크리스찬 리터 , Ritter and Danielson Consulting의 전무이사
추상적인
여러 입력 및 출력 변수가 있는 비사소한 모델은 시각화하기 어렵고 통계적 유의성과 과학적 의미에 대한 의사소통은 전혀 명확하지 않습니다. 여기서는 여러 X 변수의 효과가 단일 Y 변수에 대해 표시되는 단일 응답 표시에서 골격과 날아다니는 카펫의 두 가지 클래스의 이중 응답 그래프로의 전환을 연구한 다음 모델의 불확실성을 통합할 수 있는 방법을 탐구합니다 .
키워드
반응 표면, 다변량 분석.
동기를 부여하는 예: 폴리우레탄 폼
실제적인 예를 들어보겠습니다. 매트리스를 만드는 데 사용되는 폴리우레탄 폼은 간단한 화학 반응의 결과입니다. 이 화학 반응에서 폴리올이라는 일반화된 알코올이 이소시아네이트와 반응하여 탄성 폴리머를 형성합니다. 동시에 물도 이소시아네이트와 반응하여 요소와 CO2를 형성합니다. 요소는 폴리머에 분산되어 굳어지고 CO2는 거품을 형성하여 어느 때 서로 터져 통기성 폼을 형성합니다. 제품의 특성을 정의하는 매개변수에는 경도, 밀도, 인장 강도 및 파단 신율이 포함됩니다. 처음 두 매개변수는 폼의 일반적인 경도 및 가격 등급과 관련이 있고 두 번째 쌍은 탄성 특성과 관련이 있습니다.
화학은 매우 간단하지만, 그럼에도 불구하고 거품 특성을 결정하는 상당한 수의 변수가 있습니다. 이소시아네이트의 양이 있습니다. 일반적으로 완전한 반응을 보장하기 위해 약간 과량으로 선택합니다. 그런 다음 과량의 이소시아네이트가 요소 도메인에 용해됩니다. 또한, 동등한 과량의 이소시아네이트에서 폴리올에 대한 물의 양은 더 많은 가스를 생성하여 더 많고 큰 거품을 만들고 따라서 밀도가 낮은 거품을 만듭니다. 동시에, 더 많은 요소를 함유하고 있기 때문에 나머지 폴리머는 더 단단해집니다. 동시에 밀도가 낮은 거품은 거품을 지탱할 재료가 적고 일반적으로 더 부드럽습니다.
추가 요인은 제품의 특성을 결정합니다. 폼을 굳히기 위해 추가 고체를 추가할 수 있고, 보조 가스 생성 재료를 사용하면 밀도를 더욱 낮출 수 있으며, 안전 규정을 통과하려면 난연제가 필요할 수 있으며, 기압과 습도가 결과에 영향을 미칩니다. 즉, 입력 변수와 응답의 수와 관계의 복잡성이 충분히 높아서 관계 분석을 매우 까다롭게 만들 수 있습니다.
다음 그래프는 세 가지 가장 중요한 변수가 결과에 어떤 영향을 미치는지 보여주기 위한 시도입니다.
그림 1. R. Schiffauer [1]가 제시한 모델의 IFD 경도에 대한 단일 응답 그래프.
이것은 여러 입력 변수가 있는 단일 응답 그래프입니다. 각 변수에 대한 관계와 상대적 크기를 볼 수 있으며, 이를 비교할 수도 있습니다. 그러나 명확한 요약 그림은 나타나지 않습니다. 더 많은 입력 변수를 통합하는 방법과 상호 작용 효과를 보여주는 방법을 상상하는 것도 어렵습니다. 마지막으로, 입력이 여러 응답에 어떤 영향을 미치는지 이해하고 싶기 때문에 이러한 그래프 중 여러 개를 동시에 연구해야 합니다.
우리 중 많은 사람은 통계학자들이 협력하고 이 모델을 구축한 과학자들에게 이런 그래프 집합을 설명하는 데 많은 시간을 보냈던 걸 기억할 수 있을 겁니다.
해골
첫 번째 대안은 아래 예(그림 2)에 표시된 것처럼 두 가지 반응에 대한 스켈레톤 플롯입니다. 여기서 먼저 X 변수 간의 계층을 찾습니다. 백본으로 두 반응에 가장 강한 조인트 효과가 있는 변수를 선택합니다. 이 예에서 이는 수분 함량입니다. 그런 다음 다른 변수의 효과가 백본에 접목됩니다. 백본 변수와 거의 또는 전혀 상호 작용을 보이지 않는 변수는 한 번 접목되고 백본 변수와 상호 작용하는 변수는 두 번 접목됩니다. 더 높은 순서의 상호 작용은 두 번째 수준에서 접목된 '본'으로 추가할 수 있습니다(여기서는 표시되지 않음).
결과적으로 과학자들이 해석할 수 있는 방식으로 매우 복잡한 상황을 보여줍니다. 이 예에서 백본은 완벽하게 논리적입니다. 수위가 증가함에 따라 거품은 덜 밀도가 높아지고(더 많은 가스) 더 부드러워집니다(더 적은 물질). 그러나 더 많은 물은 더 단단한 폴리머를 의미합니다. 더 높은 이소시아네이트 과잉(지수) 또는 추가 고형물은 밀도에 거의 또는 전혀 영향을 미치지 않으면서 경도를 증가시키고 그 효과는 물(요소)이 적은 고밀도 거품과 요소 함량이 높은 저밀도 거품에서 약간 다릅니다. 보조 발포제(여기서는 MeCl)와 공기 압력은 논리적이고 반대 방식으로 작용합니다... 우리는 주요 관계를 알 수 있지만 복잡하지만 쉽게 설명할 수 있으며 한 쌍의 단일 응답 그래프를 통한 것보다 훨씬 쉽고 명확한 방식으로 설명할 수 있습니다.
그림 2. R. Schiffauer [1]가 발표한 모델을 기반으로 한 IFD 경도 및 밀도의 골격 그래프.
다음 그래프 쌍은 네 가지 응답을 동시에 탐색할 수 있는 두 개의 스켈레톤 플롯을 보여줍니다. 이 디스플레이는 동시에 방법의 강점을 보여주고 한 가지 어려움을 식별합니다. 한 스켈레톤 그래프의 백본은 다른 쌍의 응답을 위해 만들어졌기 때문에 다른 그래프에는 이상적이지 않을 수 있습니다. 이 변수를 자동으로 선택하는 방법을 개발하려면 여전히 설계가 필요합니다.
그림 3. 동일한 입력 변수에 대한 한 쌍의 골격 플롯.
해골에서 날아다니는 카펫까지
뼈대는 입력 출력 관계, 크기 및 상호 작용을 그림으로 표현하는 데 도움이 됩니다. 뼈대는 (모델이 유지된다는 조건 하에서) 얻을 수 있는 속성 범위를 표시하지 않습니다. 뼈대는 살이 없습니다. 뼈대를 살찌우려면 뼈의 차원을 최소 2로 늘려야 하며, 그러면 날아다니는 카펫을 얻을 수 있습니다. 이 표시의 과제는 시각적으로 방해가 되지 않는 방식으로 앵커 포인트를 식별하는 것입니다.
그림 4a 및 b. 이소시아네이트 지수의 효과로 물 효과를 나타내는 골격을 구체화합니다.
그리고 입력 변수가 3개일 때 어떻게 진행해야 할까요? 두 가지 가능성이 있습니다. 2차원 객체(다양체)에서 3차원 객체로 이동하거나 2차원 객체를 반복할 수 있습니다. 즉, 날아다니는 소시지나 날아다니는 카펫을 여러 개 볼 수 있습니다. 첫 번째 접근 방식은 시각적 환상에 기반합니다. 시각적으로 주석이 달린 2차원 모양을 보여줌으로써 3차원 객체를 표현합니다. 이는 매우 어렵고 보기도 어렵습니다. 두 번째 접근 방식은 구성 및 보기 수준에서 더 쉽게 표시할 수 있습니다.
그림 5. 날아다니는 카펫의 배열.
그리고 여기서 끝납니다. 여기서 우리는 두 개의 응답과 네 개의 입력 변수를 보여 주어 선택된 제형 범위로 다룰 수 있는 밀도와 경도의 속성 범위를 그림으로 표현합니다. 골격 플롯은 매니폴드(비행 카펫) 배열보다 몇 개 더 많은 변수를 수용할 수 있습니다. 이 예에서 우리는 여섯 개의 입력 변수와 두 개의 응답을 가지고 있습니다. 이 두 가지 유형의 디스플레이는 다음과 같은 의미에서 최적입니다. 이들은 더 많은 변수와 더 많은 관계를 이해하기 쉬운 방식으로 보여줌으로써 단일 응답 디스플레이보다 크게 개선됩니다. 반면에 깊이의 환상을 사용해야 하기 때문에 단일 디스플레이에 세 개의 응답을 표시하는 것은 불가능합니다. 같은 이유로 디스플레이 객체에서 사용할 수 있는 차원 수는 두 개를 초과할 수 없습니다.
두 가지 응답을 넘어서려면 2차원 투영의 배열이나 그래프 애니메이션을 보여줘야 합니다.
리지 체조
지금까지 우리는 알려진 모델의 경우 스켈레톤 그래프를 소개하고 논의했습니다. 실제로 모델은 데이터로부터 구성되어야 하며, 매개변수는 불확실성의 영향을 받습니다. 모델과 데이터에 대한 불확실성을 어떻게 통합할 수 있을까요?
이러한 목적을 위해 Box와 Liu [2]가 보고한 복잡한 예를 다시 살펴보겠습니다. 벤치에서 떨어뜨리면 날아가고 비행 변동성이 낮은 종이 헬리콥터를 설계하는 과정에서 최적화 단계에서 수집된 데이터와 관련이 있습니다. Y로 표시되는 센티초 단위의 비행 시간과 LS로 표시되는 변동성 측정값 100*log10(stdev(Y))의 두 가지 반응이 있습니다. 날개 면적(A), 날개 길이/폭 비율(Q), 본체 길이(L), 본체 폭(W)의 네 가지 입력 변수가 있습니다. 실험 설계는 이 네 가지 요인에서 차단된 중앙 합성이었습니다.
다음의 이중 반응 디스플레이 세트(날아다니는 카펫과 스켈레톤의 혼합)는 원시 데이터와 주요 패턴을 표시하는 방법을 보여줍니다. 왼쪽 위 그래프는 가장 큰 전체 선형 효과를 갖는 두 변수, 즉 본체 길이(L)와 날개 길이/폭 비율(Q)에 대해 만든 슬라이스를 보여줍니다. 날개 길이/폭 비율이 높은 헬리콥터는 변동성을 희생하고 더 오래 비행하는 경향이 있습니다. 본체 길이의 경우 더 짧은 것이 더 나은 듯합니다('길다' 또는 '짧다'는 선택한 실험 범위와 관련이 있습니다). 선형 적합을 전체 모델(상호 작용 및 이차 항 포함)의 적합과 혼합하면 전체 모델만 표시될 때 슬라이스가 분리되고 매우 불규칙해지는 것을 볼 수 있습니다. 전체 모델은 과대 적합되고 적절한 적합은 아마도 중간 어딘가에 있을 것입니다.
그림 6. 원시 데이터와 모델. 왼쪽 위: 선형 효과만, 날개와 몸 길이의 슬라이스. 오른쪽 위: 0.8부분 선형과 0.2부분 전체 모델의 혼합. 왼쪽 아래: 선형과 전체 모델의 균일한 혼합, 오른쪽 아래: 전체 모델.
서지
[1] Reinhart Schiffauer(1994), 유연 폴리우레탄 폼에 대한 수학적 속성 예측 모델, 제35 회 폴리우레탄 기술/마케팅 연례 컨퍼런스 회의록, 225-238.
[2] GEP Box 및 P. Liu. 과학적 방법에 의한 학습을 위한 촉매로서의 통계 1부 - 예. 품질 기술 저널 , 31(1):1-15, 1999.
