Ce blog explique comment gérer les problèmes de contraintes lors de l'utilisation de la planification d'expériences (DOE) pour un mélange dont les composants présentent différentes variantes et différentes plages de concentration. Il approfondit la présentation de @chris_gotwalt1 lors du Discovery Summit sur la prise en compte des contraintes complexes liées aux facteurs continus. Ce blog va plus loin en abordant spécifiquement les plans d'expériences pour mélanges avec des contraintes propres à chaque variante.
Examinons ce que l'on entend par plans d'expériences avec contraintes spécifiques aux variantes. Dans l'exemple ci-dessous, nous avons un mélange des composants A, B et C. Le composant A peut se présenter sous trois formes différentes : A1, A2 et A3, chacune ayant sa propre plage de concentration autorisée (voir ci-dessous).
Figure 1 : Plages de concentration autorisées (vert) vs. interdites (rouge) [A] basées sur les variantes A1, A2 et A3.
Le résultat souhaité du DOE est illustré dans le diagramme ternaire ci-dessous où, en utilisant la variante A1, [A] dans le DOE a une valeur comprise entre [0,2 – 0,7] ; pour A2, A=[0,1 – 0,8] ; pour A3, A=[0 – 1].
Figure 2 : Emplacements souhaités des essais DOE dans l'espace de mélange ternaire avec contraintes variables A.
Les composants B et C peuvent également avoir leurs propres variantes, mais par souci de simplicité, concentrons-nous pour l'instant sur le composant A.
On pourrait penser qu'il suffit d'ajouter un filtre « Combinaison interdite » aux facteurs de mélange, comme on le fait pour les facteurs continus et catégoriels. Cependant, dans le cas des plans d'expériences par mélange, la somme des facteurs est déjà soumise à une contrainte, et l'ajout de contraintes supplémentaires entraînerait un problème de convergence (voir ci-dessous).
Figure 3 : Interface DOE lors de la tentative d'ajout direct de contraintes de mélange.
Comment ajouter des contraintes à un plan d'expériences de mélange et spécifier les différentes plages de valeurs pour chacune des variantes de A ? Voyons cela ensemble !
Étape 1 : Créer un tableau de données des candidats.
- Créez un tableau de 1 000 combinaisons possibles pour garantir une bonne répartition des points de conception dans l’espace expérimental. Pour ce faire, utilisez la méthode de remplissage de l’espace : accédez à DOE > Usage spécial > Plan d’expériences à remplissage de l’espace.
- Ajoutez les facteurs catégoriels et de mélange comme indiqué dans la figure ci-dessous.
- Ajoutez un facteur catégoriel à 3 niveaux, appelez-le A, puis ajoutez A1, A2 et A3 comme valeurs.
- Additionnez trois facteurs de mélange [A], [B] et [C] dont les plages sont 0 et 1.
- Pour le nombre d'exécutions, choisissez 1000.
- Sélectionnez l'option « Remplissage rapide et flexible ». C'est la seule option compatible avec les composants du mélange.
- Cliquez sur « Créer un tableau » en bas de la page.
Figure 4 : Interface DOE lors de la création d'un plan de remplissage d'espace pour 1000 essais candidats.
Le tableau de données des candidats ressemblerait à ceci :
Figure 5 : Tableau de données de sortie de la conception de remplissage rapide et flexible utilisé comme ensemble candidat de 1000 exécutions potentielles.
Étape 2 : Supprimez les plages indésirables pour chaque variante de A.
Supprimez les plages indésirables pour chaque variante de A en utilisant la plateforme multivariée et le filtre de données local pour sélectionner les plages indésirables.
- Allez dans Analyser --> Méthodes multivariées --> Multivariées. Sélectionnez [A], [B] et [C] pour les colonnes Y.
- Ajoutez le filtre de données locales et sélectionnez la variable catégorielle A. Cliquez sur le bouton ET, puis sélectionnez la concentration de la variable A. L'objectif est de sélectionner les combinaisons indésirables de A = A1 et les plages de concentration [A] comprises entre 0 et 0,2 et entre 0,7 et 1. Pour ce faire, il est plus simple de saisir la plage souhaitée (par exemple, 0,2–0,7), de cliquer sur le triangle rouge du filtre de plage de concentration, puis sur Inverser la sélection afin de sélectionner les plages 0–0,2 et 0,7–1.
- Sélectionnez les points du graphique en cliquant dessus avec le bouton gauche de la souris ou en utilisant l'outil Lasso pour une sélection plus précise. Dans la vidéo, j'ai utilisé l'outil Lasso pour sélectionner tous les points.
- Assurez-vous que les points de données sont également sélectionnés dans le tableau. Supprimez les points du tableau.
- Répétez les mêmes étapes, mais cette fois sélectionnez A2 pour la catégorie A ET la concentration [A] de 0–0,1 et 0,8–1.
Regardez la vidéo ci-dessous pour savoir comment faire.
Figure 7 : Résultat lorsque les colonnes [A], [B] et [C] des exécutions de covariables/candidats sont ajoutées à l'aide du bouton Sélectionner les facteurs de covariables.
Ensuite, suivez ces étapes :
- Créez votre modèle en ajoutant les effets principaux et/ou les termes cubiques de Scheffé.
- Définissez le nombre d'exécutions à 18, ce qui correspond au nombre d'exécutions initialement recommandé sans les exécutions candidates. C'est ma recommandation, mais vous pouvez choisir une autre méthode pour déterminer le nombre total d'exécutions.
- Sélectionnez « Créer un design » et « Créer un tableau ».
- Ajoutez un marqueur aux lignes en allant dans Lignes -> Couleur ou Marquer par colonne, et choisissez la colonne de variante A pour différencier les expériences utilisant A1 vs. A2 vs. A3.
- Modifiez le nombre de décimales dans les colonnes [A], [B] et [C] pour n'afficher que deux décimales en allant dans Propriétés de la colonne -> Format -> Déc. fixe -> Déc.=2.
- Créez un diagramme ternaire en allant dans Graphique -> Diagramme ternaire et en plaçant les facteurs [A], [B] et [C] sur l'axe des abscisses. Avec quelques annotations et l'ajout de plages de référence, on constate que les 18 essais expérimentaux nouvellement conçus prennent en compte les contraintes liées aux variantes du composant A.
Figure 8 : (a) Tableau DOE créé avec des contraintes appliquées sur [A] en fonction de ses variantes, et (b) le diagramme ternaire résultant montrant les plages utilisées de [A] en fonction de ses variantes A1, A2 et A3.
Étape 4 : Réaliser les expériences et tester le modèle
- Une fois les expériences terminées, renseignez la valeur de la réponse Y, allez dans Analyser -> Ajuster le modèle et exécutez le modèle.
- Ajoutez le profileur au rapport pour visualiser l'effet des variantes de A et les concentrations des trois composants A, B et C.
Figure 9 : Profiler de prédiction du modèle créé à l'aide de réponses Y simulées.
C'est une excellente solution aux contraintes liées aux mélanges. Beau travail !
Excellent article illustrant clairement les avantages de l'utilisation de l'approche par ensemble de candidats, merci @yasmine_hajar !
Pour la conception de mélanges, l'utilisation d'une approche de remplissage d'espace uniquement pour générer les points candidats peut bien fonctionner dans un espace de mélange de faible dimension (comme dans cet exemple), mais peut être sujette à erreurs dans des dimensions plus élevées.
À mesure que le nombre de facteurs de mélange augmente, les points se regroupent autour de 0 et la plage des valeurs possibles commence à se réduire autour des petites valeurs :
Ce phénomène est connu sous le nom de « malédiction de la dimensionnalité » (j'en ai parlé ici ).
En présence d'un nombre moyen à élevé de facteurs de mélange (>3), il existe plusieurs solutions de contournement pour garantir que la plage de valeurs générées pour l'ensemble candidat ne soit pas tronquée et pour éviter ce problème de dimensionnalité :
- Lors de la création d'un ensemble de candidats, combinez les approches D-optimales et de remplissage de l'espace afin de garantir la présence des points candidats aux extrémités de l'espace expérimental. Dans votre exemple, cela permet notamment de s'assurer que les proportions de certains facteurs de mélange commencent à 0 et se terminent exactement à 1.
- Générer des points en utilisant la combinatoire (produits cartésiens), pour ajouter des points dans la zone de conception vide (facteurs proches de 1 par exemple).
J'espère que cette réponse pourra aider d'autres utilisateurs confrontés à des problèmes de dimensionnalité avec les formulations de mélanges remplissant l'espace.
Bonjour @Victor_G , merci pour votre commentaire. Oui, vous avez raison concernant le regroupement à un mélange de dimension supérieure.
Une approche sans interface graphique, et qui serait préférable, consiste à utiliser l'équation « Polytope Uniform Random » de l'index de script JSL. Cette solution est plus efficace pour créer le prototype. Le reste de la procédure demeure inchangé. À suivre !
Merci encore!
