Introduzione
L'analisi della stabilità è diventata un argomento caldo di recente. Onestamente non so perché, ma il numero di email che ho ricevuto è innegabile. Un tema ricorrente nelle domande sull'analisi della stabilità è la domanda sull'analisi della stabilità per lotti casuali. Le domande tendono a essere più o meno queste: "Possiamo studiare la stabilità (o la durata di conservazione) di un prodotto in JMP e considerare l'effetto di più lotti selezionati casualmente nello studio?"
La risposta breve è sì, possiamo farlo, con un piccolo aiuto... dalla matematica.
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Ma niente paura! La matematica in questione potrebbe sembrare spaventosa, ma non lo è. E sono stato gentile da inserirla in un componente aggiuntivo per aiutarvi. Quindi, se volete, potete semplicemente passare direttamente alla fine, dove vi mostro il componente aggiuntivo, e continuare sapendo che la matematica che stiamo usando è documentata qui. È un pensiero piacevole, vero?
Quindi diamo un biscotto alla nostra ansia per la matematica e mandiamola a letto mentre diamo un'occhiata a come affrontare questo problema molto interessante.
Perché è necessario?
Cominciamo col considerare ciò che stiamo dicendo. La stabilità, o analisi della shelf-life, è fondamentalmente una protezione contro la tendenza delle molecole organiche (come medicinali o alimenti) a degradarsi nel tempo. Affronta la domanda: "Quanto degrado posso accettare prima che il prodotto perda il livello di efficacia desiderato o diventi invendibile?". (Nota a margine: inquadrerò questo concetto nel contesto dello sviluppo farmaceutico, ma i concetti si applicano a molti ambiti diversi). La sfida nasce dall'idea che generalmente pensiamo di dover affrontare questo problema in modo diverso nelle diverse fasi dello sviluppo di un prodotto. (La verità è un po' più sfumata, ma usiamola come presupposto di lavoro per il momento).
Quando un prodotto è nuovo, potremmo non disporre di molti lotti o batch di materiale, quindi dobbiamo prelevare diversi campioni dallo stesso lotto e monitorarli nel tempo per determinare se l'ipotesi iniziale sulla stabilità del prodotto sia valida. Man mano che passiamo dallo sviluppo alla produzione, abbiamo più opportunità di campionare da lotti diversi. Questo è ottimo, perché fornisce un quadro più realistico del comportamento del materiale, ma introduce complessità sotto forma di variazioni da lotto a lotto o da lotto a lotto. Di conseguenza, dobbiamo disporre di metodi diversi per gestire il problema nelle diverse fasi del ciclo di vita del prodotto.
Nel primo caso, disponiamo di uno strumento (attualmente presente nella piattaforma di degradazione) che segue le linee guida ICH ( collegamento ) per uno studio sulla stabilità di un singolo lotto.
Nel secondo caso, questa variazione da batch a batch implica che dobbiamo utilizzare un tipo speciale di modello, chiamato modello misto, in JMP. Se questo vi spaventa, fate un respiro profondo, non preoccupatevi. I modelli misti sono probabilmente il tipo di modello più intuitivo (concettualmente) che incontrerete. La matematica è un po' ostica, ma concettualmente, gli esseri umani sono programmati per approcciarsi al mondo in un modo che si avvicina ai modelli misti.
Il modello misto per la stabilità dei lotti
Cominciamo con un semplice esempio: se avessimo 10 confezioni di biscotti provenienti dallo stesso stabilimento di produzione, ma da momenti diversi, ci aspetteremmo che i biscotti abbiano proprietà coerenti entro una certa tolleranza di variazione. Quest'ultimo aspetto è dove entra in gioco il modello misto. Se non ci interessassero le cause di tale variazione rispetto al trend generale, potremmo semplicemente raggrupparle e aspettarci che alcuni biscotti siano leggermente superiori ad altri. Tuttavia, se volessimo studiare queste fonti di variazione (ad esempio, il forno utilizzato, i fornitori degli ingredienti, ecc.), potremmo includerle nel modello come effetti fissi. Nel caso delle confezioni di biscotti stesse, non ci interessano le 10 confezioni specifiche che abbiamo estratto, ma vogliamo usarle per stimare la variabilità di TUTTE le confezioni in produzione, quindi utilizziamo un componente del modello per questo effetto casuale.
Passiamo a un esempio biotecnologico. Se un materiale o un farmaco viene prodotto in lotti e le materie prime per tali lotti presentano variazioni, ci aspettiamo che ci siano piccole variazioni da lotto a lotto con cui fare i conti.
Nei modelli tradizionali, raggruppiamo tale variazione nel termine di errore per il modello ( matematica 
:(
Con i modelli misti, cerchiamo di determinare il contributo di questi effetti casuali per comprendere meglio da dove proviene la variabilità. Potreste aver già visto queste idee in precedenza, poiché si manifestano in esperimenti progettati come fattori casuali che utilizzano il metodo di adattamento REML (massima verosimiglianza ristretta); definire la variabilità in modo errato può portare a test statistici imprecisi e, di conseguenza, a decisioni aziendali sbagliate.
Durata di conservazione e modelli misti
Cosa c'entra tutto questo con il calcolo della shelf-life? Beh, per determinare la shelf-life, raccogliamo dati sulla degradazione del principio attivo in un campione o sull'aumento delle impurità nel tempo e li utilizziamo per sviluppare un semplice modello lineare. (Nota a margine: c'è un'altra serie di problemi in questo ambito quando si esaminano i modelli non lineari, ma non ci soffermeremo su questo aspetto questa volta). Utilizziamo quindi il modello lineare per estrapolare quando il parametro di interesse supera un limite di specifica predeterminato, ad esempio quando abbiamo una quantità di principio attivo insufficiente o troppe impurità.
Nel caso di un singolo lotto in cui monitoriamo un principio attivo, selezioniamo semplicemente il campione con le prestazioni peggiori dal lotto e utilizziamo l'intervallo di confidenza inferiore sulla sua linea di adattamento per definire la shelf-life. Per chi non ha familiarità con le linee guida ICH, il protocollo prevede alcuni controlli statistici aggiuntivi sulla similarità dei campioni, di cui non parlerò in questa sede.
Per il caso di lotti multipli, faremo qualcosa di simile. Ma useremo un modello misto per tracciare la variazione tra i lotti e lavoreremo con un singolo modello per l'intero set di dati. Supporremo che la variabilità da lotto a lotto sia generalmente distribuita normalmente attorno a un comportamento medio. Se utilizziamo questo presupposto, possiamo usare alcuni offset per accedere all'equazione necessaria per calcolare la shelf-life considerando la variazione da lotto a lotto. Andiamo al dunque (oppure, se volete saltare la parte matematica, potete semplicemente passare direttamente alla parte successiva: a voi la scelta).
ATTENZIONE! QUI C'È... LA MATEMATICA!!
Costruire la linea decisionale
Per creare la linea decisionale, eseguiamo prima un modello misto in JMP Pro. I modelli misti sono una delle personalità disponibili in Adatta modello (Analizza > Adatta modello).
Una volta impostato questo, l'area degli effetti del modello cambierà e avrà tre schede. Ci occuperemo solo delle prime due. Inizieremo la configurazione aggiungendo la variabile di interesse al campo Y. Successivamente, aggiungeremo la variabile tempo alla scheda Effetti fissi, proprio come nei modelli tradizionali che probabilmente avete già costruito in precedenza.
Infine, andremo alla scheda "Effetti casuali" e aggiungeremo la variabile batch o lotto agli effetti casuali. In questo modo, elimineremo la variabilità da batch a batch introducendo un'intercetta casuale. Considereremo anche la possibilità che i batch possano degradarsi a velocità diverse nel tempo (ovvero, avere pendenze diverse per la misura del tempo), quindi consentiremo pendenze casuali. Per tenerne conto, selezioneremo le variabili tempo e batch nell'elenco delle colonne e faremo clic su "Incrocio" nella scheda "Effetti casuali". L'ultima cosa che vogliamo fare è impostare il livello alfa per il modello, che si trova nel menu a forma di triangolo rosso. Se si desidera un percentile del 75°, si imposta un alfa di 0,25. Al termine (se state seguendo le istruzioni), dovrebbe apparire così:
Quindi clicchiamo su Esegui. L'ultima cosa che dobbiamo fare prima di passare alla modalità "plug-and-chug" è andare al menu con il triangolo rosso e selezionare LRT > Matrici di covarianza e correlazione > Covarianze per tutti i parametri.
La buona notizia è che abbiamo completato i "calcoli più complessi" e tutti i valori necessari sono nel report del modello misto. Possiamo estrarli per creare la linea di decisione. La linea di decisione è semplicemente un intervallo di confidenza per la linea n-quantile del modello medio (ovvero, la linea del 75° percentile basata sul livello alfa impostato nella finestra di dialogo di configurazione del modello). Quindi, partiamo dal modello medio ricavato dall'adattamento:
Le stime matematiche si trovano nella colonna Stime qui nel report:
Modifichiamo quindi quella riga con uno spostamento per tenere conto della variabilità da lotto a lotto rappresentata dagli effetti casuali, nonché del quantile su cui vogliamo basare la durata di conservazione. Lo faremo in due passaggi, così potrete vedere da dove provengono tutti i dati:
Per prima cosa prendiamo la retta media ed espandiamo il termine di errore ( matematica ):(
Si noti che tutto ciò che abbiamo fatto è stato estrarre un paio di termini ( matematica ) da quella primissima equazione. Il primo nuovo termine ( matematica ) è l'intercetta casuale e il secondo termine ( matematica ) tiene conto delle pendenze casuali. Una piccola nota sulla notazione che sto usando qui: gli effetti fissi (cose che possiamo controllare) useranno lettere greche (ad esempio, matematica ) e gli effetti casuali useranno lettere latine (ad esempio, matematica ).
Il passaggio 2 consiste nello sfalsare la linea media in base ai contributi di ciascuna fonte di variabilità (i termini matematici nell'equazione sottostante) e scalarla in base allo z-score per il quantile desiderato ( matematico ). Questo rende l'equazione un po' più complessa, ma si tratta semplicemente di stime che si possono consultare nel report (le posizioni sono visibili nello screenshot sottostante) o che JMP può calcolare per voi:
Troviamo questi termini sigma-quadrato ( matematica ) nella colonna Stima della sezione dei componenti della varianza del report:
Infine, dobbiamo sviluppare un intervallo di confidenza su quella retta. Esprimerlo in notazione sembra un po' complicato:
termini di varianza:
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Ma tutte queste derivate parziali si scompongono in costanti o termini lineari semplici. Ogni sigma ( matematica ) o psi ( matematica ) è semplicemente una varianza o covarianza trovata nella matrice di covarianza che abbiamo attivato nel report. Sostituendo e consolidando i termini, i termini di varianza appaiono più o meno così:
Quindi, sommando tutto questo e rimettendolo in calcoli matematici , si ottiene quello che sostanzialmente equivale a un semplice polinomio con un numero sgradevole di costanti.
È irritante se si vuole provare a farlo a mano, ma è utile se si vuole, ad esempio, codificare l'analisi. Tutto questo può essere fatto a pezzi e sommato alla fine.
Costruire tutto in JMP
Se hai fatto i calcoli, bentornato!
La buona notizia, come ho già detto diverse volte, è che tutti i numeri necessari per definire la linea decisionale per un dato studio sono disponibili nei report dei modelli misti di JMP. Si tratta semplicemente di estrarli, inserirli e osservare dove la linea decisionale interseca il limite di specifica di interesse. Si potrebbe fare a mano, ma come ho detto all'inizio, ora c'è un componente aggiuntivo per questo. Lo potete trovare qui: Analisi della durata di conservazione/stabilità di lotti casuali . Ho lasciato il codice non crittografato in modo che possiate curiosare e vedere cosa ci faccio dentro.
