クリスチャン・リッター、リッター・アンド・ダニエルソン・コンサルティング エグゼクティブ・ディレクター
抽象的な
複数の入力変数と出力変数を持つ非自明なモデルは視覚化が難しく、統計的有意性や科学的意味についてのコミュニケーションは明らかではありません。ここでは、複数の X 変数の効果が単一の Y 変数に対して表示される単一応答表示から、スケルトンと空飛ぶ絨毯の 2 つのクラスの二重応答グラフへの移行を研究し、モデルの不確実性をどのように統合できるかを探ります。
キーワード
応答曲面、多変量解析。
動機付けの例: ポリウレタンフォーム
実際の例から始めましょう。マットレスの製造に使用されるポリウレタンフォームは、単純な化学反応の結果です。この化学反応では、ポリオールと呼ばれる一般的なアルコールがイソシアネートと反応して弾性ポリマーを形成します。同時に、水もイソシアネートと反応して尿素と CO2 を形成します。尿素はポリマーに分散してポリマーを硬化させ、CO2 は泡を形成し、ある時点で互いに破裂して通気性のあるフォームを形成します。製品の特性を定義するパラメータには、硬度、密度、引張強度、破断時の伸びなどがあります。最初の 2 つのパラメータはフォームの一般的な硬度と価格クラスに関連し、2 番目のペアはフォームの弾性特性に関連しています。
化学反応は非常に単純ですが、フォームの特性を決定する変数は数多くあります。イソシアネートの量です。通常は、完全な反応を確実にするために、わずかに過剰に選択されます。過剰のイソシアネートは尿素ドメインに溶解します。さらに、ポリオールに対する水の量が同量の過剰イソシアネートの場合、より多くのガスが発生し、より多くの大きな泡が生成され、したがってフォームの密度が低下します。同時に、残りのポリマーは尿素を多く含むため、より硬くなります。同時に、密度の低いフォームはフォームを支える材料が少なく、一般的に柔らかくなります。
製品の特性は、他の要因によっても決まります。フォームを硬くするために固形物を追加したり、補助ガス発生材で密度をさらに下げたり、安全規制に合格するために難燃剤が必要になったり、気圧や湿度が結果に影響したりします。つまり、入力変数と応答の数、および関係の複雑さが非常に高いため、関係の分析が非常に難しくなります。
次のグラフは、最も重要な 3 つの変数が結果にどのように影響するかを示すものです。
図1. R. Schiffauer [1]が提示したモデルのIFD硬度の単一応答グラフ。
これは、複数の入力変数を持つ単一の応答グラフです。各変数の関係と相対的なサイズを確認でき、比較することもできます。ただし、明確な概要は表示されません。また、より多くの入力変数を統合する方法や相互作用効果を示す方法を想像することも困難です。最後に、入力が複数の応答にどのように影響するかを理解したいので、これらのグラフのいくつかを同時に研究する必要があります。
私たち統計学者が協力し、これらのモデルを構築した科学者たちに、このようなグラフのセットを何時間も説明していたことを、私たちの多くは思い出すでしょう。
スケルトン
最初の選択肢は、以下の例 (図 2) に示すように、2 つの応答のスケルトン プロットです。ここでは、まず X 変数間の階層を探します。バックボーンとして、両方の応答に最も強い共同効果を持つ変数を選択します。例では、これは水分量です。次に、他の変数の効果がバックボーンにグラフトされます。バックボーン変数との相互作用がほとんどまたはまったくない変数は 1 回グラフトされ、バックボーン変数と相互作用する変数は 2 回グラフトされます。より高次の相互作用は、2 番目のレベルでグラフトされる「ボーン」として追加できます (ここでは示されていません)。
その結果、科学者が解釈できる形で、非常に複雑な状況の表示が得られます。例では、バックボーンはとても論理的です。水位が上昇するにつれて、フォームの密度は低下し (ガスが増える)、柔らかくなります (物質が減ります)。しかし、水が増えるとポリマーは硬くなります。イソシアネート過剰 (指数) が高いほど、または固形物が増えると、密度にはほとんどまたはまったく影響せずに硬度が上がり、その影響は、水 (尿素) が少ない高密度フォームと尿素含有量の多い低密度フォームで少し異なります。補助発泡剤 (ここでは MeCl) と空気圧は論理的に逆の働きをします... 複雑ではありますが、主要な関係は簡単に説明でき、一対の単一応答グラフを使用するよりもはるかに簡単で明確な方法で説明できます。
図2. R. Schiffauer [1]が発表したモデルに基づくIFD硬度と密度のスケルトングラフ。
次のグラフのペアは、4 つの応答を同時に調査できる 2 つのスケルトン プロットのビューを示しています。この表示は、同時にこの方法の強みを示し、1 つの難しさも示しています。1 つのスケルトン グラフのバックボーンは、別の応答ペア用に作成された別のスケルトン グラフには適さない可能性があります。この変数を自動的に選択するための開発方法はまだ設計する必要があります。
図 3. 同じ入力変数に対するスケルトン プロットのペア。
骸骨から空飛ぶ絨毯まで
スケルトンは、入力と出力の関係、そのサイズ、相互作用を描写するのに役立ちます。スケルトンは、(モデルが保持する条件下で) 達成可能なプロパティの範囲を表示しません。スケルトンには肉がありません。スケルトンを肉付けするには、骨の次元を少なくとも 2 に増やす必要があり、これにより空飛ぶ絨毯が得られます。この表示の課題は、視覚的に邪魔にならない方法でアンカー ポイントを識別することです。
図 4a および b。イソシアネート指数の効果によって水の効果を表すバックボーンを肉付けします。
入力変数が 3 つある場合、どのように進めればよいでしょうか。2 つの可能性があります。2 次元オブジェクト (多様体) から 3 次元オブジェクトに移行するか、2 次元オブジェクトを繰り返すかです。つまり、空飛ぶソーセージや複数の空飛ぶカーペットを表示することになります。最初のアプローチは、視覚的に注釈が付けられた 2 次元形状を表示することで 3 次元オブジェクトを表現するという、目の錯覚に基づいています。これは非常に難しく、表示も困難です。2 番目のアプローチは、構築レベルと表示レベルでの表示を容易にします。
図5. フライングカーペットの配置。
これで終わりです。ここでは、選択した配合範囲でカバーできる密度と硬度の特性範囲を表すために、2 つの応答と 4 つの入力変数を示します。スケルトン プロットは、マニホールド (空飛ぶ絨毯) の配置よりもいくつかの変数を収容できます。例では、6 つの入力変数と 2 つの応答があります。これらの 2 種類の表示は、次の意味で最適です。より多くの変数とより多くの関係をよりわかりやすい方法で表示することで、単一の応答表示よりも大幅に改善されます。一方、奥行きの錯覚を使用する必要があるため、単一の表示で 3 つの応答を表示することはできません。同じ理由で、表示オブジェクトで使用できる次元の数は 2 を超えることはできません。
2 つの応答を超える場合は、2 次元投影の配置やグラフのアニメーションを表示する必要があります。
リッジ体操
これまで、既知のモデルの場合のスケルトン グラフを紹介し、説明してきました。実際には、モデルはデータから構築する必要があり、そのパラメーターは不確実性の影響を受けます。モデルとデータに関する不確実性をどのように統合できるでしょうか。
この目的のために、BoxとLiu [2]が報告した複雑な例を再検討します。これは、ベンチから落とすと飛行し、飛行の変動性が低い紙製ヘリコプターを設計するプロセスの最適化段階で収集されたデータに関するものです。応答は2つあり、1センチ秒単位の飛行時間（Y）と変動性の尺度100*log10(stdev(Y))（LS）です。入力変数は4つあり、翼面積（A）、翼長/翼幅比（Q）、胴体長（L）、胴体幅（W）です。実験設計は、これら4つの要因のブロック中心複合でした。
次のデュアル レスポンス表示 (空飛ぶ絨毯とスケルトンのミックス) のセットは、生データと主なパターンを表示する方法を示しています。左上のグラフは、全体的な線形効果が最も大きい 2 つの変数、つまり機体長 (L) と翼の長さ/幅の比率 (Q) について作成されたスライスを示しています。翼の長さ/幅の比率が高いヘリコプターは、変動性を犠牲にしてより長く飛行する傾向があります。機体長については、短い方が良いようです (「長い」または「短い」は、選択した実験範囲に関することに注意してください)。線形適合を完全モデル (相互作用と 2 次項を含む) の適合とブレンドすると、完全モデルのみを表示するとスライスが分離して非常に不規則になることがわかります。完全モデルは過剰適合し、妥当な適合はおそらく中間のどこかにあります。
図 6. 生データとモデル。左上: 線形効果のみ、翼と体長のスライス。右上: 線形 0.8 部と完全モデル 0.2 部の混合。左下: 線形モデルと完全モデルの均等な混合、右下: 完全モデル。
文献
[1] Reinhart Schiffauer (1994)、「軟質ポリウレタンフォームの数学的特性予測モデル」、第35回ポリウレタン技術/マーケティング会議議事録、225-238。
[2] GEP BoxとP. Liu. 科学的手法による学習の触媒としての統計学パートI - 例。品質技術ジャーナル、31(1):1-15、1999年。
