克里斯蒂安·里特 ，Ritter and Danielson Consulting 执行董事
抽象的
具有多个输入和输出变量的非平凡模型很难可视化，而且关于统计意义和科学意义的交流也远非显而易见。在这里，我们正在研究从单一响应显示（其中显示多个 X 变量对单个 Y 变量的影响）向两类双重响应图（骨架和飞毯）的转变，然后探索如何整合模型的不确定性。
关键词
响应曲面，多元分析。
启发性案例：聚氨酯泡沫
让我们先从实际例子开始。用于制造床垫的聚氨酯泡沫是简单化学反应的结果。在这种化学反应中，一种称为多元醇的通用醇与异氰酸酯发生反应，形成弹性聚合物。同时，水也与异氰酸酯发生反应，形成尿素和二氧化碳。尿素分散在聚合物中并使其变硬，而二氧化碳形成气泡，这些气泡有时会相互破裂，形成透气泡沫。定义产品特性的参数包括硬度、密度、拉伸强度和断裂伸长率。前两个参数与泡沫的一般硬度和价格等级有关，第二个参数与其弹性有关。
虽然化学反应相当简单，但仍有相当多的变量决定着泡沫的特性。首先是异氰酸酯的数量。通常选择略微过量的异氰酸酯以确保充分反应。过量的异氰酸酯会溶解到尿素域中。此外，当异氰酸酯过量时，水与多元醇的量会产生更多气体，从而产生更多更大的气泡，因此泡沫密度较低。同时，剩余的聚合物会更硬，因为它含有更多的尿素。同时，密度较低的泡沫支撑泡沫的材料较少，通常较软。
其他因素决定了产品的特性。可以添加额外的固体来使泡沫变硬，辅助气体生成材料可以进一步降低密度，可能需要阻燃剂才能通过安全法规，气压和湿度会影响结果。这意味着输入变量和响应的数量以及关系的复杂性足够高，使得分析关系变得相当棘手。
下图试图展示三个最重要的变量如何影响结果：
图 1. R. Schiffauer [1] 提出的模型的 IFD 硬度单响应图。
这是具有多个输入变量的单响应图。请注意，可以看到每个变量的关系及其相对大小，也可以进行比较。但是，没有出现清晰的总结图。也很难想象如何整合更多输入变量以及如何显示交互效应。最后，由于我们希望了解输入如何影响多个响应，因此必须同时研究其中几个图表。
我们中的许多人都能回忆起花费数小时向我们与之合作并为他们构建这些模型的科学家解释这些图表。
骷髅
第一种替代方案是两个响应的骨架图，如下例所示（图 2）。在这里，首先在 X 变量中寻找层次结构。作为主干，选择对两个响应具有最强联合效应的变量。在本例中，这是水含量。然后将其他变量的影响嫁接到主干上。与主干变量几乎没有或没有相互作用的变量嫁接一次，与主干变量相互作用的变量嫁接两次。高阶相互作用可以作为嫁接到第二级的“骨架”添加（此处未显示）。
结果，我们以科学家可以解释的方式展示了一种非常复杂的情况。在这个例子中，主干是完全合乎逻辑的：随着水位的增加，泡沫变得不那么致密（气体增多）和更软（物质减少）。然而，更多的水也意味着聚合物更硬。更高的异氰酸酯过量（指数）或额外的固体会增加硬度，而对密度几乎没有影响，并且它们对用少量水（尿素）制成的高密度泡沫的影响与对尿素含量高的低密度泡沫的影响略有不同。辅助发泡剂（这里是 MeCl）和气压以合乎逻辑和相反的方式起作用......我们看到，主要关系虽然复杂，但可以很容易地解释，而且比通过一对单一响应图更容易、更清晰。
图 2.基于 R. Schiffauer [1] 发表的模型的 IFD 硬度和密度的骨架图。
以下两幅图显示了两个骨架图的视图，允许同时探索四个响应。此显示同时显示了该方法的强度并确定了一个难点：一个骨架图的主干可能不适用于另一个骨架图，后者针对不同的响应对而制作。仍然需要设计开发用于自动选择此变量的方法。
图 3. 相同输入变量的一对骨架图。
从骷髅到飞毯
骨架有助于描绘输入输出关系、它们的大小以及它们的相互作用。它们不显示可以获得的一系列属性（在模型成立的条件下）。骨架缺乏肉体。充实骨架意味着我们必须将骨骼的尺寸增加到至少 2，这让我们拥有了飞毯。这种显示的挑战是以视觉上非侵入的方式识别锚点。
图 4a 和 b. 通过异氰酸酯指数的影响来充实表示水效应的主干。
当有三个输入变量时，我们该怎么做呢？有两种可能：我们可以从二维物体（流形）变成三维物体，或者重复二维物体。也就是说，我们可以展示飞行香肠或多张飞毯。第一种方法基于视觉错觉：通过显示视觉注释的二维形状来表示三维物体。这很难做到，也很难看到。第二种方法可以使构造和观看层面的展示更容易。
图 5.飞毯的排列。
这就是结束的地方。在这里，我们展示了两个响应和四个输入变量，以描绘所选配方范围可以覆盖的密度和硬度的属性范围。骨架图可以容纳比流形排列（飞毯）更多的变量。在示例中，我们有六个输入变量和两个响应。这两种类型的显示在以下意义上是最佳的：它们通过以更容易理解的方式显示更多变量和更多关系，大大优于单一响应显示。另一方面，不可能在单个显示中显示三个响应，因为这需要使用深度错觉。出于同样的原因，显示对象中可以使用的维度数不能超过两个。
超出两个响应需要展示二维投影的排列或图形的动画。
山脊体操
到目前为止，我们已经在已知模型的情况下介绍并讨论了骨架图。在实践中，模型必须从数据中构建，并且其参数存在不确定性。如何整合模型和数据的不确定性？
为此，我们将重新回顾 Box 和 Liu [2] 报告的一个复杂示例。它涉及在设计纸直升机过程中优化阶段收集的数据，这些直升机从工作台上掉下来时会飞起来，并且飞行变化性很低。有两个响应，飞行时间（以厘秒为单位）用 Y 表示，变化性度量 100*log10(stdev(Y))，用 LS 表示。有四个输入变量，翼面积 (A)、翼长/宽比 (Q)、机身长度 (L) 和机身宽度 (W)。实验设计是这四个因素的区组中心复合设计。
以下一组双重响应显示（飞毯和骨骼的混合）展示了一种显示原始数据和主要模式的方法。左上角的图表显示了对具有最大整体线性效应的两个变量（机身长度 (L) 和机翼长宽比 (Q)）所做的切片。我们发现，机翼长宽比较高的直升机倾向于以牺牲可变性为代价飞行更长的时间。对于机身长度，较短似乎更好（请注意，“长”或“短”是相对于所选的实验范围而言的。当我们将线性拟合与完整模型的拟合（包括交互作用和二次项）混合时，我们发现当仅显示完整模型时，切片会分离并且变得非常不规则。完整模型过度拟合，合理的拟合可能介于两者之间。
图 6. 原始数据和模型。左上：仅线性效应，翼长和机身长度切片。右上：0.8 部分线性和 0.2 部分完整模型的混合。左下：线性和完整模型的均匀混合，右下：完整模型。
参考书目
[1] Reinhart Schiffauer（1994），软质聚氨酯泡沫的数学性能预测模型，第 35届聚氨酯技术/营销年会论文集，225-238。
[2] GEP Box 和 P. Liu. 统计学作为科学方法学习的催化剂第一部分——一个例子.质量技术杂志, 31(1):1-15, 1999.
