本文介绍了一个案例研究，其中使用空间度量的层次聚类分析通过反复试验的过程对晶圆图上的缺陷模式进行分类。
在下面的晶圆图中，蓝色表示每个芯片的正常部分，红色表示缺陷部分。
下图显示了九个晶圆图的缺陷模式分类示例。
环：缺陷分布在圆周上，中心：缺陷分布在中心附近
甜甜圈：缺陷呈甜甜圈形状分布，划痕：缺陷呈直线分布
这种分类可以通过人类的直觉来完成，但是当晶圆图数量很多时，我们考虑使用聚类分析来自动将它们分类为几种模式。
使用空间索引进行聚类分析
聚类分析是一种基于多变量数据将具有相似值的行（在此示例中为“晶片”）分成几组的方法。
对于晶圆图等由XY坐标构成的数据，通常通过将其转换为一维坐标数据来进行聚类分析，如下所示。
该数据中，列名表示（X坐标，Y坐标），0表示正常，1表示缺陷。例如，“1 21”列包含每个晶圆上X坐标为1、Y坐标为21的位置的正常/异常值。
但当转换为一维坐标时，二维坐标的空间关系就丢失了。空间关系是指附近的点彼此相邻时出现缺陷的情况，或者缺陷出现在特定方向上的情况。
在 JMP 中，除了坐标数据之外，您还可以使用如下所示的空间指标执行聚类分析：
在晶圆图的情况下，有缺陷出现在同一半径上的情况，有缺陷出现与中心成一定角度的情况，还有缺陷排成一条直线的情况。在这种情况下，预计包括空间度量在内将有助于更好地对缺陷模式进行分类。
要使用的晶圆图数据
我们使用来自 332 个晶圆图的数据，每个晶圆图都包含下面列出的七种缺陷模式之一。
JMP 中使用空间指标进行层次聚类分析
要在 JMP 中执行包含空间测量的层次聚类分析，您必须以堆叠格式准备数据，如下所示。每个晶圆由Y坐标、X坐标、缺陷（坐标正常时为0，有缺陷时为1）组成。因此，每个晶圆的数据行数与坐标数相同（本例中为 2061）。
如果勾选“计算空间索引”，则除了一维坐标信息（属性）之外，还可以使用空间索引（扇形角度、圆半径、静脉角度、静脉位置）作为变量进行聚类分析。
以下是我们将聚类数量设置为 20 并运行“聚类摘要”选项时的结果。
通过“集群摘要”，您可以查看 20 个集群中每个集群的晶圆图图案。从结果中我们可以看到，Center、Donut、Loc、Edge_Ring、Normal等形状可以进一步分类。
然而，我们也可以看到此时Scratch的缺陷图案还没有被检测到。
检测 Scratch
因此，让我们检查 JMP 帮助以了解空间索引的含义。
| 扇形角 |
这表明分布呈扇形或半球形。 |
| 圆半径 |
这是一个显示圆形（甜甜圈形）分布的指标。 |
| 肌肉角度 |
这是表示相同角度的线（直线）的指标。 |
| 肌肉位置 |
这是表示等距离线（直线）的指标。 |
来自 JMP 帮助
划痕是晶圆制造过程中出现的细而线性的划痕。检测这种线性模式似乎涉及“肌肉的角度”和“肌肉的位置”。
因此，我们将肌肉角度和肌肉位置的权重设置为非常大的值（=1000），并展示聚类的结果。
我终于能够确认 Scratch 的形状了。在这个例子中，我们增加了相关指标的权重，以便更容易地检测直线，但其他缺陷模式如中心和甜甜圈也可以被正确检测到。
聚类结果摘要
下图是调整权重后的结果。纵轴表示实际缺陷模式（标签），横轴表示通过聚类分析分类的 20 个聚类。每个坐标处的黑点组代表度数的大小。
这些结果表明缺陷模式通常可以很好地分类。
参考：关于霍夫变换
空间指标“条纹角度”和“条纹位置”与一种称为霍夫变换的检测空间直线的方法有关。
在霍夫变换中，二维坐标（x，y）使用变换公式r = x cos（θ）+ y sin（θ）变换到（θ，r）空间。此时，当（x，y）空间中的多个点位于同一条直线上时，在（θ，r）空间中会有一个曲线相交的点。此属性用于检测一组排列成直线的点。
还提供 JMP 插件，可让您以交互方式理解此概念。
数据源
GitHub - Junliangwangdhu/WaferMap
JMP插件：霍夫变换演示
线霍夫变换演示 - JMP 用户社区
参考论文：应用霍夫变换进行半导体晶圆缺陷分类
White, KP, Jr.、Kundu, B. 和 Mastrangelo, CM (2008)。“通过霍夫变换对半导体晶圆上的缺陷簇进行分类。”IEEE 半导体制造学报 21:272–278。
作者：Naohiro Masukawa（JMP 日本）
Naohiro Masukawa - JMP 用户社区
