Introducción
El análisis de estabilidad se ha convertido en un tema candente últimamente. Sinceramente, no sé por qué, pero la cantidad de correos electrónicos que he recibido en mi bandeja de entrada es innegable. Un tema recurrente en torno a las preguntas sobre análisis de estabilidad es el del análisis de estabilidad de lotes aleatorios. Las preguntas suelen ser similares a estas: "¿Podemos estudiar la estabilidad (o vida útil) de un producto en JMP y considerar el efecto de múltiples lotes seleccionados aleatoriamente en el estudio?"
La respuesta corta es sí, podemos, con un poco de ayuda de… las matemáticas.
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¡Pero no temas! Las matemáticas en cuestión pueden parecer intimidantes, pero no lo son. Y tuve la amabilidad de convertirlas en un complemento para ayudarte. Así que, si quieres, puedes saltar al final, donde te muestro el complemento, y continuar sabiendo que las matemáticas que usamos están documentadas aquí. ¡Qué buena idea, verdad!
Así que démosle una galleta a nuestra ansiedad matemática y mandémosla a la cama mientras vemos cómo lidiar con este problema tan interesante.
¿Por qué es esto necesario?
Comencemos considerando lo que estamos diciendo. El análisis de estabilidad, o vida útil, es básicamente una protección contra la tendencia de las moléculas orgánicas (como medicamentos o alimentos) a degradarse con el tiempo. Aborda la pregunta: "¿Cuánta degradación puedo aceptar antes de que el producto pierda el nivel de eficacia deseado o se vuelva invendible?" (Nota: Voy a enmarcar esto en el contexto del desarrollo farmacéutico, pero los conceptos se aplican a muchos ámbitos diferentes). El desafío radica en la idea de que generalmente creemos que debemos abordar este problema de forma diferente en las distintas fases del desarrollo de un producto. (La verdad es un poco más matizada, pero usémosla como hipótesis de trabajo por ahora).
Cuando un producto es nuevo, es posible que no dispongamos de muchos lotes de material, por lo que debemos tomar varias muestras del mismo lote y realizar un seguimiento a lo largo del tiempo para determinar si la estimación inicial sobre la estabilidad del producto es válida. A medida que un producto pasa del desarrollo a la producción, tenemos más oportunidades de tomar muestras de diferentes lotes. Esto es excelente, ya que ofrece una visión más realista del comportamiento del material, pero introduce complejidad debido a la variación entre lotes. Por lo tanto, necesitamos diferentes métodos para gestionar el problema en las distintas fases del ciclo de vida del producto.
Para el primer caso, contamos con una herramienta (actualmente residente en la plataforma de degradación) que sigue las pautas ICH ( enlace ) para un estudio de estabilidad de un solo lote.
En el segundo caso, esa variación entre lotes implica que debemos usar un tipo especial de modelo llamado modelo mixto en JMP. Si esto te asusta, respire hondo, no te preocupes. Los modelos mixtos son probablemente el tipo de modelo más intuitivo (conceptualmente) con el que te encontrarás. Las matemáticas son un poco complicadas, pero conceptualmente, los humanos estamos programados para abordar el mundo de una manera similar a la de los modelos mixtos.
El modelo mixto para la estabilidad del lote
Comencemos con un ejemplo sencillo: si tuviéramos 10 bolsas de galletas de la misma planta de producción, pero de diferentes momentos, esperaríamos que las galletas tuvieran propiedades consistentes con un margen de variación. En este último punto es donde entra en juego el modelo mixto. Si no nos importaran las causas de esa variación en torno a la tendencia general, podríamos simplemente agruparlas y esperar que algunas galletas fueran ligeramente superiores a otras. Sin embargo, si quisiéramos estudiar esas fuentes de variación (p. ej., qué horno se utilizó, proveedores de ingredientes, etc.), podríamos incluirlas en el modelo como efectos fijos. En el caso de las bolsas de galletas, no nos importan las 10 bolsas específicas que extrajimos, pero sí queremos usarlas para estimar la variabilidad de TODAS las bolsas en producción, por lo que empleamos un componente del modelo para este efecto aleatorio.
Pasemos a un ejemplo biotecnológico. Si tenemos un material o fármaco fabricado en lotes y las materias primas para esos lotes presentan variaciones, prevemos que habrá pequeñas variaciones entre lotes que debemos abordar.
En los modelos tradicionales, agrupamos esa variación en el término de error del modelo ( matemáticas 
:(
Con modelos mixtos, intentamos determinar las contribuciones de estos efectos aleatorios para comprender mejor el origen de la variabilidad. Quizás ya haya visto estas ideas, ya que aparecen en experimentos diseñados como factores aleatorios que utilizan el método de ajuste REML (máxima verosimilitud restringida). Definir la variabilidad incorrectamente puede dar lugar a pruebas estadísticas inexactas y, en consecuencia, a malas decisiones comerciales.
Vida útil y modelos mixtos
¿Qué tiene todo esto que ver con el cálculo de la vida útil? Para determinarla, recopilamos datos sobre la degradación del ingrediente activo en una muestra o sobre el aumento de impurezas con el tiempo y los utilizamos para desarrollar un modelo lineal simple. (Nota: existen otros problemas en este ámbito al analizar modelos no lineales, pero no los abordaremos en esta ocasión). Luego, utilizamos el modelo lineal para extrapolar cuándo el parámetro de interés supera un límite de especificación predeterminado; por ejemplo, cuando tenemos muy poco ingrediente activo o demasiadas impurezas.
En el caso de un solo lote donde monitoreamos un ingrediente activo, simplemente seleccionaríamos la muestra con peor rendimiento del lote y usaríamos el intervalo de confianza más bajo en su línea de ajuste para establecer la vida útil. Para quienes no estén familiarizados con las directrices de la ICH, el protocolo incluye comprobaciones estadísticas adicionales sobre la similitud de las muestras que no abordaré aquí.
Para el caso de lotes múltiples, haremos algo similar. Pero usaremos un modelo mixto para rastrear la variación entre lotes y trabajaremos con un solo modelo para todo el conjunto de datos. Supondremos que la variabilidad entre lotes generalmente se distribuye normalmente en torno a un comportamiento promedio. Si usamos esta suposición, podemos usar algunas compensaciones para acceder a la ecuación que necesitamos para calcular la vida útil considerando la variación entre lotes. Comencemos (o si prefieres omitir los cálculos, puedes pasar directamente a la siguiente parte; tú decides).
¡ATENCIÓN! ¡AQUÍ HAY... MATEMÁTICAS!
Construyendo la línea de decisión
Vamos a construir la línea de decisión ejecutando primero un modelo mixto en JMP Pro. Los modelos mixtos son una de las personalidades disponibles en Ajustar modelo (Analizar > Ajustar modelo).
Una vez configurado, el área de efectos del modelo tendrá tres pestañas. Solo nos interesan las dos primeras. Comenzaremos la configuración añadiendo la variable de interés al campo Y. A continuación, añadiremos la variable de tiempo a la pestaña Efectos Fijos, como en los modelos tradicionales que probablemente ya haya creado.
Por último, iremos a la pestaña "Efectos aleatorios" y añadiremos la variable de lote a los efectos aleatorios. De esta forma, eliminaremos la variabilidad entre lotes mediante la introducción de una intersección aleatoria. También consideraremos la posibilidad de que los lotes se degraden a diferentes ritmos con el tiempo (es decir, que tengan diferentes pendientes para la medida de tiempo), por lo que permitiremos pendientes aleatorias. Para ello, seleccionaremos las variables de tiempo y lote en la "Lista de columnas" y luego haremos clic en "Cruz" en la pestaña "Efectos aleatorios". Finalmente, estableceremos el nivel alfa del modelo, que se encuentra en el menú del triángulo rojo. Si se desea un percentil 75, se establecería un alfa de 0,25. Al terminar (si se está siguiendo la explicación), debería verse así:
Luego hacemos clic en "Ejecutar". Lo último que debemos hacer antes de pasar al modo "conectar y listo" es ir al menú del triángulo rojo y seleccionar LRT > Matrices de covarianza y correlación > Covarianzas para todos los parámetros.
La buena noticia es que ya hemos terminado con los cálculos complejos y todos los valores necesarios están en el informe del modelo mixto. Podemos extraerlos para crear la línea de decisión. Esta línea es simplemente un intervalo de confianza para la línea de n-cuantiles del modelo medio (es decir, la línea del percentil 75 basada en el nivel alfa establecido en el cuadro de diálogo de configuración del modelo). Por lo tanto, comenzamos con el modelo medio del ajuste:
Las estimaciones matemáticas se encuentran en la columna Estimaciones aquí en el informe:
Luego modificamos esa línea con un desplazamiento para tener en cuenta la variabilidad entre lotes representada por los efectos aleatorios, así como el cuartil en el que queremos basar la vida útil. Lo haremos en dos pasos para que puedas ver de dónde proviene todo:
Primero, tomemos la línea media y expandamos el término de error ( matemáticas ):(
Tenga en cuenta que solo hemos eliminado un par de términos ( matemáticas ) de la primera ecuación. El primer término nuevo ( matemáticas ) es la intersección aleatoria y el segundo término ( matemáticas ) representa las pendientes aleatorias. Una pequeña nota sobre la notación que utilizo: los efectos fijos (elementos que podemos controlar) usarán letras griegas (p. ej., matemáticas ) y los efectos aleatorios usarán letras latinas (p. ej., matemáticas ).
El paso 2 consiste en compensar la línea media con las contribuciones de cada fuente de variabilidad (los términos matemáticos de la ecuación a continuación) y escalarla con la puntuación z del cuartil deseado ( matemática ). Esto hace que la ecuación parezca un poco más compleja, pero se trata simplemente de estimaciones que se consultan en el informe (las ubicaciones se pueden ver en la captura de pantalla a continuación) o que JMP puede calcular automáticamente.
Encontramos esos términos sigma-cuadrado ( matemáticas ) en la columna Estimación de la sección de componentes de varianza del informe:
Por último, necesitamos desarrollar un intervalo de confianza en esa línea. Parece un poco complejo al expresarlo en notación:
términos de varianza:
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Pero todas esas derivadas parciales se descomponen en constantes o términos lineales simples. Cada sigma ( matemáticas ) o psi ( matemáticas ) es simplemente una varianza o covarianza encontrada en la matriz de covarianza que activamos en el informe. Al sustituir y consolidar términos, los términos de varianza se ven así:
Entonces, cuando sumas todo eso y lo vuelves a poner en matemáticas , obtienes lo que básicamente equivale a un polinomio simple con una cantidad enorme de constantes.
Esto es irritante si quieres intentar hacerlo a mano, pero resulta práctico si, por ejemplo, quieres codificar el análisis. Todo esto se puede hacer por partes y simplemente sumarlo al final.
Construyéndolo todo en JMP
Si has hecho los cálculos, ¡bienvenido de nuevo!
La buena noticia, como ya he mencionado varias veces, es que todos los números necesarios para determinar la línea de decisión de un estudio determinado están disponibles en los informes de modelos mixtos de JMP. Solo es cuestión de extraerlos, insertarlos y observar dónde la línea de decisión cruza el límite de especificación de interés. Se podría hacer manualmente, pero como mencioné al principio, ahora hay un complemento. Lo pueden encontrar aquí: Análisis aleatorio de vida útil/estabilidad de lotes . He dejado el código sin cifrar para que puedan explorarlo y ver lo que estoy haciendo.
