Christian Ritter , directeur exécutif, Ritter and Danielson Consulting
Abstrait
Les modèles non triviaux comportant plusieurs variables d'entrée et de sortie sont difficiles à visualiser, et la communication sur la signification statistique et la signification scientifique est loin d'être évidente. Nous étudions ici la transition des représentations à réponse unique, où les effets de plusieurs variables X sont représentés pour une seule variable Y, vers deux classes de graphiques à double réponse : les squelettes et les tapis volants, puis nous explorons comment intégrer l'incertitude du modèle .
Mots-clés
Surfaces de réponse, analyse multivariée.
Exemple motivant : les mousses de polyuréthane
Commençons par un exemple pratique. Les mousses de polyuréthane utilisées pour la fabrication de matelas résultent d'une réaction chimique simple. Lors de cette réaction, un alcool généralisé, appelé polyol, réagit avec l'isocyanate pour former un polymère élastique. Simultanément, l'eau réagit également avec l'isocyanate pour former de l'urée et du CO₂. L'urée se disperse dans le polymère et le durcit, tandis que le CO₂ forme des bulles qui, à un moment donné, éclatent les unes dans les autres pour former une mousse respirante. Les paramètres qui définissent les caractéristiques du produit comprennent la dureté, la densité, la résistance à la traction et l'allongement à la rupture. Les deux premiers paramètres sont liés à la dureté générale et à la catégorie de prix de la mousse, le second à ses propriétés élastiques.
Bien que la chimie soit relativement simple, de nombreuses variables déterminent les caractéristiques de la mousse. La quantité d'isocyanate est généralement choisie en léger excès pour garantir une réaction complète. L'excès d'isocyanate se dissout ensuite dans les domaines urée. De plus, la quantité d'eau par rapport au polyol, à excès équivalent d'isocyanate, crée davantage de gaz, ce qui produit des bulles plus nombreuses et plus grosses, et donc une mousse de densité plus faible. Parallèlement, le polymère restant est plus dur car il contient plus d'urée. De plus, les mousses moins denses ont moins de matière pour les maintenir et sont généralement plus souples.
D'autres facteurs déterminent les caractéristiques du produit. Des solides supplémentaires peuvent être ajoutés pour durcir la mousse, des agents auxiliaires générateurs de gaz peuvent réduire davantage la densité, des retardateurs de flamme peuvent être nécessaires pour satisfaire aux réglementations de sécurité, et la pression atmosphérique et l'humidité influencent le résultat. Cela signifie que le nombre de variables d'entrée et de réponses, ainsi que la complexité de la relation, sont suffisamment élevés pour rendre son analyse délicate.
Le graphique suivant tente de montrer comment les trois variables les plus importantes affectent le résultat :
Figure 1. Graphique de réponse unique pour la dureté IFD des modèles présentés par R. Schiffauer [1].
Il s'agit d'un graphique à réponse unique avec plusieurs variables d'entrée. Il est possible d'observer les relations et leurs tailles relatives pour chaque variable, et de les comparer. Cependant, aucune image synthétique claire n'apparaît. Il est également difficile d'imaginer comment intégrer davantage de variables d'entrée et montrer les effets d'interaction. Enfin, afin de comprendre l'impact des entrées sur les réponses multiples, plusieurs de ces graphiques doivent être étudiés simultanément.
Beaucoup d’entre nous se souviennent d’avoir passé des heures à expliquer de tels ensembles de graphiques aux scientifiques avec lesquels nous, statisticiens, collaborons et pour lesquels nous avons construit ces modèles.
Squelettes
Une première alternative est le diagramme squelette pour deux réponses, comme illustré dans l'exemple ci-dessous (Figure 2). Ici, on cherche d'abord à établir une hiérarchie entre les variables X. Comme colonne vertébrale, on sélectionne la variable qui a l'effet conjoint le plus fort sur les deux réponses. Dans l'exemple, il s'agit de la teneur en eau. Ensuite, les effets des autres variables sont greffés sur cette colonne vertébrale. Les variables qui présentent peu ou pas d'interaction avec la variable de la colonne vertébrale sont greffées une fois, tandis que celles qui interagissent avec elle le sont deux fois. Les interactions d'ordre supérieur peuvent être ajoutées comme « ossatures » greffées à un deuxième niveau (ceci n'est pas illustré ici).
Nous obtenons ainsi la représentation d'une situation très complexe, d'une manière qui reste interprétable par les scientifiques. Dans cet exemple, le principe est parfaitement logique : à mesure que le niveau d'eau augmente, la mousse devient moins dense (plus de gaz) et plus molle (moins de matière). Or, plus d'eau signifie également plus de polymère dur. Un excès d'isocyanate (indice) plus élevé ou des solides supplémentaires augmentent la dureté avec peu ou pas d'effet sur la densité. Leurs effets sont légèrement différents pour les mousses haute densité fabriquées avec peu d'eau (urée) que pour les mousses basse densité à forte teneur en urée. Les agents gonflants auxiliaires (ici MeCl) et la pression atmosphérique agissent de manière logique et opposée… Nous constatons que les relations principales, bien que complexes, peuvent être expliquées facilement et de manière beaucoup plus simple et claire qu'avec deux graphiques à réponse unique.
Figure 2. Graphique squelette de la dureté et de la densité IFD basé sur les modèles publiés par R. Schiffauer [1].
Les deux graphiques suivants présentent deux représentations schématiques permettant d'explorer simultanément les quatre réponses. Cet affichage illustre à la fois la force de la méthode et met en évidence une difficulté : la structure d'un graphique schématique peut ne pas convenir à un autre, conçu pour des paires de réponses différentes. Il reste donc à concevoir des méthodes permettant de choisir automatiquement cette variable.
Figure 3. Une paire de tracés squelettes pour les mêmes variables d’entrée.
Des squelettes aux tapis volants
Les squelettes aident à visualiser les relations entrées-sorties, leurs tailles et leurs interactions. Ils ne présentent pas l'ensemble des propriétés atteignables (à condition que le modèle soit valide). Un squelette est dépourvu de chair. Pour étoffer les squelettes, il faut augmenter la dimension des os à au moins 2, ce qui donne lieu à des tapis volants. Un défi pour cette représentation est d'identifier un point d'ancrage de manière visuellement non intrusive.
Figure 4a et b. Développement de l'ossature représentant l'effet de l'eau par l'effet de l'indice isocyanate.
Et lorsqu'il y a trois variables d'entrée, comment procéder ? Deux possibilités s'offrent à nous : passer d'un objet bidimensionnel (variété) à un objet tridimensionnel, ou répéter des objets bidimensionnels. Autrement dit, nous pourrions passer à des démonstrations de saucisses volantes ou de tapis volants multiples. La première approche repose sur une illusion d'optique : représenter un objet tridimensionnel en montrant une forme bidimensionnelle annotée visuellement. C'est très difficile à réaliser et à visualiser. La seconde approche simplifie la construction et la visualisation des démonstrations.
Figure 5. Disposition des tapis volants.
Et c'est à peu près tout. Nous présentons ici deux réponses et quatre variables d'entrée pour illustrer la plage de propriétés en densité et dureté pouvant être couverte par la plage de formulation sélectionnée. Les tracés squelettes peuvent accueillir un peu plus de variables que les agencements de variétés (tapis volants). Dans l'exemple, nous avons six variables d'entrée et deux réponses. Ces deux types d'affichage sont optimaux : ils sont nettement supérieurs aux affichages à réponse unique en affichant davantage de variables et de relations, de manière plus compréhensible. En revanche, il est impossible d'afficher trois réponses dans un seul affichage, car cela nécessite d'utiliser l'illusion de profondeur. Pour la même raison, le nombre de dimensions utilisables dans l'objet d'affichage ne peut pas dépasser deux.
Aller au-delà de deux réponses nécessite de montrer des arrangements de projections bidimensionnelles ou une animation des graphiques.
Ridge Gymnastics
Jusqu'à présent, nous avons présenté et discuté des graphes squelettes dans le cas d'un modèle connu. En pratique, les modèles doivent être construits à partir de données et leurs paramètres sont sujets à incertitude. Comment intégrer l'incertitude par rapport au modèle et aux données ?
Français À cette fin, nous allons revisiter un exemple complexe rapporté par Box et Liu [2]. Il s'agit de données collectées lors de la phase d'optimisation du processus de conception d'hélicoptères en papier qui volent lorsqu'ils sont lâchés d'un banc et dont la variabilité de vol est faible. Il y a deux réponses, le temps de vol en centisecondes noté Y et une mesure de variabilité, 100*log10(stdev(Y)), notée LS. Il y a quatre variables d'entrée, la surface de l'aile (A), le rapport longueur/largeur de l'aile (Q), la longueur du corps (L) et la largeur du corps (W). Le plan expérimental était un composite central bloqué dans ces quatre facteurs.
L'ensemble suivant d'affichages à double réponse (un mélange de tapis volants et de squelettes) illustre une méthode d'affichage des données brutes et des principaux modèles. Le graphique en haut à gauche présente des tranches réalisées pour les deux variables ayant les effets linéaires globaux les plus importants, la longueur du corps (L) et le rapport longueur/largeur des ailes (Q). Nous observons une tendance des hélicoptères ayant un rapport longueur/largeur des ailes plus élevé à voler plus longtemps, au détriment de la variabilité. Pour la longueur du corps, une longueur plus courte semble préférable (à noter que « long » ou « court » se réfère aux plages expérimentales choisies). Lorsque nous combinons les ajustements linéaires avec les ajustements d'un modèle complet (y compris les interactions et les termes quadratiques), nous constatons que les tranches se séparent et deviennent assez irrégulières lorsque seul le modèle complet est affiché. Le modèle complet sur-ajuste, et un ajustement raisonnable se situe probablement quelque part entre les deux.
Figure 6. Données brutes et modèles. En haut à gauche : effets linéaires uniquement, tranches de longueur d'aile et de corps. En haut à droite : mélange de 0,8 partie de modèle linéaire et de 0,2 partie de modèle complet. En bas à gauche : mélange équilibré de modèles linéaire et complet, en bas à droite : modèle complet.
Bibliographie
[1] Reinhart Schiffauer (1994), Modèles de prédiction des propriétés mathématiques pour les mousses de polyuréthane flexibles, Actes de la 35e conférence annuelle technique/marketing sur le polyuréthane, 225-238.
[2] GEP Box et P. Liu. Les statistiques comme catalyseur de l'apprentissage par la méthode scientifique, partie I – Un exemple. Journal des technologies de qualité , 31(1):1-15, 1999.
