本文介紹了一個案例研究，其中使用空間度量的層次聚類分析透過反覆試驗的過程對晶圓圖上的缺陷模式進行分類。
在下面的晶圓圖中，藍色表示每個晶片的正常部分，紅色表示缺陷部分。
下圖顯示了九個晶圓圖的缺陷模式分類範例。
環：缺陷分佈在圓週上，中心：缺陷分佈在中心附近
甜甜圈：缺陷呈甜甜圈形狀分佈，刮痕：缺陷呈直線分佈
這種分類可以透過人類的直覺來完成，但是當晶圓圖數量很多時，我們考慮使用聚類分析來自動將它們分類為幾種模式。
使用空間索引進行聚類分析
聚類分析是一種基於多變量資料將具有相似值的行（在此範例中為“晶片”）分成幾組的方法。
對於晶圓圖等由XY座標構成的數據，通常透過將其轉換為一維座標資料來進行聚類分析，如下所示。
在該資料中，列名表示（X座標，Y座標），0表示正常，1表示缺陷。例如，「1 21」列包含每個晶圓上X座標為1、Y座標為21的位置的正常/異常值。
但當轉換為一維座標時，二維座標的空間關係就失去了。空間關係是指當附近的點彼此相鄰時出現缺陷的情況，或當缺陷出現在特定方向上時。
在 JMP 中，除了座標資料之外，您還可以使用如下所示的空間指標執行聚類分析：
在晶圓圖的情況下，有缺陷出現在同一半徑上的情況，有缺陷出現與中心成一定角度的情況，還有缺陷排成一條直線的情況。在這種情況下，預計包括空間度量在內將有助於更好地對缺陷模式進行分類。
要使用的晶圓圖數據
我們使用 332 個晶圓圖的數據，每個晶圓圖都包含下面列出的七種缺陷模式之一。
JMP 中使用空間指標進行層次聚類分析
要在 JMP 中執行包含空間測量的層次聚類分析，您必須以堆疊格式準備數據，如下所示。每個晶圓由Y座標、X座標、缺陷（座標正常時為0，有缺陷時為1）組成。因此，每個晶圓的資料行數與座標數相同（本例為 2061）。
如果勾選“計算空間索引”，則除了一維座標資訊（屬性）之外，還可以使用空間索引（扇形角度、圓半徑、靜脈角度、靜脈位置）作為變數進行聚類分析。
以下是我們將聚類數量設為 20 並執行「聚類摘要」選項時的結果。
透過“集群摘要”，您可以查看 20 個集群中每個集群的晶圓圖圖案。從結果可以看到，Center、Donut、Loc、Edge_Ring、Normal等形狀可以進一步分類。
然而，我們也可以看到此時Scratch的缺陷圖案還沒有被偵測到。
檢測 Scratch
因此，讓我們檢查 JMP 幫助以了解空間索引的含義。
| 扇形角 |
這表示分佈呈扇形或半球形。 |
| 圓半徑 |
這是一個顯示圓形（甜甜圈形）分佈的指標。 |
| 肌肉角度 |
這是表示相同角度的線（直線）的指標。 |
| 肌肉位置 |
這是表示等距離線（直線）的指標。 |
來自 JMP 幫助
刮痕是晶圓製造過程中出現的細而線性的刮痕。檢測這種線性模式似乎涉及「肌肉的角度」和「肌肉的位置」。
因此，我們將肌肉角度和肌肉位置的權重設定為非常大的值（=1000），並展示聚類的結果。
我終於能夠確認 Scratch 的形狀了。在這個例子中，我們增加了相關指標的權重，以便更容易偵測直線，但其他缺陷模式如中心和甜甜圈也可以被正確地偵測到。
聚類結果摘要
下圖是調整權重後的結果。縱軸表示實際缺陷模式（標籤），橫軸表示透過聚類分析分類的 20 個聚類。每個座標處的黑點組代表度數的大小。
這些結果表明缺陷模式通常可以很好地分類。
參考：關於霍夫變換
空間指標「條紋角度」和「條紋位置」與一種稱為霍夫變換的偵測空間直線的方法有關。
在霍夫變換中，二維座標（x，y）使用變換公式r = x cos（θ）+ y sin（θ）轉換到（θ，r）空間。此時，當（x，y）空間中的多個點位於同一條直線上時，在（θ，r）空間中會有一個曲線相交的點。此屬性用於偵測一組排列成直線的點。
還提供 JMP 插件，可讓您以互動方式理解此概念。
資料來源
GitHub - Junliangwangdhu/WaferMap
JMP外掛：霍夫變換演示
線霍夫變換演示 - JMP 使用者社區
參考論文：應用霍夫變換進行半導體晶圓缺陷分類
White, KP, Jr.、Kundu, B. 與 Mastrangelo, CM (2008 年)。 「透過霍夫變換對半導體晶圓上的缺陷群進行分類。」IEEE半導體製造學報 二十一：272—278。
作者：Naohiro Masukawa（JMP 日本）
Naohiro Masukawa - JMP 使用者社區
