Christian Ritter , Director Ejecutivo, Ritter and Danielson Consulting
Abstracto
Los modelos no triviales con múltiples variables de entrada y salida son difíciles de visualizar, y la comunicación sobre la significancia estadística y el significado científico dista mucho de ser obvia. Aquí estudiamos la transición de representaciones de respuesta única, donde se muestran los efectos de múltiples variables X para una sola variable Y, hacia dos tipos de gráficos de respuesta dual: esqueletos y alfombras voladoras, y luego exploramos cómo se puede integrar la incertidumbre del modelo .
Palabras clave
Superficies de respuesta, análisis multivariado.
Ejemplo motivador: espumas de poliuretano
Comencemos con un ejemplo práctico. Las espumas de poliuretano utilizadas para fabricar colchones son el resultado de una reacción química simple. En esta reacción, un alcohol generalizado llamado poliol reacciona con isocianato para formar un polímero elástico. Simultáneamente, el agua también reacciona con isocianato y forma urea y CO₂. La urea se dispersa en el polímero y lo endurece, mientras que el CO₂ forma burbujas que, en algún momento, se rompen para formar una espuma transpirable. Los parámetros que definen las características del producto incluyen dureza, densidad, resistencia a la tracción y elongación a la rotura. Los dos primeros parámetros están relacionados con la dureza general y el precio de la espuma, mientras que el segundo con sus propiedades elásticas.
Aunque la química es bastante simple, existen numerosas variables que determinan las características de la espuma. Por ejemplo, la cantidad de isocianato se elige comúnmente en un ligero exceso para asegurar una reacción completa. El exceso de isocianato se disuelve en los dominios de urea. Además, la cantidad de agua con respecto al poliol, en un exceso equivalente de isocianato, generará más gas, lo que produce más burbujas y de mayor tamaño, y por lo tanto, una espuma de menor densidad. Al mismo tiempo, el polímero restante será más duro debido a su mayor contenido de urea. Asimismo, las espumas menos densas tienen menos material para sostenerse y, en general, son más blandas.
Otros factores determinan las características del producto. Se pueden añadir sólidos adicionales para endurecer la espuma, los materiales auxiliares generadores de gas pueden reducir aún más la densidad, podrían necesitarse retardantes de llama para cumplir con las normas de seguridad, y la presión y la humedad del aire afectan el resultado. Esto significa que el número de variables de entrada y respuestas, así como la complejidad de la relación, es lo suficientemente alto como para dificultar su análisis.
El siguiente gráfico es un intento de mostrar cómo las tres variables más importantes afectan el resultado:
Figura 1. Gráfico de respuesta única para la dureza IFD de los modelos presentados por R. Schiffauer [1].
Este es un gráfico de respuesta única con múltiples variables de entrada. Cabe destacar que se pueden observar las relaciones y sus tamaños relativos para cada variable, y también se pueden comparar. Sin embargo, no se presenta una visión general clara. Resulta difícil imaginar cómo integrar más variables de entrada y cómo mostrar los efectos de interacción. Finalmente, dado que deseamos comprender cómo las variables de entrada afectan múltiples respuestas, varios de estos gráficos deben estudiarse simultáneamente.
Muchos de nosotros podemos recordar horas pasadas explicando estos conjuntos de gráficos a los científicos con quienes nosotros, los estadísticos, colaboramos y para quienes hemos construido estos modelos.
Esqueletos
Una primera alternativa es el diagrama de esqueleto para dos respuestas, como se muestra en el ejemplo a continuación (Figura 2). En este caso, primero se busca una jerarquía entre las variables X. Como eje central, se selecciona la variable que tenga el mayor efecto conjunto en ambas respuestas. En el ejemplo, se trata del contenido de agua. A continuación, se incorporan los efectos de otras variables al eje central. Las variables que muestran poca o ninguna interacción con la variable principal se incorporan una vez, y las que interactúan con ella se incorporan dos veces. Las interacciones de orden superior pueden añadirse como "ejes" injertados en un segundo nivel (esto no se muestra aquí).
Como resultado, obtenemos una representación de una situación muy compleja de una manera que sigue siendo interpretable para los científicos. En el ejemplo, la estructura es perfectamente lógica: a medida que aumenta el nivel de agua, la espuma se vuelve menos densa (más gas) y más blanda (menos sustancia). Sin embargo, más agua también significa un polímero más duro. Un mayor exceso de isocianato (índice) o sólidos adicionales, aumentan la dureza con poco o ningún efecto en la densidad y sus efectos son un poco diferentes en espumas de alta densidad hechas con poca agua (urea) que en espumas de baja densidad con un alto contenido de urea. Los agentes de expansión auxiliares (aquí MeCl) y la presión del aire actúan de manera lógica y opuesta... Vemos que las relaciones principales, aunque complejas, se pueden explicar fácilmente y de una manera mucho más fácil y clara que mediante un par de gráficos de respuesta simple.
Figura 2. Gráfico de esqueleto de dureza y densidad IFD basado en los modelos publicados por R. Schiffauer [1].
El siguiente par de gráficos muestra una vista de dos diagramas de esqueleto que permiten explorar las cuatro respuestas simultáneamente. Esta visualización muestra simultáneamente la solidez del método e identifica una dificultad: la estructura de un diagrama de esqueleto puede no ser ideal para otro, creado para un par de respuestas diferente. Aún es necesario diseñar métodos para seleccionar esta variable automáticamente.
Figura 3. Un par de gráficos de esqueleto para las mismas variables de entrada.
De esqueletos a alfombras voladoras
Los esqueletos ayudan a visualizar las relaciones de entrada y salida, sus tamaños e interacciones. No muestran el rango de propiedades que se pueden obtener (siempre que el modelo se cumpla). Un esqueleto carece de carne. Darle cuerpo a los esqueletos implica aumentar la dimensión de los huesos a al menos 2, lo que nos lleva a las alfombras voladoras. Un reto para esta visualización es identificar un punto de anclaje de forma visualmente discreta.
Figuras 4a y b. Desarrollo de la estructura que representa el efecto del agua mediante el efecto del índice de isocianato.
Y cuando hay tres variables de entrada, ¿cómo deberíamos proceder? Hay dos posibilidades: podríamos pasar de un objeto bidimensional (variedad) a uno tridimensional, o podríamos repetir objetos bidimensionales. Es decir, podríamos pasar a exhibiciones de salchichas voladoras o a múltiples alfombras voladoras. El primer enfoque se basa en una ilusión óptica: representar un objeto tridimensional mostrando una forma bidimensional anotada visualmente. Esto es muy difícil de hacer y también de visualizar. El segundo enfoque facilita las exhibiciones a nivel de construcción y visualización.
Figura 5. Disposición de las alfombras voladoras.
Y aquí termina todo. Aquí mostramos dos respuestas y cuatro variables de entrada para representar el rango de propiedades en densidad y dureza que puede cubrir el rango de formulación seleccionado. Los gráficos de esqueleto pueden acomodar algunas variables más que las configuraciones de variedades (alfombras voladoras). En el ejemplo, tenemos seis variables de entrada y dos respuestas. Estos dos tipos de visualización son óptimos en el siguiente sentido: mejoran considerablemente las visualizaciones de respuesta única al mostrar más variables y más relaciones de una manera más fácil de entender. Por otro lado, no es posible mostrar tres respuestas en una sola visualización, ya que esto requiere el uso de la ilusión de profundidad. Por la misma razón, el número de dimensiones que se pueden usar en el objeto de visualización no puede exceder dos.
Ir más allá de dos respuestas requiere mostrar arreglos de proyecciones bidimensionales o animación de los gráficos.
Gimnasia Ridge
Hasta ahora, hemos presentado y analizado los grafos esqueléticos en el caso de un modelo conocido. En la práctica, los modelos deben construirse a partir de datos y sus parámetros están sujetos a incertidumbre. ¿Cómo se puede integrar la incertidumbre con respecto al modelo y a los datos?
Para este propósito, revisaremos un ejemplo complejo reportado por Box y Liu [2]. Se trata de datos recopilados durante la etapa de optimización del diseño de helicópteros de papel que vuelan al ser lanzados desde un banco y cuya variabilidad de vuelo es baja. Existen dos respuestas: el tiempo de vuelo en centésimas de segundo (Y) y una medida de variabilidad, 100*log10(desv. estándar(Y)), denotada por LS. Hay cuatro variables de entrada: área del ala (A), relación longitud/anchura del ala (Q), longitud del cuerpo (L) y anchura del cuerpo (W). El diseño experimental fue un compuesto central bloqueado en estos cuatro factores.
El siguiente conjunto de visualización de respuesta dual (una combinación de alfombras voladoras y esqueletos) muestra una forma de mostrar datos brutos y patrones principales. El gráfico superior izquierdo muestra cortes realizados para las dos variables con los mayores efectos lineales generales: longitud del cuerpo (L) y relación longitud/anchura del ala (Q). Observamos una tendencia a que los helicópteros con mayor relación longitud/anchura del ala vuelen durante más tiempo, a costa de la variabilidad. Para la longitud del cuerpo, una longitud más corta parece mejor (nótese que "larga" o "corta" se refieren a los rangos experimentales seleccionados). Al combinar los ajustes lineales con los ajustes de un modelo completo (incluyendo interacciones y términos cuadráticos), observamos que los cortes se separan y se vuelven bastante irregulares cuando solo se muestra el modelo completo. El modelo completo se sobreajusta, y un ajuste razonable probablemente se encuentre en un punto intermedio.
Figura 6. Datos y modelos sin procesar. Arriba a la izquierda: solo efectos lineales, cortes en longitud de ala y cuerpo. Arriba a la derecha: mezcla de 0,8 partes de modelo lineal y 0,2 partes de modelo completo. Abajo a la izquierda: mezcla uniforme de modelo lineal y completo; abajo a la derecha: modelo completo.
Bibliografía
[1] Reinhart Schiffauer (1994), Modelos de predicción de propiedades matemáticas para espumas de poliuretano flexibles, Actas de la 35.ª Conferencia técnica y de marketing anual sobre poliuretano, 225-238.
[2] GEP Box y P. Liu. La estadística como catalizador del aprendizaje mediante el método científico, Parte I: Un ejemplo. Revista de tecnología de calidad , 31(1):1-15, 1999.
