Einführung
Stabilitätsanalysen sind in letzter Zeit ein heiß diskutiertes Thema geworden. Ich bin mir ehrlich gesagt nicht sicher, warum, aber die Anzahl der E-Mails, die ich in meinem Posteingang erhalten habe, ist unbestreitbar. Ein häufiges Thema bei Fragen zur Stabilitätsanalyse ist die Frage der Random-Chargen-Stabilitätsanalyse. Die Fragen lauten in etwa so: „Können wir die Stabilität (oder Haltbarkeit) eines Produkts in JMP untersuchen und dabei die Auswirkungen mehrerer, zufällig ausgewählter Chargen berücksichtigen?“
Die kurze Antwort lautet: Ja, das können wir, mit ein wenig Hilfe von … Mathematik.
über GIPHY
Aber keine Angst! Die Mathematik mag zwar beängstigend wirken, ist es aber nicht. Und ich war so nett und habe sie in ein Add-In integriert, um Ihnen zu helfen. Wenn Sie möchten, können Sie einfach zum Ende springen, wo ich Ihnen das Add-In zeige, und weiterlesen, in dem Wissen, dass die von uns verwendete Mathematik hier dokumentiert ist. Das ist doch ein schöner Gedanke, oder?
Geben wir unserer Mathe-Angst also einen Keks und vertreiben sie ins Bett, während wir uns ansehen, wie wir mit diesem sehr interessanten Problem umgehen können.
Warum ist das notwendig?
Betrachten wir zunächst, was wir meinen. Stabilitäts- oder Haltbarkeitsanalysen dienen im Wesentlichen als Schutz gegen die Tendenz organischer Moleküle (wie Medikamente oder Lebensmittel), sich mit der Zeit zu zersetzen. Sie befassen sich mit der Frage: „Wie viel Zersetzung kann ich akzeptieren, bevor das Produkt die gewünschte Wirksamkeit verliert oder unverkäuflich wird?“ (Nebenbemerkung: Ich werde dies im Kontext der Arzneimittelentwicklung erläutern, aber die Konzepte sind auf viele verschiedene Bereiche anwendbar.) Die Herausforderung liegt darin, dass wir dieses Problem in verschiedenen Phasen der Produktentwicklung grundsätzlich unterschiedlich angehen müssen. (Die Wahrheit ist etwas differenzierter, aber wir gehen zunächst davon aus.)
Bei neuen Produkten verfügen wir möglicherweise noch nicht über viele Chargen oder Chargen. Daher müssen wir mehrere Proben aus derselben Charge entnehmen und diese über einen längeren Zeitraum beobachten, um festzustellen, ob die anfängliche Schätzung der Produktstabilität zutrifft. Im Übergang von der Entwicklung zur Produktion haben wir mehr Möglichkeiten, Proben aus verschiedenen Chargen zu entnehmen. Das ist zwar von Vorteil, da es ein realistischeres Bild des Materialverhaltens liefert, führt aber zu Komplexität durch Abweichungen von Charge zu Charge. Daher benötigen wir in den verschiedenen Phasen des Produktlebenszyklus unterschiedliche Methoden zur Problembewältigung.
Für den ersten Fall verfügen wir über ein Tool (derzeit in der Degradationsplattform integriert), das den ICH-Richtlinien ( Link ) für eine Stabilitätsstudie einer einzelnen Charge folgt.
Im zweiten Fall bedeutet diese Batch-zu-Batch-Variation, dass wir einen speziellen Modelltyp verwenden müssen, der in JMP als gemischtes Modell bezeichnet wird. Wenn das beängstigend klingt, atmen Sie tief durch, es wird kein Problem sein. Gemischte Modelle sind wahrscheinlich der intuitivste Modelltyp (konzeptionell), dem Sie begegnen werden. Die Mathematik ist etwas knifflig, aber konzeptionell sind Menschen darauf programmiert, die Welt auf eine Weise zu betrachten, die gemischten Modellen nahekommt.
Das gemischte Modell für Chargenstabilität
Beginnen wir mit einem einfachen Beispiel: Angenommen, wir hätten 10 Tüten Kekse aus derselben Produktionsanlage, aber von unterschiedlichen Zeitpunkten, dann würden wir erwarten, dass die Kekse innerhalb einer gewissen Schwankungsbreite konsistente Eigenschaften aufweisen. Bei diesem letzten Teil kommt das gemischte Modell ins Spiel. Wären uns die Ursachen dieser Abweichungen vom allgemeinen Trend egal, könnten wir sie einfach zusammenfassen und davon ausgehen, dass einige Kekse anderen etwas überlegen sind. Wenn wir jedoch diese Abweichungsquellen untersuchen wollten (z. B. welcher Ofen verwendet wurde, wer die Zutaten geliefert hat usw.), könnten wir sie als feste Effekte in das Modell aufnehmen. Im Fall der Kekstüten selbst sind uns die 10 spezifischen Tüten, die wir ausgewählt haben, egal, wir möchten sie jedoch verwenden, um die Variabilität ALLER Tüten in der Produktion zu schätzen, daher verwenden wir eine Modellkomponente für diesen Zufallseffekt.
Betrachten wir ein Beispiel aus der Biotechnologie. Wenn wir ein Material oder Medikament in Chargen herstellen und die Ausgangsstoffe für diese Chargen Schwankungen aufweisen, müssen wir mit kleinen Abweichungen von Charge zu Charge rechnen.
In traditionellen Modellen fassen wir diese Variation in den Fehlerterm des Modells zusammen ( Mathematik 
:(
Mit gemischten Modellen versuchen wir, die Beiträge dieser Zufallseffekte zu ermitteln, um die Ursachen der Variabilität besser zu verstehen. Sie kennen diese Konzepte vielleicht schon, da sie in geplanten Experimenten als Zufallsfaktoren auftauchen, die die REML-Anpassungsmethode (Restricted Maximum Likelihood) verwenden. Eine falsche Definition der Variabilität kann zu ungenauen statistischen Tests und in der Folge zu schlechten Geschäftsentscheidungen führen.
Haltbarkeit und gemischte Modelle
Was hat das alles mit der Berechnung der Haltbarkeit zu tun? Um die Haltbarkeit zu bestimmen, erfassen wir Daten über den Abbau des Wirkstoffs in einer Probe oder die Zunahme von Verunreinigungen im Laufe der Zeit und entwickeln daraus ein einfaches lineares Modell. (Nebenbemerkung: Bei nichtlinearen Modellen ergeben sich in diesem Bereich weitere Probleme, auf die wir hier aber nicht näher eingehen.) Anschließend extrapolieren wir anhand des linearen Modells, wann der betreffende Parameter eine vorgegebene Spezifikationsgrenze überschreitet, z. B. wenn wir zu wenig Wirkstoff oder zu viele Verunreinigungen haben.
Im Fall einer einzelnen Charge, bei der wir einen Wirkstoff überwachen, würden wir einfach die Probe mit der schlechtesten Leistung aus der Charge auswählen und das untere Konfidenzintervall ihrer Anpassungsgeraden zur Festlegung der Haltbarkeit verwenden. Für diejenigen, die mit den ICH-Richtlinien nicht vertraut sind: Das Protokoll enthält einige zusätzliche statistische Prüfungen zur Ähnlichkeit der Proben, auf die ich hier nicht eingehe.
Im Fall mehrerer Chargen gehen wir ähnlich vor. Wir verwenden jedoch ein gemischtes Modell, um die Variation zwischen den Chargen zu verfolgen, und arbeiten mit einem einzigen Modell für den gesamten Datensatz. Wir gehen davon aus, dass die Variabilität zwischen Chargen im Allgemeinen normalverteilt um ein Durchschnittsverhalten herum verläuft. Unter dieser Annahme können wir mithilfe einiger Offsets auf die Gleichung zugreifen, die wir zur Berechnung der Haltbarkeit unter Berücksichtigung der Variation zwischen Chargen benötigen. Los geht’s (oder wenn Sie die Berechnung überspringen möchten, können Sie einfach den nächsten Teil überspringen – Ihre Entscheidung).
WARNUNG! HIER GIBT ES ... MATHEMATIK!!
Aufbau der Entscheidungslinie
Wir erstellen die Entscheidungslinie, indem wir zunächst ein gemischtes Modell in JMP Pro ausführen. Gemischte Modelle sind eine der verfügbaren Persönlichkeiten in „Modell anpassen“ (Analysieren > Modell anpassen).
Sobald wir dies festgelegt haben, wird der Bereich „Modelleffekte“ auf drei Registerkarten erweitert. Wir interessieren uns nur für die ersten beiden. Wir beginnen mit der Einrichtung, indem wir die gewünschte Variable zum Y-Feld hinzufügen. Anschließend fügen wir die Zeitvariable zur Registerkarte „Feste Effekte“ hinzu, genau wie bei herkömmlichen Modellen, die Sie wahrscheinlich schon erstellt haben.
Zuletzt wechseln wir zur Registerkarte „Zufallseffekte“ und fügen die Variable „Charge“ bzw. „Los“ zu den Zufallseffekten hinzu. Dadurch reduzieren wir die Variabilität zwischen den Chargen durch die Einführung eines zufälligen Achsenabschnitts. Wir berücksichtigen auch die Möglichkeit, dass die Chargen im Laufe der Zeit unterschiedlich schnell abgebaut werden (d. h. unterschiedliche Steigungen für die Zeitmessung aufweisen), daher berücksichtigen wir zufällige Steigungen. Um dies zu berücksichtigen, wählen wir die Zeit- und Chargenvariablen in der Spaltenliste aus und klicken anschließend auf der Registerkarte „Zufallseffekte“ auf „Kreuz“. Abschließend legen wir den Alpha-Wert für das Modell fest, der sich im roten Dreieckmenü befindet. Für ein 75. Perzentil würden Sie einen Alpha-Wert von 0,25 festlegen. Wenn Sie fertig sind (falls Sie mitlesen), sollte es so aussehen:
Anschließend klicken wir auf „Ausführen“. Bevor wir in den „Plug-and-Chug“-Modus wechseln, müssen wir nur noch im roten Dreieckmenü „LRT > Kovarianz- und Korrelationsmatrizen > Kovarianzen für alle Parameter“ auswählen.
Die gute Nachricht ist, dass wir nun mit den umfangreichen Berechnungen fertig sind und alle benötigten Werte im gemischten Modellbericht enthalten sind. Wir können sie extrahieren, um die Entscheidungslinie zu erstellen. Die Entscheidungslinie ist lediglich ein Konfidenzintervall für die n-Quantillinie des Mittelwertmodells (d. h. die 75. Perzentillinie basierend auf dem im Modell-Setup-Dialog festgelegten Alpha-Niveau). Wir beginnen also mit dem Mittelwertmodell aus der Anpassung:
Die mathematischen Schätzungen finden Sie hier im Bericht in der Spalte „Schätzungen“:
Anschließend modifizieren wir diese Linie mit einer Verschiebung, um die durch Zufallseffekte verursachte Variabilität von Charge zu Charge sowie das Quantil, auf dem wir die Haltbarkeit basieren möchten, zu berücksichtigen. Wir gehen dazu in zwei Schritten vor, damit Sie sehen, woher alles kommt:
Nehmen wir zunächst die Mittellinie und erweitern den Fehlerterm ( Mathe ):(
Beachten Sie, dass wir lediglich einige Terme ( Mathe ) aus der ersten Gleichung entfernt haben. Der erste neue Term ( Mathe ) ist der zufällige Achsenabschnitt, der zweite Term ( Mathe ) berücksichtigt die zufälligen Steigungen. Eine kleine Anmerkung zur Notation: Für feste Effekte (beeinflussbare Effekte) werden griechische Buchstaben verwendet (z. B. Mathe ), für Zufallseffekte lateinische Buchstaben (z. B. Mathe ).
Schritt 2 besteht darin, die Mittellinie um die Beiträge der einzelnen Variabilitätsquellen (die mathematischen Terme in der folgenden Gleichung) zu verschieben und diese mit dem Z-Score für das gewünschte Quantil ( Mathe ) zu skalieren. Dadurch wirkt die Gleichung etwas komplexer, es handelt sich jedoch nur um Schätzungen, die Sie im Bericht nachschlagen (die Positionen sind im Screenshot unten zu sehen) oder die JMP für Sie berechnen kann:
Wir finden diese Sigma-Quadrat-Terme ( Mathe ) in der Spalte „Schätzung“ des Abschnitts „Varianzkomponenten“ des Berichts:
Zuletzt müssen wir ein Konfidenzintervall für diese Linie entwickeln. Es sieht etwas kompliziert aus, wenn man es in Notation darstellt:
Varianzterme:
über GIPHY
Aber all diese partiellen Ableitungen zerfallen entweder in Konstanten oder einfache lineare Terme. Jedes Sigma ( Mathe ) oder Psi ( Mathe ) ist lediglich eine Varianz oder Kovarianz, die in der Kovarianzmatrix gefunden wird, die wir im Bericht aktiviert haben. Durch Ersetzen und Konsolidieren der Terme sehen die Varianzterme etwa so aus:
Wenn Sie also all das zusammenzählen und wieder mathematisch berechnen, erhalten Sie im Grunde ein einfaches Polynom mit einer unverschämt hohen Anzahl von Konstanten.
Das ist zwar ärgerlich, wenn Sie dies handschriftlich tun möchten, aber praktisch, wenn Sie beispielsweise die Analyse codieren möchten. All dies kann stückweise erfolgen und am Ende einfach addiert werden.
Alles in JMP erstellen
Wenn Sie die Berechnungen durchgearbeitet haben, herzlich willkommen zurück!
Die gute Nachricht ist, wie ich bereits mehrfach erwähnt habe, dass alle für die Entscheidungsfindung einer Studie benötigten Zahlen in den JMP-Mixed-Model-Berichten verfügbar sind. Man muss sie nur herausziehen, einsetzen und prüfen, wo die Entscheidungslinie die relevante Spezifikationsgrenze überschreitet. Das könnte man auch handschriftlich erledigen, aber wie ich bereits eingangs erwähnte, gibt es mittlerweile ein Add-In dafür. Sie finden es hier: Analyse der Haltbarkeit/Stabilität von Zufallschargen . Ich habe den Code unverschlüsselt gelassen, damit Sie ihn sich ansehen und sehen können, was ich dort mache.
