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Uso de JMP® para analizar datos de un experimento diseñado con algunas respuestas por debajo del límite de detección

Autores

William D. Kappele, presidente de Experimentos Objetivos
Julie Kidd, ingeniera de materiales, US Synthetic
Heather Schaefer, ingeniera de materiales, US Synthetic

Introducción

A veces, en el trabajo, uno se encuentra con un problema interesante. Eso fue lo que nos ocurrió. Al usar un experimento diseñado para formular diamantes sintéticos, tuvimos algunos ensayos en los que no pudimos medir la respuesta; estaban por debajo del límite de detección de nuestro sistema de medición.

Podríamos haber cambiado la configuración de los factores hasta que pudiéramos realizar una medición, pero no queríamos agregar ese gasto si no era necesario.

Al principio, simplemente asignamos "cero" a todo lo que no podíamos medir. Sin embargo, estábamos un poco nerviosos; al fin y al cabo, le estábamos mintiendo al JMP , ¡algo que no nos gusta hacer!

Es con el deseo de honestidad que comenzó nuestra aventura.

https://www.youtube.com/watch?v=Zf0REURPFU0

La aventura

Dos de nuestras respuestas estaban por debajo del límite de detección de nuestro sistema de medición. Solo sabíamos que se encontraban en un rango entre el límite de detección y cero. Los datos que solo se sabe que se encuentran dentro de un rango se denominan "datos censurados". Sabíamos cómo manejar datos censurados en el análisis de confiabilidad, pero desconocíamos cómo hacerlo en un experimento diseñado.

Le preguntamos a Bill si sabía qué hacer. Sugirió usar la Estimación de Máxima Verosimilitud, pero no estaba seguro de cómo hacerlo en JMP. Contactó con Brad Jones (de JMP) y Brad le recomendó la plataforma Parametric Survival. Aunque no estaba diseñada para hacer exactamente lo que necesitábamos, podría usarse para obtener la respuesta.

Queríamos compartir lo que habíamos aprendido (cómo se comparaban los diferentes análisis y cómo usar JMP para realizarlos), pero nuestro proyecto era confidencial. Parecía que nuestro aprendizaje tendría que ser un secreto hasta que a Heather se le ocurrió una gran idea: ¡hacer pasar nuestro trabajo como si estuviéramos horneando galletas con chispas de chocolate! Ella y Julie crearon con éxito un conjunto de datos de "galletas" fiel a nuestro trabajo que no revelaría ningún secreto.

Como ocurre con todas las analogías, la de las galletas puede parecer un poco forzada. Sin embargo, si nos tienen paciencia, podrán comprender el verdadero problema al que nos enfrentamos y aprender a abordarlo si surge en su trabajo.

Una analogía sencilla: hornear galletas

Supongamos que estuviéramos horneando galletas con chispas de chocolate. Nuestro objetivo sería hacer la galleta más fina posible con nuestra receta. (¡Les dijimos que podría parecer un poco forzado! En realidad, habríamos intentado hacer galletas gruesas). La receta que usamos fue la clásica de galletas Nestlé Toll House de la Figura 1.

Figura 1 – La receta oficial de las galletas Toll House, cortesía de Nestlé.

Agrupamos los ingredientes de forma lógica para crear cinco factores para nuestro experimento. Los factores se enumeran en la Figura 2.

Papas fritas Seco (harina, bicarbonato, sal) Crema (mantequilla, azúcar, azúcar moreno, vainilla) Temperatura Tiempo

Figura 2 – Los factores.

Estos son los factores y niveles que usamos para crear el diseño de nuestro experimento:

Factor	Tipo	Nivel bajo	Alto nivel
Papas fritas	Mezcla	0	0.5
Crema	Mezcla	0	0.5
Seco	Mezcla	0	0.8
Temperatura	Continuo	375	450
Tiempo	Continuo	5	12

También tuvimos varias restricciones. En la Figura 4 se muestra una parte del diseño de un experimento con estas restricciones (véase la Figura 3).

Figura 3 – Creación del diseño con restricciones

Figura 4 – Una parte del diseño de nuestro experimento.

Luego horneamos galletas...

Usando JMP para analizar los datos

Después de hornear las galletas, necesitábamos medir el grosor. ¡Increíble! No teníamos una regla muy buena. No podíamos medir nada de menos de 1 mm. Podíamos distinguir claramente que teníamos una galleta delgada, pero no podíamos determinar exactamente qué tan delgada era. Nuestro límite de detección era de 1 mm.

Inicialmente, simplemente ingresamos un "cero" para el grosor de las galletas que no podíamos medir (aquellas que estaban por debajo de nuestro límite de detección). Recuerden, sabíamos que teníamos una galleta, así que "cero" no podía ser correcto, pero decidimos intentarlo.

Estos datos fueron fáciles de analizar. Simplemente usamos el comando "Ajustar Modelo" con la función "Mínimos Cuadrados Estándar".

Para entender cómo analizamos los datos censurados, necesitamos un poco de contexto.

Estimación de máxima verosimilitud

Si bien los Mínimos Cuadrados son una técnica excelente para ajustar datos a modelos, no son fáciles de usar con datos censurados. Otra técnica, la Estimación de Máxima Verosimilitud, es mucho más fácil de usar con datos censurados. JMP utiliza la Estimación de Máxima Verosimilitud en varias ocasiones en el comando "Ajustar Modelo" (por ejemplo, si se selecciona la opción "Modelos Lineales Generalizados"); sin embargo, solo ofrece una opción para datos censurados en la plataforma Parametric Survival.

Necesitábamos “convencer” a JMP para que hiciera lo que queríamos que hiciera.

La plataforma de supervivencia paramétrica

La plataforma de "Supervivencia Paramétrica" ​​de JMP utiliza la Estimación de Máxima Verosimilitud y permite analizar datos censurados. Está diseñada para funcionar con respuestas de "Tiempo hasta el Fallo", no con la altura de las cookies, pero resultó fácil sortearlo. Cuando JMP solicita el "Tiempo hasta el Evento", simplemente se selecciona "Altura de las Cookies", como se muestra en la Figura 5.

Elección de una distribución

La plataforma Parametric Survival requiere que elijas una distribución. La distribución normal habría sido nuestra primera opción, pero no estaba disponible. Elegimos la distribución lognormal porque tiene una gran capacidad para simular la distribución normal. Además, dado que teníamos una altura cercana a cero, una distribución normal podría haber modelado ruido que permitiría predicciones de altura negativa (¡algo que nunca se desea en una galleta!). La distribución lognormal evita esta molestia.

Agregar una columna "Censor"

Añadir una columna de censura a la tabla nos permite indicar a JMP qué ejecuciones contienen datos censurados (datos por debajo del límite de detección). Los tratará de forma diferente al resto de las mediciones. (No los tratará como si fueran cero, sino de forma más sofisticada).

Optimización de la receta: mediana vs. media

El Optimizador de la plataforma de Supervivencia Paramétrica considera la "Probabilidad de Fallo" como un factor. Esto es innecesario para nuestro análisis, así que ¿cuál deberíamos establecer?

Generalmente, en la metodología de superficie de respuesta, predecimos el valor medio. Dado que esperamos que la distribución lognormal se aproxime a la distribución normal, la mediana debería estar bastante cerca de la media. Si fijamos la "Probabilidad de Fallo" en 0,5, deberíamos obtener el valor deseado. Figura 6

Figura 5 – La plataforma de supervivencia paramétrica

muestra cómo “bloquear” la “probabilidad de falla” en la mediana.

Tenga en cuenta también que la respuesta siempre se etiquetará como "Tiempo". Claro que sabe que en realidad es "Altura de la galleta".

Puedes añadir las "Funciones de Deseabilidad" y configurar las Deseabilidades como siempre. También puedes encontrar el "Punto Ideal" usando "Maximizar Deseabilidad", como siempre.

Si desea crear gráficos de contorno, deberá guardar la fórmula de predicción y utilizar el “Perfilador de contorno” en “Gráfico”.

Figura 6 – El generador de perfiles cuantiles

Resultados

Entonces ¿qué encontramos?

Primero, buscamos una regla de buena calidad para saber el grosor real de la galleta (fue bastante difícil y nos llevó mucho tiempo). Luego, pudimos crear un gráfico de valores reales vs. valores predichos (ver Figura 7). Este gráfico no mostraba toda la información, ya que omitió el ruido. Por lo tanto, también creamos un gráfico de valores reales vs. residuos (ver Figura 8). Al observar ambos gráficos, se puede observar que los resultados fueron similares. Los residuos tenían un tamaño similar, con un sesgo diferente.

A continuación, predijimos los puntos óptimos con ambos modelos. Ambos modelos predijeron básicamente el mismo punto óptimo, con una ligera diferencia en el tiempo de horneado previsto (véanse las Figuras 9 y 10). Horneamos 50 galletas para cada punto óptimo y comparamos los resultados (véase la Figura 11).

Figura 7 – Curvas reales vs. previstas

Figura 8 – Curvas reales vs. residuales

Figura 9 – El punto óptimo para el análisis de datos censurados

Figura 10 – El punto óptimo para el análisis de datos a cero

Los dos puntos óptimos dieron como resultado el mismo grosor de galleta . Encontramos prácticamente el mismo punto óptimo en ambos modelos, por lo que la técnica de análisis no fue relevante para determinarlo.

Observe con más detalle las Figuras 9, 10 y 11. Aunque predijeron el mismo punto óptimo, la predicción real del modelo censurado fue más precisa. Incluso los límites de confianza de la predicción del modelo censurado se acercaron más a la realidad. Por lo tanto, si necesita predicciones precisas, el modelo censurado es mejor.

Figura 11 – Comparación del punto óptimo

Realmente tuvimos dos problemas.

1. Habíamos censurado datos.
2. Necesitábamos modelar el ruido con una distribución que no predijera alturas de cookies negativas.

El modelo con los datos puestos a cero no abordó ninguno de estos problemas. El modelo que considera los datos censurados los tuvo en cuenta. Una pregunta natural es: "¿Abordar solo uno de estos problemas produciría resultados tan buenos como el modelo censurado?".

Si bien no tenemos una manera sencilla de probar el problema 1 (en JMP no podemos analizar datos censurados con una distribución normal), sí podemos analizar el problema 2. No podemos usar fácilmente la plataforma de Modelos Lineales Generalizados, ya que no es compatible con mezclas. Sin embargo, podemos realizar una transformación logarítmica de nuestros datos y analizarlos con Mínimos Cuadrados Estándar. Esto permite tratar los datos como si tuvieran una distribución logarítmica normal.

Un problema con este enfoque es que no funciona poner a cero los datos. En su lugar, reemplazamos los ceros con el promedio del rango censurado (0,5). ¡Claro que seguíamos mintiendo a JMP ! También analizamos estos datos sin la transformación logarítmica para compararlos.

Los resultados de este análisis se muestran en las Figuras 12 y 13. Observe que los puntos óptimos son idénticos al ajuste de mínimos cuadrados estándar para datos con distribución normal utilizando ceros. Sin embargo, las predicciones de 0,63 con límites de confianza del 95 % de 0,53 y 0,76 para la transformación logarítmica, y de 0,68 con límites de confianza del 95 % de 0,42 y 0,93 para la media del rango censurado, son mucho mejores que la predicción del análisis de datos con ceros. En la Figura 14 se presenta una comparación de los cuatro modelos.

Figura 12 – El punto óptimo para el análisis de transformación logarítmica

Figura 13 – El punto óptimo para el análisis de la media del rango

Figura 14 – Gráficos de valores reales frente a valores residuales para los tres modelos

Se puede observar que tanto el modelo de datos censurados como el modelo con transformación logarítmica tuvieron predicciones bastante acertadas: el modelo censurado predijo valores ligeramente altos, mientras que el modelo con transformación logarítmica predijo valores ligeramente bajos. Parece que no fue necesario usar la distribución logarítmica normal.

Resumen

1. Asignar “cero” a respuestas por debajo del límite de detección generó malas predicciones, pero arrojó un punto óptimo viable.
2. Asignar la media del rango censurado a las respuestas por debajo del límite de detección previstobien yprodujo un punto óptimo viable.Es poco probable que esto funcione en general: parece que esta vez tuvimos suerte.
3. Una transformación logarítmica del conjunto de datos en (2) arrojó resultados similares a (2) con una salvedad similar.
4. Utilizando la plataforma de supervivencia paramétrica de JMP con datos censurados y una distribución logNormal para modelar el ruidoprevistobien yprodujo un punto óptimo viablepara la mediana. Es probable que esto funcione mejor en general.

Conclusión

En nuestro trabajo nos encontramos con dos problemas:

1. Datos censurados
2. Necesitábamos modelar el ruido de una manera que evitara valores negativos (al menos en el extremo inferior).

Con nuestros datos pudimos solucionar estos problemas de dos maneras:

1. Analice con datos censurados y una distribución logNormal utilizando la Plataforma de Supervivencia Paramétrica.
2. Analice la transformación logarítmica de los datos con los valores censurados reemplazados por la media del rango utilizando mínimos cuadrados estándar.

Al final resultó que la distribución normal funcionó bien aquí: no se predijeron alturas de galletas negativas.

Ambos métodos ofrecieron mejores predicciones que simplemente poner a cero los datos por debajo del límite de detección. Ambos métodos encontraron esencialmente el mismo punto óptimo.

Entonces, ¿qué aprendimos realmente ?

1. Asignar ceros a valores desconocidos funcionó bastante bien. Probablemente se debió a la buena suerte. No esperábamos que esto funcionara con todos los conjuntos de datos.
2. Asignar la media del rango censurado funcionó mejor, pero probablemente también se debió a la suerte. No esperamos que esta sea una buena estrategia en general.
3. La plataforma de Supervivencia Paramétrica de JMP nos permitió analizar los datos censurados, aunque en este caso no arrojó mejores resultados que la media del rango censurado. A pesar de ello, es probable que esta sea la mejor estrategia en el futuro. Si bien (1) y (2) son simples suposiciones, la Estimación de Máxima Verosimilitud en la que se basa la Plataforma de Supervivencia Paramétrica está bien establecida.
4. Tanto la distribuciones Normal como la logNormal funcionaron bien para nosotros.

Y ya hemos compartido nuestra aventura (y nuestro aprendizaje) con ustedes. ¡Ahora es el turno de las galletas!

¿Buscas más?

A continuación se muestran algunas referencias interesantes para ampliar la información:

Russell B. Millar, Estimación y inferencia de máxima verosimilitud: con ejemplos en R, SAS y ADMB , J. Wiley and Sons, 2011, ISBN 978-0470094822 .

http://ussynthetic.com/ (para obtener información sobre US Synthetic)

http://www.ObjectiveExperiments.com (para información sobre capacitación y talleres)

http://www.jmp.com/ (para obtener información sobre el software JMP)

http://en.wikipedia.org/wiki/Censoring_(estadísticas) (para una buena explicación de la censura)

http://mathworld.wolfram.com/MaximumLikelihood.html (para una breve explicación de la estimación de máxima verosimilitud)

http://en.wikipedia.org/wiki/Chocolate_chip_cookie (para conocer la historia de la galleta con chispas de chocolate)

Acerca de los autores

Julie Kidd es ingeniera de materiales en US Synthetic. Sus especialidades son los sistemas cerámicos y compuestos, y la caracterización de materiales, incluyendo metalurgia forense y análisis de fallos.

Heather Schaefer es ingeniera de materiales en US Synthetic. Se especializa en materiales energéticos moldeados y prensados, con especial énfasis en el desarrollo de bengalas señuelo infrarrojas.

Juntos están desarrollando actualmente diamantes sintéticos mejorados para la industria del petróleo y el gas.

Bill Kappele esPresidente de ObExperimentos objetivos.Es responsable de la impartición y desarrollo de cursos.Juliay BrezoAprendí diseño de experimentos de Bill.