이 블로그에서는 혼합물 구성 요소들이 서로 다른 변이체와 각 변이체별로 다른 농도 범위를 가질 때, 혼합물 설계 실험계획법(DOE)을 적용하여 발생하는 제약 조건 문제를 해결하는 방법을 다룹니다. 이는 연속형 인자를 다룰 때 발생하는 까다로운 제약 조건에 접근하는 방법에 대한 @chris_gotwalt1 의 디스커버리 서밋 발표를 확장한 것입니다. 이 블로그에서는 한 단계 더 나아가 변이체별 제약 조건을 구체적으로 다룹니다.
변형별 제약 조건을 갖는 혼합 설계란 무엇을 의미하는지 논의해 보겠습니다. 아래 예시에서는 A, B, C 성분의 혼합물이 있습니다. 그런데 성분 A는 A1, A2, A3의 세 가지 변형으로 존재할 수 있으며, 각 변형은 고유한 허용 농도 범위를 가집니다(아래 참조).
그림 1: 변형 A1, A2 및 A3에 따른 농도 [A]의 허용 범위(녹색)와 금지 범위(빨간색).
실험 설계(DOE)의 원하는 결과는 아래 삼원 도표에 나타나 있으며, 변형 A1을 사용할 경우 DOE의 [A] 값은 [0.2 – 0.7] 사이이고, A2의 경우 A=[0.1 – 0.8], A3의 경우 A=[0 – 1]입니다.
그림 2: 변수 A 제약 조건이 있는 3성분 혼합물 공간에서 원하는 DOE 실행 위치.
구성 요소 B와 C에도 자체적인 변형이 있을 수 있지만, 편의상 지금은 구성 요소 A에 집중해 보겠습니다.
혼합 변수에도 연속형 및 범주형 변수에 "허용되지 않는 조합 필터"를 추가하는 것과 같은 방식으로 간단하게 추가할 수 있다고 생각할 수 있습니다. 그러나 혼합 설계에서는 혼합 변수의 합에 이미 제약 조건이 존재하며, 추가적인 제약 조건을 추가하면 설계 수렴 문제가 발생할 수 있습니다(아래 참조).
그림 3: 혼합물 제약 조건을 직접 추가하려고 할 때의 DOE 인터페이스.
혼합 설계에 제약 조건을 추가하고 A의 각 변형에 대해 서로 다른 범위를 지정하려면 어떻게 해야 할까요? 함께 살펴보겠습니다!
1단계 : 지원자 데이터 테이블을 생성합니다.
- 설계점이 전체 실험 공간에 고르게 분포되도록 1000가지 가능한 조합으로 구성된 후보 데이터 테이블을 생성합니다. 이는 DOE -> 특수 목적 -> 공간 채움 설계(Space Filling Design)를 통해 수행할 수 있습니다.
- 아래 그림과 같이 범주형 요인과 혼합 요인을 추가합니다.
- 3단계 범주형 요인을 추가하고 이름을 A로 지정한 다음, 값으로 A1, A2, A3를 추가합니다.
- 혼합 인자 [A], [B], [C] 세 개를 추가하고, 이들의 범위는 0과 1로 설정합니다.
- 실행 횟수는 1000으로 선택하세요.
- "빠르고 유연한 충전" 옵션을 선택하십시오. 이 옵션만이 혼합물 구성 요소와 호환됩니다.
- 하단의 "테이블 만들기"를 클릭하세요.
그림 4: 1000개의 후보 실행에 대한 공간 채움 설계를 생성할 때의 DOE 인터페이스.
후보자 데이터 표는 다음과 유사한 형태를 띨 것입니다.
그림 5: 1000개의 잠재적 실행 후보 세트로 사용된 신속하고 유연한 충전 설계 출력 데이터 표.
2단계: A의 각 변형에 대해 원하지 않는 범위를 제거합니다.
다변량 플랫폼과 로컬 데이터 필터를 사용하여 A의 각 변형에 대해 원하지 않는 범위를 제거하여 원하지 않는 범위를 선택합니다.
- 분석 --> 다변량 방법 --> 다변량으로 이동합니다. Y 열에 대해 [A], [B], [C]를 선택합니다.
- 로컬 데이터 필터를 추가하고 범주형 변수 A를 선택합니다. AND 버튼을 클릭하고 A 변수의 농도를 선택합니다. 여기서 목표는 A=A1인 원치 않는 조합 과 농도 범위 [A]가 0~0.2 및 0.7~1인 경우를 제외하는 것입니다. 이를 위해 원하는 범위(예: 0.2~0.7)를 직접 입력하고 농도 범위 필터의 빨간색 삼각형을 클릭한 다음, 선택 반전을 클릭하여 0~0.2 및 0.7~1 범위가 선택되도록 하는 것이 더 쉽습니다.
- 그래프에서 점을 선택하려면 일반 마우스 왼쪽 클릭을 사용하거나, 더 정확한 선택을 위해 올가미 도구를 사용하세요. 이 영상에서는 올가미 도구를 사용하여 모든 점을 선택했습니다.
- 데이터 테이블에서도 해당 데이터 포인트가 선택되었는지 확인하십시오. 테이블에서 해당 포인트를 삭제하십시오.
- 동일한 단계를 반복하되, 이번에는 범주 A에 대해 A2를 선택하고 [A] 농도가 0–0.1 및 0.8–1인 경우를 선택합니다.
아래 영상에서 방법을 확인하세요.
그림 7: [A], [B], [C] 열의 공변량/후보 실행 결과를 [공변량 요인 선택] 버튼을 사용하여 추가했을 때의 결과.
다음으로, 다음 단계를 따르세요.
- 주효과 및/또는 Scheffe 3차항을 추가하여 모델을 생성하세요.
- 실행 횟수를 후보 실행을 제외하고 원래 권장되었던 실행 횟수와 동일하게 18회로 설정하세요. 이것이 제 권장 사항이지만, 총 실행 횟수를 선택하는 데 다른 접근 방식을 취할 수도 있습니다.
- "디자인 만들기"와 "테이블 만들기"를 선택하세요.
- 행 -> 열별 색상 또는 표시로 이동하여 행에 표시를 추가하고 A1, A2, A3 열을 사용하여 실험을 구분합니다.
- [A], [B], [C] 열의 소수점 자릿수를 두 자리까지만 표시하려면 [열 속성] -> [서식] -> [고정 소수점] -> [소수점=2]로 이동하십시오.
- 그래프 > 삼원 도표로 이동하여 [A], [B], [C] 요인을 X축 도표 역할에 배치하면 삼원 도표를 생성할 수 있습니다. 주석과 참조 범위를 추가하면 새롭게 설계된 18개의 실험 실행이 구성 요소 A 변형과 관련된 제약 조건을 충족함을 확인할 수 있습니다.
그림 8: (a) [A]의 변형에 따라 적용된 제약 조건을 사용하여 생성된 DOE 테이블, (b) [A]의 변형 A1, A2 및 A3에 따른 사용된 범위를 보여주는 결과 삼원 도표.
4단계: 실험을 실행하고 모델을 테스트합니다.
- 실험을 실행한 후 Y 반응 값을 입력하고 분석 -> 모델 적합으로 이동하여 모델을 실행하세요.
- 보고서에 프로파일러를 추가하여 A의 변형과 세 가지 구성 요소 A, B, C의 농도가 미치는 영향을 시각화하십시오.
그림 9: 시뮬레이션된 Y 응답을 사용하여 생성된 모델의 예측 프로파일러.
후보군 접근법 사용의 이점을 명확하게 보여주는 훌륭한 기사입니다. @yasmine_hajar 님 감사합니다!
혼합 설계에서 후보점을 생성하기 위해 공간 채움 방식만 사용하는 것은 저차원 혼합 공간(이 예시처럼)에서는 잘 작동할 수 있지만, 고차원에서는 오류가 발생하기 쉬울 수 있습니다.
혼합 요소의 수가 증가함에 따라 점들은 0 주변에 밀집되고, 가능한 값의 범위는 작은 값 주변에서 좁아지기 시작합니다.
이 현상은 " 차원의 저주 "라고 알려져 있습니다(이에 대해서는 여기에서 글을 썼습니다).
혼합 요인의 수가 중간에서 높은 수준(>3)인 경우, 후보 집합에 대해 생성된 값의 범위가 잘리지 않도록 하고 이러한 차원 문제를 피하기 위한 몇 가지 해결 방법이 있습니다.
- 후보 집합을 생성할 때 D-최적 설계와 공간 채움 설계 방식을 조합하여 실험 공간의 "모서리"와 "경계"가 후보 지점에 포함되도록 하십시오. 예를 들어, 이러한 방식을 사용하면 일부 혼합 인자의 비율이 정확히 0에서 시작하고 1에서 끝나도록 할 수 있습니다.
- 조합론(데카르트 곱)을 사용하여 점을 생성하고, 비어 있는 설계 영역(예: 1에 가까운 요소)에 점을 추가합니다.
공간 채움 혼합 설계에서 차원 문제에 직면한 다른 사용자에게 이 답변이 도움이 되기를 바랍니다.
안녕하세요 @Victor_G 님 , 댓글 감사합니다. 네, 말씀하신 대로 고차원 혼합 모델에서 클러스터링이 잘 되는군요.
GUI를 사용하지 않는 접근 방식 중 더 나은 방법은 JSL 스크립팅 인덱스에 있는 "다각형 균일 난수 생성(Polytope Uniform Random)" 공식을 활용하는 것입니다. 이 공식을 사용하면 후보 설계를 생성하는 데 더 적합한 해결책이 될 수 있습니다. 나머지 단계는 그대로 진행할 수 있습니다. 자세한 내용은 추후 공개될 예정이니 기대해 주세요!
다시 한번 감사드립니다!
