,0001* |
| X1 |
-50.64385 |
3.103592 |
-16,32 |
<.0001* |
| X2 |
-14.74154 |
8.796501 |
-1,68 |
0,1058 |
| X1*X2 |
-6.260865 |
0,726168 |
-8,62 |
<.0001* |
Version 2. Avec l'option de centrage de la moyenne JMP activée et avec les termes d'effets simples bruts et les termes d'interaction centrés sur la moyenne, nous obtenons
| Terme |
Estimation |
Erreur standard |
Rapport t |
Probablement|t| |
| Intercepter |
83.558404 |
35.53908 |
2,35 |
0,0266* |
| X1 |
-42.48702 |
2.977176 |
-14,27 |
<.0001* |
| X2 |
-76.63734 |
4.675518 |
-16,39 |
<.0001* |
| (X1-9,88614)*(X2+1,30283) |
-6.260865 |
0,726168 |
-8,62 |
<.0001* |
Version 3. Avec vos variables centrées manuellement sur la moyenne pour toutes les variables et avec le centrage moyen JMP désactivé.
| Terme |
Estimation |
Erreur standard |
Rapport t |
Probablement|t| |
| Intercepter |
-236.6291 |
19.63316 |
-12.05 |
<.0001* |
| Centré X1 |
-42.48702 |
2.977176 |
-14,27 |
<.0001* |
| Centré X2 |
-76.63734 |
4.675518 |
-16,39 |
<.0001* |
| Centré X1*Centré X2 |
-6.260865 |
0,726168 |
-8,62 |
<.0001* |
Comme vous pouvez le voir, b0, b1 et b2 prennent tous des valeurs différentes entre la version 1 et la version 2.
Version 1 : Étant donné que cette équation comporte un terme d'interaction, la signification de b1 (-50,644) et le test statistique effectué pour déterminer la significativité de b1 (H0 = 0) sont liés à l'influence de X1 sur Y, **lorsque X2 = 0**. X1 n'est pas un effet principal, c'est un effet simple, conditionnel à la valeur de X2 lorsque X2 est égal à 0 (Jaccard et Turissi, 2003). De même, b2 est l'influence de X2 sur Y lorsque X1 = 0.
Maintenant, lorsque X2 dans le terme d'effet simple est brut et X2 dans le terme d'interaction est brut, alors le calcul fonctionne parfaitement. b1 est l'effet de X1 sur Y lorsque X2 est 0. Par conséquent, b2X2 = 0 et l'interaction = 0. Il nous reste Y = 164,198 - 50,644X1 lorsque X2 = 0.
Version 3 : Si nous entendons le centre X1 comme X1' et X2 comme X2' à la fois pour le terme d'effet simple et le terme d'interaction, alors le calcul fonctionne à nouveau parfaitement. b1 est l'effet de X1' sur Y lorsque X2' est 0 (quand X2 est 1,303). Par conséquent, b2X2' = 0 et l'interaction = 0. Il nous reste Y = -236,629 + (-42,487)X1' lorsque X2' = 0, ce qui revient également à dire lorsque X2 = 1,303.
Version 2 : Si nous conservons X1 et X2 bruts pour les termes d'effet simple et que nous centrons le terme d'interaction en utilisant X1' et X2', alors b1 n'est plus l'effet de X1 sur Y lorsque X2 est nul, car dans ce cas, nous obtenons Y = b0 + b1X1 + b3X1'X2', soit Y = 83,558 + (-42,487)X1 + (-6,261)(-1,303)X1'. Dans ce cas, la pente passe de 50,644X1 à (-42,487)X1 + (8,158)X1' . Ma question est : quelles sont les interprétations de b0, b1 et b2 dans cette version ?
Et, puisque X1 prédit parfaitement X1', nous avons une multicolinéarité parfaite, alors pourquoi JMP résout-il le modèle dans la version 2 sans erreur ?
Re : Centrage des IV dans la rgressionSalut @Jimvano7 ,
Désolé, j'ai effectivement oublié de désactiver l'option de centrage moyen dans mes tests de modèle.
Je suis encore perplexe face à certaines de vos remarques, comme :
Et, puisque X1 prédit parfaitement X1', nous avons une multicolinéarité parfaite, alors pourquoi JMP résout-il le modèle dans la version 2 sans erreur ?
X1 et X'1 sont des variables du modèle, et seule une légère transformation permet de passer de l'une à l'autre. La situation serait la même avec X1 et X1, ou X'1 et X'1, donc je ne comprends pas l'intérêt ?
C'est plutôt une question de corrélation/colinéarité entre les estimations des paramètres (b0, b1, b2... et b'0, b'1, b'2...) qui pourrait poser problème.
En relançant les tests, voici quelques résultats pour les corrélations des estimations :
À gauche, version du modèle sans « autocentrage des polynômes ». On observe des VIF élevés pour les effets X1/X1² et X2. En examinant la corrélation des estimations, on constate de fortes corrélations entre les estimations des paramètres X1 et X1², X2 et X1*X2, ainsi qu'une erreur type gonflée pour ces estimations des paramètres des effets principaux.
À droite, version du modèle avec centrage automatique des polynômes. On observe des VIF faibles/acceptables pour tous les effets (< 2), et même si certaines estimations d'effets sont corrélées, on évite une corrélation triviale entre les estimations de paramètres (par exemple, entre les estimations des effets X1 et X1²). Le centrage automatique évite l'inflation des estimations de paramètres partageant les mêmes variables d'origine (par exemple, l'effet principal et l'effet polynomial de X1).
Je conviens que l'interprétation peut être différente dans ces situations en raison de la traduction des variables transformées, car vous comparez la valeur de réponse en fonction de l'écart par rapport à la moyenne des variables, et non en fonction d'un écart par rapport à 0.
Vous pouvez trouver de bonnes explications sur les raisons pour lesquelles il n'est pas recommandé de centrer la IV d'un modèle sur la moyenne : https://stats.stackexchange.com/questions/65898/why-could-centering-independent-variables-change-the-main-effects-with-moderatio
En conclusion, JMP n'utilise pas de méthode IV centrée moyenne pour conserver l'échelle et l'interprétation initiales des effets, mais l'applique aux polynômes et aux interactions afin d'éviter la colinéarité et d'accroître la précision des estimations de paramètres. Le profileur de prédiction utilise automatiquement les variables d'origine pour mieux comprendre les effets des variables (et conserve les mêmes « coordonnées » de variable, quel que soit l'effet).
J'espère que cela vous aidera,
Re : Centrage des IV dans la rgressionSalut @Jimvano7 : En plus des très bons points de @Victor_G , ce fil peut s'avérer utile ;
https://community.jmp.com/t5/Discussions/Intercept-of-a-parabola/mp/805020
Re : Centrage des IV dans la rgressionMerci @Victor_G
Je sais comment la corrélation entre les variables évolue avec le centrage sur la moyenne, et je sais quand il est approprié de centrer ou non. Ce que j'ignore, c'est l'interprétation de b0, b1 et b2 dans ce modèle dérivé de JMP (version 2 ci-dessus) lorsque le modèle mélange des variables brutes et centrées sur la moyenne. Votre réponse ne semble pas répondre à ma question.
Lors de ma discussion sur le modèle version 2, j'ai posé la question de la signification de b1. J'ai montré que pour interpréter b1, on pose X2 = 0, ce qui donne Y = 83,558 + (-42,487)X1 + (8,158)X1'. Dans ce cas, b1 (-42,487) n'est PAS la pente de l'influence de X1 sur Y lorsque X2 = 0. Au contraire, b1 ne semble pas avoir de signification interprétable. La même logique s'applique à X2. De plus, il n'existe aucun endroit (dans votre ensemble de données) où X1, X2 et X1'X2' sont tous égaux à zéro ; b0 n'est donc pas la moyenne de Y lorsque les deux variables indicatrices et leur produit sont égaux à 0. Que signifient donc ces trois coefficients ?
Re : Centrage des IV dans la rgressionSalut @Jimvano7 : Pour info, j'ai suivi ce fil de discussion avec un certain intérêt, et voici mon avis :
Comme vous pouvez le constater, l'interprétation des estimations des paramètres dans un modèle centré sur la moyenne est complexe. L'« ordonnée à l'origine » n'est en réalité qu'une constante assurant un ajustement par la méthode des moindres carrés, et les coefficients sont également difficiles à interpréter. De plus, de nombreuses valeurs de p correspondantes dans les tableaux (centrées sur la moyenne ou non) ne testent même pas la même hypothèse.
Cela dit, toutes les prédictions sont les mêmes, et si vous êtes prudent, vous pouvez montrer que toutes les inférences sont les mêmes (lorsque vous testez les mêmes hypothèses, les valeurs p, etc. sont identiques).
Mais si c'est la sortie affichée qui vous intéresse et qu'une interprétation facile de cette sortie est souhaitée, alors ne signifiez pas le centre.
Re : Centrage des IV dans la rgression@MRB3855
Les différentes versions du modèle (versions 1 à 3) n'ont pas les mêmes hypothèses et émettent des prédictions différentes, comme je l'ai montré en utilisant les résultats JMP dans un article précédent. Versions 1 et 3 : les hypothèses me semblent claires et les interprétations des coefficients (estimations des paramètres) sont toutes pertinentes. De plus, les prédictions diffèrent car les questions traitées diffèrent entre V1 et V3. En revanche, je n'ai aucune idée de l'hypothèse de la version 2 (version JMP avec variables brutes et moyennes centrées pour X1 et X2), car les coefficients n'ont aucune signification, à ma connaissance.
Dans la version 3, toutes les variables étant centrées sur la moyenne, tous les coefficients, y compris l'intercept, ont un sens. b0 n'est pas « une simple constante garantissant un ajustement par la méthode des moindres carrés ». Il s'agit de la moyenne de Y lorsque X1' est égal à 0 (à la moyenne de X1) et X2' est égal à 0 (à la moyenne de X2).
La seule version qui n'a aucun sens pour moi est le modèle mixte dérivé de JMP.
Re : Centrage des IV dans la rgressionSalut @Jimvano7 : Donc, si vous développez complètement l'équation en fonction de la sortie des versions 2 et 3, respectivement, puis rassemblez les termes similaires et simplifiez, vous n'obtenez pas la même équation que la version 1 ?
Et c'est facile à faire sans intervention manuelle ; il suffit d'enregistrer les valeurs Y prédites pour chaque version sous forme de trois nouvelles colonnes dans votre tableau de données (via « Enregistrer les colonnes » dans le menu du triangle rouge de la sortie). Si vous faites cela, les valeurs Y prédites sont-elles différentes ?
Re : Centrage des IV dans la rgression@MRB3855 ,
Les trois formules correspondant aux trois versions de modèles sont présentées dans les trois tableaux que j'ai fournis. Elles sont toutes différentes. Je les ai reproduites ici pour gagner du temps.
Version 1. Avec l'option de centrage moyen JMP désactivée et les IV bruts, vous obtenez :
| Terme |
Estimation |
Erreur standard |
Rapport t |
Probablement|t| |
| Intercepter |
164.198 |
36.29445 |
4.52 |
0,0001* |
| X1 |
-50.64385 |
3.103592 |
-16,32 |
<.0001* |
| X2 |
-14.74154 |
8.796501 |
-1,68 |
0,1058 |
| X1*X2 |
-6.260865 |
0,726168 |
-8,62 |
<.0001* |
Version 2. Avec l'option de centrage de la moyenne JMP activée et avec les termes d'effets simples bruts et les termes d'interaction centrés sur la moyenne, nous obtenons
| Terme |
Estimation |
Erreur standard |
Rapport t |
Probablement|t| |
| Intercepter |
83.558404 |
35.53908 |
2,35 |
0,0266* |
| X1 |
-42.48702 |
2.977176 |
-14,27 |
<.0001* |
| X2 |
-76.63734 |
4.675518 |
-16,39 |
<.0001* |
| (X1-9,88614)*(X2+1,30283) |
-6.260865 |
0,726168 |
-8,62 |
<.0001* |
Version 3. Avec vos variables centrées manuellement sur la moyenne pour toutes les variables et avec le centrage moyen JMP désactivé.
| Terme |
Estimation |
Erreur standard |
Rapport t |
Probablement|t| |
| Intercepter |
-236.6291 |
19.63316 |
-12.05 |
<.0001* |
| Centré X1 |
-42.48702 |
2.977176 |
-14,27 |
<.0001* |
| Centré X2 |
-76.63734 |
4.675518 |
-16,39 |
<.0001* |
| Centré X1*Centré X2 |
-6.260865 |
0,726168 |
-8,62 |
<.0001* |
Re : Centrage des IV dans la rgression@MRB3855
Désolé, je me suis rendu compte que vous m'aviez également demandé de simplifier les problèmes. Je l'ai fait dans mes précédents messages. Pour résumer, lorsque X2 = 0 pour les versions 1 et 2, et X2' = 0 pour la version 3.
Version 1 : Y = 164,198 - 50,644 * X1
Version 2 : Y = 83,558 - 42,487 * X1 + 8,158 * X1'
Version 3 : Y = -236,629 - 42,487 * X1'
Re : Centrage des IV dans la rgressionBonjour @Jimvano7 . Votre calcul est incomplet et incorrect. Vous devez développer 8.158 * X1' dans la version 2.
(où X1' = X1-9,88614) et vous verrez que l'équation de la version 2 correspond exactement à l'équation de la version 1.
Et X2' = 0 dans la version 3 n'est pas correct si vous supposez X2 = 0. Lorsque X2 = 0, X2' = 0 + 1,30283 = 1,30283. Et, comme je viens de le décrire dans la phrase ci-dessus, il faut également être prudent avec X1'.
Multipliez soigneusement le tout et les équations des versions 2 et 3 correspondent exactement à l’équation de la version 1… je vous le promets (je viens de le faire dans Excel).
Re : Centrage des IV dans la rgression@MRB3855
Il semblerait que j'aie perdu ma réponse pour une raison inconnue : la limite d'inondation maximale est atteinte ? Je réessaye…
Merci d'avoir remarqué que j'avais oublié le signe négatif sur la moyenne de X2 ! J'ai d'ailleurs indiqué X2' = 0 pour la version 3, et non X2=0. La version 3 est correcte telle quelle. Je copie les formules ici et corrige le signe (8,158 devient -8,158) pour la version 2.
Pour résumer, lorsque X2=0 pour les versions 1 et 2, et X2'=0 pour la version 3, alors il nous reste :
Version 1 : Y = 164,198 - 50,644 * X1
Version 2 : Y = 83,558 - 42,487 * X1 - 8,158 * X1'
Version 3 : Y = -236,629 - 42,487 * X1'
Je suis tout à fait d'accord sur le fait que les trois formules produisent la même valeur pour Y lorsque X1=0 et X2=0.
Mais ce n’était pas ma question.
Ma question est :
Quelle est la signification de b0, b1 et b2 dans la version 2 ?
- Si b1 (-42,487) dans la version 2 est censé être l'influence de X1 sur Y lorsque X2 = 0, alors b1 devrait être de -50,644 comme dans la version 1. La seule façon d'obtenir que b1 dans la version 2 corresponde à b1 dans la version 1 est d'ajouter b3X1'. Ainsi, b1 ne peut pas être l'influence de X1 sur Y lorsque X2 = 0. Il en va de même pour b2.
- Si b1 (-42,487) dans la version 2 est censé représenter l'influence de X1' sur Y lorsque X2' = 0, alors b0 (ordonnée à l'origine) devrait être de -236,629 comme dans la version 3. La seule façon d'obtenir que b0 dans la version 2 corresponde à b0 dans la version 3 est d'ajouter b3X1'. Ainsi, b0 ne peut pas être la moyenne de Y lorsque X1' = 0 et X2' = 0, ou lorsque X1 = 0 et X2 = 0.
Par conséquent, b0, b1 et b2 ne sont pas significatifs à mon avis. Qu'est-ce qui m'échappe ?
Merci,
Jim
Re : Centrage des IV dans la rgressionMerci @MRB3855 et @Victor_G pour vos commentaires et votre aide ! J'ai appris des choses intéressantes en cours de route. Ceci est une version modifiée du message original.
Pour résumer ma question initiale :
Quelles sont les significations de b0 (intercept), b1 et b2 dans le modèle mixte JMP créé avec les « polynômes centrés sur la moyenne » activés où seules les variables de l'interaction sont centrées sur la moyenne (version 2) ?
La version 2 est : Y = b0 + b1X1 + b2X2 + b3X1'X2', où X1' est une version centrée sur la moyenne d'un X1 continu et X2' est une version centrée sur la moyenne d'un X2 continu. De plus, je suppose que X1<>X1' et X2<>X2'.
Voici mes réponses jusqu'à présent et j'aimerais entendre quelqu'un dire si ce que j'ai conclu est faux.
b0 : la sortie JMP étiquetée « intercept » n'est pas réellement l'intercept , qui est définie par de nombreuses sources comme la valeur de Y (et non la moyenne de Y !) lorsque X1 et X2 sont égaux à 0 (par exemple, Montgomery, Peck et Vining, 2001).
Lorsque X1 = 0 et X2 = 0, le coefficient d'interception dans la sortie n'est pas l'interception, car il faut additionner b0 + b3 (-moyenne de X1)(-moyenne de X2) pour obtenir l'interception réelle. Dans les versions 1 et 3, l'interception est l'interception réelle. Je ne trouve aucun cas où le coefficient d'interception dans la sortie JMP version 2 correspond à l'interception réelle. Y en a-t-il un ?
b1 : le coefficient étiqueté X1 dans la sortie JMP est la mesure de l’influence de X1 sur Y lorsque X2=mean(X2), et non lorsque X2=0 comme dans les versions 1 et 3. Jaccard et Turrisi (2003) l’ont défini comme lorsque X2=0. L’« intercept » est la somme b0 + b2X2.
b2 : le coefficient étiqueté X2 dans la sortie JMP est la mesure de l'influence de X2 sur Y lorsque X1 = moyenne(X1), et non lorsque X1 = 0 comme dans les versions 1 et 3. L'« interception » est la somme b0 + b1X1.
Re : Centrage des IV dans la rgressionSalut @Jimvano7 . Je ne peux pas répondre au nom de JMP (pour répondre à ta question fondamentale). Mais… tu as le choix entre « mean center » (version 2) ou non (version 1).
Re : Centrage des IV en régression uniquement en interactionSalut @Jimvano7 et tout le monde,
J'aborde cette réponse un peu tard, alors pardonnez-moi de ne pas répondre à tous les éléments (ou d'avoir manqué certaines nuances), mais je voulais partager une réponse (et une vidéo) que j'ai donnée sur ce même sujet sur la communauté il y a une dizaine d'années. J'ai fait une petite démonstration dans la vidéo avec le profileur de prédiction qui, je pense, a permis de clarifier certaines estimations.
https://community.jmp.com/t5/Discussions/estimates-in-multipule-regression/mp/10965/highlight/true#M10565
Et voici un lien direct vers cette vidéo :
https://www.youtube.com/watch?v=LLh1V9MtKvs
J'espère que cela aide !
@julien
Re : Centrage des IV en régression uniquement en interaction@julien
Merci Julian. Très utile.
Que signifie l'interception lorsqu'elle n'est jamais vraiment l'interception ? Dans tous les cas que j'ai étudiés, il fallait ajouter une autre valeur au coefficient d'interception pour obtenir l'interception réelle.
Merci,
@Jimvano7
Re : Centrage des IV en régression uniquement en interactionL'interception est toujours une variation de la position de la droite (ou du plan de régression dans les modèles à plusieurs termes) sur l'axe des Y lorsque les autres coefficients ne contribuent pas (c'est-à-dire sont mis à 0). Lorsque nous centrons uniquement le terme d'interaction, « rien » des effets principaux prend un sens différent. Non pas numériquement, nous parlons toujours de 0 pour chaque prédicteur, mais ce que ce zéro pointe dans la population change, car le centrage de l'interaction sur la moyenne déplace l' effet d'interaction nul vers le comportement moyen de la population, et non vers le point d'origine littéral (0,0) des prédicteurs.
En bref, dans un modèle comme celui-ci, l'interception s'apparente davantage à une estimation dans une analyse de covariance, une estimation ajustée basée sur la suppression, statistiquement, de l'effet moyen de l'interaction sur le plan. Je ne trouve pas cette explication particulièrement utile sur le plan conceptuel ; si vous me le permettez, je vais donc l'expliquer avec l'exemple que j'ai utilisé précédemment.
Je trouve toujours utile de visualiser ces choses. Voici l'exemple que j'ai utilisé précédemment, et examinons les plans de régression (qui seront identiques) pour le modèle polynomial centré (à gauche) et le modèle non centré (à droite). J'ai ajouté une grille de réponse à 50 pour les deux (qui correspond à l'ordonnée à l'origine du modèle centré). J'ai également placé des points bleus pour indiquer les points à l'origine des modèles.
En commençant à droite , l'interception a une interprétation très simple. Il s'agit de la valeur de Y où le plan de la réponse croise 0 pour X1 et X2. Autrement dit, lorsque les heures d'étude et les connaissances préalables sont nulles. Facile. (Important pour la suite : nous ne prenons même pas en compte le terme d'interaction ici, car dans ce type de modèle, lorsque X1 = 0 et X2 = 0, nous savons que l'interaction n'ajoute rien, car le coefficient b3 est multiplié par des zéros.)
Pour le modèle centré à gauche, l'interception du modèle de 50 est bien au-dessus de la valeur lorsqu'il y a 0 des deux X. Mais pourquoi cette augmentation d'environ 20 points d'examen ?
Un score de 50 correspond à environ 40 de connaissances préalables et 0 heure d'étude ; ou à 0 de connaissances préalables et 4 heures d'étude. J'ai activé les grilles de valeurs pour que vous puissiez les voir s'aligner avec les points bleus que j'ai placés précédemment :
Alors, qu'est-ce qui se passe ?! Nous savons qu'il ne s'agit pas de la moyenne des connaissances antérieures et des heures d'étude. Il ne suffit donc pas de maintenir une variable constante et l'autre à sa moyenne. Une chose pourrait vous interpeller : ces points se situent à une distance symétrique, sur le plan de réponse, de l'ordonnée à l'origine « vraie » (X1 = 0 et X2 = 0). Et le seul terme de notre modèle qui exerce une influence symétrique (à l'échelle) sur Y entre les facteurs X1 et X2 est b3, le terme d'interaction.
Ce que nous ne prenons pas encore en compte, c'est la définition du terme d'interaction B3 à 0. Et ce zéro se produit à un endroit différent dans un modèle comme celui-ci où X1 et X2 sont égaux à 0 (en raison de ce centrage) ; il se produit aux moyennes de X1 et X2, nous parlons donc d'interaction *moyenne*. L'interception de 50 reflète ici une sorte de ligne de base ajustée : c'est ce que nous obtiendrions à (X1 = 0 ou X2 = 0) s'il n'y avait aucun effet d'interaction dans la population . Conceptuellement, une estimation de l'interception ajustée pour la présence de l'interaction.
À mon avis, ce terme résiste bien plus à une interprétation conceptuelle que n'importe quelle interception classique, mais voici comment je le formulerais dans ce cas : avec un coefficient négatif pour le terme d'interaction, nous savons que ces facteurs interagissent de manière antagoniste (une plus grande quantité de l'un diminue la force de la relation entre la réponse Y et l'autre facteur). Autrement dit, plus les gens savent à l'avance, moins ils tirent de valeur de leurs études. Ou, plus les gens étudient, moins ils tirent de valeur de leurs connaissances. L'interception dans ce modèle essaie de nous dire à quoi ressembleraient les résultats aux examens *si ce n'était pas le cas.* Si cette interaction n'était pas l'état du monde que nous avons mesuré, alors les personnes qui ont étudié 0 heure auraient eu plus de valeur de leurs connaissances antérieures, et donc elles auraient mieux réussi à l'examen, une augmentation d'une interception de 30 à 50. Et si cette interaction n'était pas l'état du monde que nous avons mesuré, alors les personnes qui avaient 0 connaissance antérieure auraient eu plus de valeur de leurs études , d'où cette même augmentation de l'interception de 30 à 50. Comme une ANCOVA, il s'agit d'une expérience de pensée statistique "comme si".
J'espère que cela aide !
Jules
