克里斯蒂安·里特 ，Ritter and Danielson Consulting 執行董事
抽象的
具有多個輸入和輸出變數的非平凡模型很難視覺化，關於統計意義和科學意義的交流並不明顯。這裡我們研究從單一反應顯示（其中顯示多個X變數對單一Y變數的影響）到兩類雙重反應圖（骨架和飛毯）的轉變，然後探索如何整合模型的不確定性。
關鍵字
響應曲面，多元分析。
啟發性案例：聚氨酯泡沫
讓我們從一個實際的例子開始。用於製造床墊的聚氨酯泡棉是簡單化學反應的結果。在這個化學反應中，一種稱為多元醇的通用醇與異氰酸酯反應，形成彈性聚合物。同時，水也與異氰酸酯發生反應，生成尿素和二氧化碳。尿素分散在聚合物中並使其變硬，而二氧化碳則形成氣泡，這些氣泡有時會相互破裂，形成透氣泡沫。定義產品特性的參數包括硬度、密度、拉伸強度和斷裂伸長率。前兩個參數與泡棉的一般硬度和價格等級有關，第二個參數與其彈性特性有關。
雖然化學反應相當簡單，但仍有相當多的變數決定泡沫的特性。有異氰酸酯的量。通常會選擇稍微過量一點的量以確保反應完全。過量的異氰酸酯溶解到尿素域。此外，當量過量的異氰酸酯時，水與多元醇的量將產生更多的氣體，從而產生更多更大的氣泡，因此泡沫的密度更低。同時，剩下的聚合物會變得更硬，因為它含有更多的尿素。同時，密度較低的泡沫支撐泡沫的材料較少，並且通常較軟。
其它因素決定了產品的特性。可以添加額外的固體來使泡沫變硬，輔助氣體生成材料可以進一步降低密度，可能需要阻燃劑來通過安全規定，氣壓和濕度會影響結果。這意味著輸入變數和反應的數量以及關係的複雜性足夠高，這使得分析關係變得相當棘手。
下圖試圖顯示三個最重要的變數如何影響結果：
圖 1. R. Schiffauer [1] 提出的模型的 IFD 硬度單響應圖。
這是一個具有多個輸入變數的單響應圖。請注意，可以看到每個變數之間的關係及其相對大小，也可以對它們進行比較。然而，並未出現清晰的總結圖景。也很難想像如何整合更多的輸入變數以及如何展示交互效應。最後，由於我們希望了解輸入如何影響多個回應，因此必須同時研究其中的幾個圖表。
我們中的許多人都能回憶起花費數小時向我們與之合作並為他們建立這些模型的科學家解釋這些圖表。
骷髏
第一個替代方案是兩個反應的骨架圖，如下例所示（圖 2）。這裡，首先尋找 X 變數之間的層次結構。作為主幹，選擇對兩個反應具有最強聯合效應的變數。在範例中，這是水含量。然後將其他變數的影響嫁接到主幹。與主鏈變數沒有或幾乎沒有交互作用的變數被嫁接一次，與主鏈變數有交互作用的變數被嫁接兩次。可以將更高階的相互作用添加為在第二層級嫁接的「骨骼」（這裡未顯示）。
結果，我們以科學家可以解釋的方式展示了一個非常複雜的情況。在這個例子中，主幹是完全合乎邏輯的：隨著水位的升高，泡沫變得越來越不密集（氣體增加）而且越來越軟（物質越來越少）。然而，水越多也意味著聚合物越硬。較高的異氰酸酯過量（指數）或額外的固體會增加硬度，但對密度幾乎沒有影響，並且它們對用少量水（尿素）製成的高密度泡沫的影響與對尿素含量高的低密度泡沫的影響略有不同。輔助發泡劑（這裡是 MeCl）和氣壓的作用方式既合乎邏輯又相反......我們看到，主要關係雖然複雜，但可以很容易地解釋，而且比通過一對單一響應圖更容易、更清晰。
圖 2.基於 R. Schiffauer [1] 發表的模型的 IFD 硬度和密度的骨架圖。
下面一對圖表顯示了兩個骨架圖的視圖，可以同時探索四個響應。這個顯示同時顯示了該方法的強度並確定了一個困難：一個骨架圖的主幹可能並不適用於另一個骨架圖，因為它是為不同的反應對而製作的。仍需要設計開發自動選擇該變數的方法。
圖 3. 相同輸入變數的一對骨架圖。
從骷髏到飛毯
骨架有助於描繪輸入輸出關係、它們的大小及其交互作用。它們沒有顯示出可以達到的屬性範圍（在模型成立的條件下）。骷髏缺少肉。充實骨架意味著我們必須將骨骼的尺寸增加到至少 2，這樣我們才能得到飛毯。這種顯示的一個挑戰是以視覺上非侵入的方式識別錨點。
圖 4a 和 b。透過異氰酸酯指數的影響來充實表示水效應的主幹。
當有三個輸入變數時，我們該如何處理？有兩種可能性：我們可以從二維物體（流形）轉變為三維物體，或者我們可以重複二維物體。也就是說，我們可以去看飛行香腸的展示，或是去看多重飛毯。第一種方法是基於視覺錯覺：透過顯示視覺註釋的二維形狀來表示三維物體。這很難做到，也很難看到。第二種方法使得在構造和觀看層面的展示更加容易。
圖 5.飛毯的排列。
事情就這樣結束了。這裡我們展示了兩個響應和四個輸入變數來描繪所選配方範圍可以涵蓋的密度和硬度的特性範圍。與流形排列（飛毯）相比，骨架圖可以容納更多的變數。在範例中，我們有六個輸入變數和兩個回應。這兩種類型的顯示從以下意義上來說是最佳的：透過以更容易理解的方式顯示更多的變數和更多的關係，它們比單一回應顯示有了很大的改進。另一方面，不可能在單一顯示器中顯示三個響應，因為這需要使用深度錯覺。基於同樣的原因，顯示物件中可使用的尺寸數量不能超過兩個。
超出兩個響應需要展示二維投影的排列或圖形的動畫。
山脊體操
到目前為止，我們已經在已知模型的情況下介紹並討論了骨架圖。在實踐中，模型必須根據數據構建，並且其參數具有不確定性。如何整合有關模型和數據的不確定性？
為此，我們將重新審視 Box 和 Liu [2] 報告的一個複雜範例。它涉及設計紙直升機過程中優化階段收集的數據，紙直升機從長凳上掉下來時就能飛行，而且飛行變化性較低。有兩個反應，以厘秒為單位的飛行時間以 Y 表示，以及變異度量 100*log10(stdev(Y))，用 LS 表示。輸入變數有四個，翼面積（A）、翼長/寬比（Q）、機身長度（L）、機身寬度（W）。實驗設計是針對這四個因素的封閉中心複合設計。
下面這組雙重響應顯示（飛毯和骷髏的混合）展示了一種顯示原始數據和主要模式的方式。左上角的圖表顯示了對具有最大整體線性效應的兩個變數即體長（L）和翼長/寬比（Q）所做的切片。我們發現，機翼長寬比高的直升機傾向於飛行時間更長，但代價是可變性更強。對於身體長度，越短越好（請注意，「長」或「短」是關於所選的實驗範圍的。當我們將線性擬合與完整模型的擬合（包括交互作用和二次項）混合時，我們會看到，當僅顯示完整模型時，切片會分離並變得非常不規則。完整模型過度擬合，合理的擬合可能介於兩者之間。
圖 6. 原始資料和模型。左上：僅線性效應，翼長和體長的切片。右上：0.8 部分線性模型和 0.2 部分完整模型的混合。左下：線性和完整模型的均勻混合，右下：完整模型。
參考書目
[1] Reinhart Schiffauer（1994），軟質聚氨酯泡沫的數學表現預測模型，第 35屆聚氨酯技術/行銷年會論文集，225-238。
[2] GEP Box 和 P. Liu。統計學作為科學方法學習的催化劑第一部分—一個例子。品質技術雜誌,31(1):1-15,1999。
