Cristiano Ritter , Direttore esecutivo, Ritter e Danielson Consulting
Astratto
I modelli non banali con più variabili di input e output sono difficili da visualizzare e la comunicazione sulla significatività statistica e sul significato scientifico è tutt'altro che ovvia. Qui stiamo studiando la transizione da visualizzazioni a risposta singola in cui vengono mostrati gli effetti di più variabili X per una singola variabile Y verso due classi di grafici a risposta doppia: scheletri e tappeti volanti e poi esploriamo come l'incertezza del modello può essere integrata .
Parole chiave
Superfici di risposta, analisi multivariata.
Esempio motivante: schiume poliuretaniche
Cominciamo con un esempio pratico. Le schiume poliuretaniche utilizzate per realizzare i materassi sono il risultato di una semplice reazione chimica. In questa reazione chimica, un alcol generalizzato chiamato poliolo, reagisce con l'isocianato per formare un polimero elastico. Allo stesso tempo, anche l'acqua reagisce con l'isocianato e forma urea e CO2. L'urea si disperde nel polimero e lo indurisce, mentre la CO2 forma bolle che a un certo punto scoppiano l'una nell'altra per formare una schiuma traspirante. I parametri che definiscono le caratteristiche del prodotto includono durezza, densità, resistenza alla trazione e allungamento a rottura. I primi due parametri sono correlati alla durezza generale e alla classe di prezzo della schiuma, la seconda coppia alle sue proprietà elastiche.
Sebbene la chimica sia piuttosto semplice, ci sono comunque un numero considerevole di variabili che determinano le caratteristiche della schiuma. C'è la quantità di isocianato. Di solito viene scelto in leggero eccesso per garantire una reazione completa. L'eccesso di isocianato si dissolve quindi nei domini dell'urea. Inoltre, la quantità di acqua rispetto al poliolo a un eccesso equivalente di isocianato creerà più gas che crea più bolle e più grandi e quindi una schiuma di densità inferiore. Allo stesso tempo, il polimero rimanente sarà più duro poiché contiene più urea. Allo stesso tempo, le schiume meno dense hanno meno materiale per sostenere la schiuma e sono in generale più morbide.
Ulteriori fattori determinano le caratteristiche del prodotto. Possono essere aggiunti solidi aggiuntivi per indurire la schiuma, materiali generatori di gas ausiliari possono ridurre ulteriormente la densità, possono essere necessari ritardanti di fiamma per superare le norme di sicurezza e la pressione dell'aria e l'umidità influenzano il risultato. Ciò significa che il numero di variabili di input e risposte e la complessità della relazione sono sufficientemente elevati da rendere l'analisi della relazione piuttosto complicata.
Il grafico seguente è un tentativo di mostrare come le tre variabili più importanti influenzano il risultato:
Figura 1. Grafico di risposta singola per la durezza IFD dei modelli presentati da R. Schiffauer [1].
Questo è un grafico a risposta singola con più variabili di input. Si noti che le relazioni e le loro dimensioni relative possono essere viste per ogni variabile, e si possono anche confrontare. Tuttavia, non appare un'immagine riassuntiva chiara. È anche difficile immaginare come integrare più variabili di input e come mostrare gli effetti di interazione. Infine, poiché desideriamo capire come gli input influenzano più risposte, molti di questi grafici devono essere studiati simultaneamente.
Molti di noi ricordano ore passate a spiegare queste serie di grafici agli scienziati con cui noi statistici collaboriamo e per i quali abbiamo costruito questi modelli.
Scheletri
Una prima alternativa è il grafico a scheletro per due risposte come mostrato nell'esempio seguente (Figura 2). Qui, si cerca prima una gerarchia tra le variabili X. Come backbone, si seleziona la variabile che ha l'effetto congiunto più forte su entrambe le risposte. Nell'esempio, questo è il contenuto di acqua. Quindi gli effetti di altre variabili vengono innestati sul backbone. Le variabili che mostrano poca o nessuna interazione con la variabile backbone vengono innestate una volta, le variabili che interagiscono con la variabile backbone vengono innestate due volte. Le interazioni di ordine superiore possono essere aggiunte come "ossa" innestate a un secondo livello (questo non è mostrato qui).
Di conseguenza, otteniamo una visualizzazione di una situazione molto complessa in un modo che rimane interpretabile per gli scienziati. Nell'esempio, la spina dorsale è perfettamente logica: man mano che il livello dell'acqua aumenta, la schiuma diventa meno densa (più gas) e più morbida (meno sostanza). Tuttavia, più acqua significa anche polimero più duro. Un eccesso di isocianato più elevato (indice) o solidi aggiuntivi aumentano la durezza con scarso o nessun effetto sulla densità e i loro effetti sono un po' diversi nelle schiume ad alta densità realizzate con poca acqua (urea) rispetto alle schiume a bassa densità con un alto contenuto di urea. Gli agenti espandenti ausiliari (qui MeCl) e la pressione dell'aria agiscono in modi logici e opposti... Vediamo, le relazioni principali, sebbene complesse, possono essere facilmente spiegate e in un modo molto più semplice e chiaro rispetto a una coppia di grafici a risposta singola.
Figura 2. Grafico scheletrico della durezza e della densità IFD basato sui modelli pubblicati da R. Schiffauer [1].
La seguente coppia di grafici mostra una vista di due diagrammi scheletrici che consentono di esplorare simultaneamente le quattro risposte. Questa visualizzazione mostra allo stesso tempo la forza del metodo e identifica una difficoltà: la struttura portante di un grafico scheletrico potrebbe non essere ideale per un altro, realizzato per una coppia di risposte diversa. Lo sviluppo di metodi per la scelta automatica di questa variabile deve ancora essere progettato.
Figura 3. Una coppia di grafici scheletrici per le stesse variabili di input.
Dagli scheletri ai tappeti volanti
Gli scheletri aiutano a raffigurare le relazioni input-output, le loro dimensioni e le loro interazioni. Non mostrano la gamma di proprietà che possono essere raggiunte (a condizione che il modello regga). Uno scheletro è privo di carne. Dare carne agli scheletri significa che dobbiamo aumentare la dimensione delle ossa ad almeno 2 e questo ci porta ai tappeti volanti. Una sfida per questa visualizzazione è identificare un punto di ancoraggio in un modo visivamente non intrusivo.
Figura 4a e b. Sviluppo della struttura portante che rappresenta l'effetto dell'acqua tramite l'effetto dell'indice di isocianato.
E quando ci sono tre variabili di input, come dovremmo procedere? Ci sono due possibilità: potremmo passare da un oggetto bidimensionale (manifold) a uno tridimensionale, oppure potremmo ripetere oggetti bidimensionali. Cioè, potremmo passare a esposizioni di salsicce volanti o a più tappeti volanti. Il primo approccio si basa su un'illusione ottica: rappresentare un oggetto tridimensionale mostrando una forma bidimensionale annotata visivamente. Questo è molto difficile da fare e anche difficile da vedere. Il secondo approccio porta a esposizioni più facili a livello di costruzione e visualizzazione.
Figura 5. Disposizione dei tappeti volanti.
E qui finisce tutto. Qui mostriamo due risposte e quattro variabili di input per rappresentare l'intervallo di proprietà in densità e durezza che può essere coperto dall'intervallo di formulazione selezionato. I grafici scheletro possono ospitare alcune variabili in più rispetto alle disposizioni di collettori (tappeti volanti). Nell'esempio, abbiamo sei variabili di input e due risposte. Questi due tipi di display sono ottimali nel senso seguente: migliorano notevolmente i display a risposta singola mostrando più variabili e più relazioni in un modo che è più facile da capire. D'altro canto, non è possibile mostrare tre risposte in un singolo display poiché ciò richiede l'uso dell'illusione di profondità. Per lo stesso motivo, il numero di dimensioni che può essere utilizzato nell'oggetto display non può superare due.
Per andare oltre le due risposte è necessario mostrare disposizioni di proiezioni bidimensionali o animazioni dei grafici.
Ginnastica di cresta
Finora abbiamo introdotto e discusso i grafici scheletro nel caso di un modello noto. In pratica, i modelli devono essere costruiti a partire da dati e i loro parametri sono soggetti a incertezza. Come si può integrare l'incertezza rispetto al modello e ai dati?
A questo scopo, rivisiteremo un esempio complesso riportato da Box e Liu [2]. Riguarda i dati raccolti nella fase di ottimizzazione nel processo di progettazione di elicotteri di carta che volano quando vengono lasciati cadere da un banco e la cui variabilità di volo è bassa. Ci sono due risposte, il tempo di volo in centisecondi indicato da Y e una misura di variabilità, 100*log10(stdev(Y)), indicata da LS. Ci sono quattro variabili di input, area alare (A), rapporto lunghezza/larghezza alare (Q), lunghezza del corpo (L) e larghezza del corpo (W). Il progetto sperimentale era un composito centrale bloccato in questi quattro fattori.
Il seguente set di display a doppia risposta (un mix di tappeti volanti e scheletri) mostra un modo per visualizzare dati grezzi e modelli principali. Il grafico in alto a sinistra mostra le sezioni create per le due variabili che hanno i maggiori effetti lineari complessivi, lunghezza del corpo (L) e rapporto lunghezza/larghezza alare (Q). Vediamo una tendenza degli elicotteri con rapporto lunghezza/larghezza alare più elevato a volare più a lungo a scapito della variabilità. Per la lunghezza del corpo, più corto sembra meglio (si noti che "lungo" o "corto" sono rispetto agli intervalli sperimentali scelti. Quando mescoliamo gli adattamenti lineari con gli adattamenti di un modello completo (incluse interazioni e termini quadratici), vediamo che le sezioni si separano e diventano piuttosto irregolari quando viene mostrato solo il modello completo. Il modello completo si adatta troppo e un adattamento ragionevole è probabilmente da qualche parte nel mezzo.
Figura 6. Dati grezzi e modelli. In alto a sinistra: solo effetti lineari, sezioni in lunghezza alare e corpo. In alto a destra: mix di 0,8 parti di modello lineare e 0,2 parti di modello completo. In basso a sinistra: mix uniforme di modello lineare e completo, in basso a destra: modello completo.
Bibliografia
[1] Reinhart Schiffauer (1994), Modelli di previsione delle proprietà matematiche per schiume poliuretaniche flessibili, Atti della 35a conferenza annuale tecnica/di marketing sul poliuretano, 225-238.
[2] GEP Box e P. Liu. La statistica come catalizzatore dell'apprendimento attraverso il metodo scientifico Parte I – Un esempio. Rivista di tecnologia della qualità , 31(1):1-15, 1999.
