Christian Ritter , Geschäftsführer, Ritter and Danielson Consulting
Abstrakt
Nicht-triviale Modelle mit mehreren Eingangs- und Ausgangsvariablen sind schwer zu visualisieren, und die Kommunikation über statistische Signifikanz und wissenschaftliche Bedeutung ist alles andere als selbstverständlich. Hier untersuchen wir den Übergang von Einzelantwortdarstellungen, in denen die Effekte mehrerer X-Variablen für eine einzelne Y-Variable dargestellt werden, zu zwei Klassen von Dual-Response-Diagrammen: Skeletten und fliegenden Teppichen. Anschließend untersuchen wir, wie die Unsicherheit des Modells integriert werden kann .
Schlüsselwörter
Reaktionsflächen, multivariate Analyse.
Motivierendes Beispiel: Polyurethan-Schäume
Beginnen wir mit einem praktischen Beispiel. Polyurethan-Schäume, die zur Herstellung von Matratzen verwendet werden, entstehen durch eine einfache chemische Reaktion. Dabei reagiert ein allgemeiner Alkohol, ein sogenanntes Polyol, mit Isocyanat zu einem elastischen Polymer. Gleichzeitig reagiert Wasser mit Isocyanat und bildet Harnstoff und CO₂. Der Harnstoff verteilt sich im Polymer und härtet es aus, während das CO₂ Blasen bildet, die nach einiger Zeit ineinander platzen und einen atmungsaktiven Schaum bilden. Zu den Parametern, die die Eigenschaften des Produkts bestimmen, gehören Härte, Dichte, Zugfestigkeit und Bruchdehnung. Die ersten beiden Parameter beziehen sich auf die allgemeine Härte und Preisklasse des Schaums, das zweite Paar auf seine elastischen Eigenschaften.
Obwohl die Chemie recht einfach ist, gibt es dennoch eine beträchtliche Anzahl von Variablen, die die Schaumeigenschaften bestimmen. Da ist die Isocyanatmenge. Sie wird üblicherweise leicht überdosiert, um eine vollständige Reaktion zu gewährleisten. Überschüssiges Isocyanat löst sich dann in den Harnstoffdomänen auf. Darüber hinaus führt die Wassermenge im Verhältnis zum Polyol bei äquivalentem Isocyanatüberschuss zu mehr Gasbildung, was wiederum zu mehr und größeren Blasen und damit zu Schaum mit geringerer Dichte führt. Gleichzeitig wird das verbleibende Polymer härter, da es mehr Harnstoff enthält. Gleichzeitig verfügen weniger dichte Schäume über weniger Stützmaterial und sind im Allgemeinen weicher.
Weitere Faktoren bestimmen die Produkteigenschaften. Zusätzliche Feststoffe können hinzugefügt werden, um den Schaum zu härten, zusätzliche gaserzeugende Materialien können die Dichte weiter reduzieren, Flammschutzmittel können zur Einhaltung von Sicherheitsvorschriften erforderlich sein, und Luftdruck und Luftfeuchtigkeit beeinflussen das Ergebnis. Dies bedeutet, dass die Anzahl der Eingangsvariablen und Reaktionen sowie die Komplexität der Beziehung so hoch sind, dass die Analyse der Beziehung recht schwierig ist.
Die folgende Grafik soll zeigen, wie die drei wichtigsten Variablen das Ergebnis beeinflussen:
Abbildung 1. Einzelantwortdiagramm für die IFD-Härte der von R. Schiffauer [1] vorgestellten Modelle.
Dies ist ein Diagramm mit einer einzelnen Antwort und mehreren Eingangsvariablen. Die Beziehungen und ihre relativen Größen sind für jede Variable ersichtlich und können auch verglichen werden. Es ergibt sich jedoch kein klares Gesamtbild. Es ist zudem schwer vorstellbar, wie mehrere Eingangsvariablen integriert und Interaktionseffekte dargestellt werden können. Da wir verstehen möchten, wie sich die Eingangsvariablen auf mehrere Antworten auswirken, müssen mehrere dieser Diagramme gleichzeitig untersucht werden.
Viele von uns können sich an die Stunden erinnern, in denen wir solche Diagrammsätze den Wissenschaftlern erklärt haben, mit denen wir Statistiker zusammenarbeiten und für die wir diese Modelle erstellt haben.
Skelette
Eine erste Alternative ist das Skelettdiagramm für zwei Antworten, wie im Beispiel unten (Abbildung 2) dargestellt. Dabei wird zunächst eine Hierarchie der X-Variablen gesucht. Als Rückgrat wählt man die Variable, die den stärksten gemeinsamen Effekt auf beide Antworten hat. Im Beispiel ist dies der Wassergehalt. Anschließend werden die Effekte anderer Variablen auf das Rückgrat aufgepfropft. Variablen, die wenig oder keine Interaktion mit der Rückgratvariablen zeigen, werden einfach aufgepfropft, Variablen, die mit der Rückgratvariablen interagieren, werden zweimal aufgepfropft. Interaktionen höherer Ordnung können als „Knochen“ auf einer zweiten Ebene hinzugefügt werden (dies wird hier nicht gezeigt).
Als Ergebnis erhalten wir eine Darstellung einer sehr komplexen Situation auf eine Weise, die für Wissenschaftler interpretierbar bleibt. Im Beispiel ist das Grundgerüst vollkommen logisch: Wenn der Wasserspiegel steigt, wird der Schaum weniger dicht (mehr Gas) und weicher (weniger Substanz). Mehr Wasser bedeutet jedoch auch ein härteres Polymer. Ein höherer Isocyanatüberschuss (Index) oder zusätzliche Feststoffe erhöhen die Härte ohne oder mit wenig Auswirkung auf die Dichte, und ihre Auswirkungen sind bei hochdichten Schäumen, die mit wenig Wasser (Harnstoff) hergestellt werden, etwas anders als bei niedrigdichten Schäumen mit hohem Harnstoffgehalt. Zusätzliche Treibmittel (hier MeCl) und Luftdruck wirken auf logische und entgegengesetzte Weise … Wir sehen, dass die wichtigsten Zusammenhänge, obwohl komplex, leicht und auf eine Weise erklärt werden können, die viel einfacher und klarer ist als mit einem Paar einzelner Antwortdiagramme.
Abbildung 2. Skelettdiagramm der IFD-Härte und -Dichte basierend auf den von R. Schiffauer [1] veröffentlichten Modellen.
Das folgende Diagrammpaar zeigt zwei Skelettdiagramme, die die gleichzeitige Untersuchung der vier Antwortmöglichkeiten ermöglichen. Diese Darstellung verdeutlicht gleichzeitig die Stärke der Methode und identifiziert eine Schwierigkeit: Das Grundgerüst eines Skelettdiagramms ist möglicherweise nicht ideal für ein anderes, das für ein anderes Antwortpaar erstellt wurde. Methoden zur automatischen Auswahl dieser Variablen müssen noch entwickelt werden.
Abbildung 3. Ein Paar Skelettdiagramme für dieselben Eingabevariablen.
Von Skeletten bis zu fliegenden Teppichen
Skelette helfen bei der Darstellung von Input-Output-Beziehungen, deren Größen und Interaktionen. Sie bilden nicht die Bandbreite erreichbarer Eigenschaften ab (sofern das Modell gültig ist). Einem Skelett fehlt Fleisch. Um die Skelette auszuarbeiten, müssen wir die Dimension der Knochen auf mindestens 2 erhöhen, was zu fliegenden Teppichen führt. Eine Herausforderung für diese Darstellung besteht darin, einen Ankerpunkt visuell unaufdringlich zu identifizieren.
Abbildung 4a und b. Ausarbeitung des Grundgerüsts, das den Wassereffekt durch den Effekt des Isocyanatindex darstellt.
Und wie sollten wir bei drei Eingangsvariablen vorgehen? Es gibt zwei Möglichkeiten: Wir könnten von einem zweidimensionalen Objekt (Mannigfaltigkeit) zu einem dreidimensionalen übergehen oder zweidimensionale Objekte wiederholen. Das heißt, wir könnten fliegende Würstchen oder mehrere fliegende Teppiche darstellen. Der erste Ansatz basiert auf einer optischen Täuschung: Die Darstellung eines dreidimensionalen Objekts durch eine visuell annotierte zweidimensionale Form. Dies ist sehr schwierig umzusetzen und auch schwer zu betrachten. Der zweite Ansatz führt zu einfacheren Darstellungen auf Konstruktions- und Betrachtungsebene.
Abbildung 5. Anordnung der fliegenden Teppiche.
Und hier endet es auch schon. Hier zeigen wir zwei Antworten und vier Eingangsvariablen, um den Eigenschaftsbereich in Dichte und Härte abzubilden, der durch den gewählten Formulierungsbereich abgedeckt werden kann. Skelettdiagramme können etwas mehr Variablen aufnehmen als Anordnungen von Mannigfaltigkeiten (fliegende Teppiche). Im Beispiel haben wir sechs Eingangsvariablen und zwei Antworten. Diese beiden Darstellungsarten sind in folgendem Sinne optimal: Sie stellen eine erhebliche Verbesserung gegenüber Darstellungen mit einer einzigen Antwort dar, indem sie mehr Variablen und mehr Beziehungen auf eine leichter verständliche Weise darstellen. Andererseits ist es nicht möglich, drei Antworten in einer einzigen Darstellung darzustellen, da dies die Illusion von Tiefe erfordern würde. Aus demselben Grund kann die Anzahl der im Anzeigeobjekt verwendbaren Dimensionen zwei nicht überschreiten.
Um über zwei Antworten hinauszugehen, müssen Anordnungen zweidimensionaler Projektionen oder Animationen der Graphen gezeigt werden.
Ridge Gymnastics
Bisher haben wir Skelettgraphen anhand eines bekannten Modells vorgestellt und diskutiert. In der Praxis müssen Modelle aus Daten konstruiert werden, und ihre Parameter unterliegen Unsicherheiten. Wie kann man Unsicherheiten in Bezug auf Modell und Daten integrieren?
Zu diesem Zweck betrachten wir ein komplexes Beispiel von Box und Liu [2]. Es betrifft Daten, die in der Optimierungsphase beim Entwurf von Papierhelikoptern gesammelt wurden, die fliegen, sobald sie von einer Werkbank fallen gelassen werden, und deren Flugvariabilität gering ist. Es gibt zwei Antworten: die Flugzeit in Centisekunden, bezeichnet mit Y, und ein Maß für die Variabilität, 100*log10(stdev(Y)), bezeichnet mit LS. Es gibt vier Eingangsvariablen: Flügelfläche (A), Flügellänge/-breite-Verhältnis (Q), Rumpflänge (L) und Rumpfbreite (W). Das experimentelle Design war ein blockiertes zentrales Komposit aus diesen vier Faktoren.
Die folgende Dual-Response-Darstellung (eine Mischung aus fliegenden Teppichen und Skeletten) veranschaulicht eine Möglichkeit zur Anzeige von Rohdaten und Hauptmustern. Das Diagramm oben links zeigt Schnitte für die beiden Variablen mit den größten linearen Gesamteffekten: Rumpflänge (L) und Flügellängen-/breitenverhältnis (Q). Wir erkennen eine Tendenz bei Hubschraubern mit einem höheren Flügellängen-/breitenverhältnis, länger zu fliegen, was auf Kosten der Variabilität geht. Bei der Rumpflänge scheint eine kürzere Länge besser zu sein (beachten Sie, dass sich „lang“ oder „kurz“ auf die gewählten experimentellen Bereiche beziehen). Wenn wir die linearen Anpassungen mit Anpassungen eines vollständigen Modells (einschließlich Wechselwirkungen und quadratischer Terme) kombinieren, sehen wir, dass sich die Schnitte trennen und ziemlich unregelmäßig werden, wenn nur das vollständige Modell angezeigt wird. Das vollständige Modell ist überangepasst, und eine angemessene Anpassung liegt wahrscheinlich irgendwo in der Mitte.
Abbildung 6. Rohdaten und Modelle. Oben links: Nur lineare Effekte, Ausschnitte in Flügel- und Körperlänge. Oben rechts: Mischung aus 0,8 Teilen linearem und 0,2 Teilen Vollmodell. Unten links: gleichmäßige Mischung aus linearem und Vollmodell, unten rechts: Vollmodell.
Bibliographie
[1] Reinhart Schiffauer (1994), Mathematische Eigenschaftsvorhersagemodelle für flexible Polyurethan-Schäume, Proceedings der 35. jährlichen Polyurethan-Technik-/Marketing-Konferenz, 225-238.
[2] GEP Box und P. Liu. Statistik als Katalysator für wissenschaftliches Lernen Teil I – Ein Beispiel. Zeitschrift für Qualitätstechnologie , 31(1):1-15, 1999.
