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Utilisation de JMP® pour analyser les données d'une expérience planifiée avec certaines réponses inférieures à la limite de détection

Auteurs

William D. Kappele, président, Objective Experiments
Julie Kidd, ingénieure en matériaux, US Synthetic
Heather Schaefer, ingénieure en matériaux, US Synthetic

Introduction

Il arrive parfois que l'on rencontre un problème intéressant au cours de son travail. C'est ce qui nous est arrivé. Lors d'une expérience planifiée pour la formulation de diamants synthétiques, nous avons réalisé quelques essais pour lesquels nous n'avons pas pu mesurer de réponse ; ils étaient inférieurs à la limite de détection de notre système de mesure.

Nous aurions pu modifier les paramètres du facteur jusqu'à ce que nous puissions effectuer une mesure, mais nous ne voulions pas ajouter cette dépense si nous n'y étions pas obligés.

Au début, nous avons simplement attribué « zéro » à tout ce que nous ne pouvions pas mesurer. Cela nous inquiétait un peu : après tout, nous mentions à JMP , ce que nous n'aimons pas faire !

C'est avec le désir d'honnêteté que notre aventure a commencé.

https://www.youtube.com/watch?v=Zf0REURPFU0

L'aventure

Deux de nos réponses étaient inférieures à la limite de détection de notre système de mesure. Nous savions seulement qu'elles se situaient entre la limite de détection et zéro. Les données dont on sait qu'elles se situent uniquement dans une certaine plage sont appelées « données censurées ». Nous savions comment gérer les données censurées en analyse de fiabilité, mais nous ignorions comment les traiter dans une expérience planifiée.

Nous avons demandé à Bill s'il savait comment procéder. Il nous a suggéré d'utiliser l'estimation du maximum de vraisemblance, mais il ne savait pas comment procéder dans JMP. Il a contacté Brad Jones (de JMP) et Brad l'a orienté vers la plateforme Parametric Survival. Bien qu'elle ne soit pas conçue pour répondre précisément à nos besoins, elle pourrait nous aider à obtenir la réponse.

Nous souhaitions partager ce que nous avions appris – la comparaison des différentes analyses et comment les réaliser avec JMP – mais notre projet était exclusif. Il semblait que notre apprentissage devait rester secret jusqu'à ce qu'Heather ait une idée géniale : déguiser notre travail comme si nous préparions des cookies aux pépites de chocolat ! Elle et Julie ont alors réussi à créer un ensemble de données « cookies » fidèle à notre travail, qui ne révélerait aucun secret.

Comme pour toutes les analogies, celle des cookies peut paraître un peu artificielle. Cependant, avec un peu de patience, vous comprendrez le problème auquel nous avons été confrontés et apprendrez à le gérer si jamais il se présente dans votre travail.

Une analogie simple : la cuisson des biscuits

Imaginez que nous travaillions à la préparation de cookies aux pépites de chocolat. Notre objectif serait de réaliser le cookie le plus fin possible avec notre recette. (On vous avait prévenu que ça pourrait paraître un peu artificiel ! On aurait vraiment voulu des cookies épais.) La recette que nous avons utilisée était la recette classique de cookies Nestlé Toll House, illustrée à la figure 1.

Figure 1 – La recette officielle des biscuits Toll House, gracieuseté de Nestlé.

Nous avons regroupé les ingrédients de manière logique afin de créer cinq facteurs pour notre expérience. Ces facteurs sont répertoriés dans la figure 2.

Puces Sec (farine, bicarbonate de soude, sel) Crémeux (beurre, sucre, cassonade, vanille) Température Temps

Figure 2 – Les facteurs.

Voici les facteurs et les niveaux que nous avons utilisés pour créer notre plan d’expérience :

Facteur	Taper	Niveau bas	Haut niveau
Puces	Mélange	0	0,5
Crémeux	Mélange	0	0,5
Sec	Mélange	0	0,8
Température	Continu	375	450
Temps	Continu	5	12

Nous avions également plusieurs contraintes. Une partie d'un plan d'expérience avec ces contraintes (voir figure 3) est présentée à la figure 4.

Figure 3 – Création de la conception avec des contraintes

Figure 4 – Une partie de notre conception expérimentale.

Ensuite, nous avons fait cuire des biscuits…

Utilisation de JMP pour analyser les données

Après avoir cuit nos biscuits, il fallait mesurer leur épaisseur. Ça se voit ! Nous n'avions pas de règle très précise. Impossible de mesurer moins de 1 mm. On voyait bien que le biscuit était fin, mais on ne pouvait pas en déterminer l'épaisseur exacte. Notre limite de détection était de 1 mm.

Au départ, nous avons simplement saisi « zéro » pour l'épaisseur des cookies que nous ne pouvions pas mesurer, c'est-à-dire ceux qui étaient en dessous de notre limite de détection. N'oubliez pas que nous savions qu'il s'agissait d'un cookie, donc « zéro » ne pouvait pas être correct, mais nous avons décidé d'essayer.

Ces données étaient faciles à analyser. Nous avons simplement utilisé la commande « Ajuster le modèle » avec la personnalité « Moindres carrés standard ».

Afin de comprendre comment nous avons analysé les données censurées, nous avons besoin d’un peu de contexte.

Estimation du maximum de vraisemblance

Bien que la méthode des moindres carrés soit une excellente technique pour ajuster les données aux modèles, son utilisation avec les données censurées est complexe. Une autre technique, l'estimation du maximum de vraisemblance, est beaucoup plus simple à utiliser avec les données censurées. JMP utilise l'estimation du maximum de vraisemblance à plusieurs reprises dans la commande « Ajuster le modèle » (par exemple, si vous choisissez l'option « Modèles linéaires généralisés »), mais cette option n'est disponible que pour les données censurées dans la plateforme Parametric Survival.

Nous devions « convaincre » JMP de faire ce que nous voulions qu’il fasse.

La plateforme de survie paramétrique

La plateforme « Survie paramétrique » de JMP utilise l'estimation du maximum de vraisemblance et permet d'analyser les données censurées. Elle est conçue pour fonctionner avec des réponses de type « Délai avant défaillance » (et non avec des hauteurs de cookie), mais il s'est avéré facile de contourner ce problème. Lorsque JMP demande le « Délai avant événement », il suffit de choisir « Hauteur de cookie », comme illustré à la figure 5.

Choisir une distribution

La plateforme Parametric Survival nécessite le choix d'une distribution. La distribution normale aurait été notre premier choix, mais elle n'était pas disponible. Nous avons opté pour la distribution log-normale car elle permet une excellente imitation de la distribution normale. De plus, comme notre hauteur était proche de zéro, une distribution normale aurait pu modéliser un bruit permettant de prédire une hauteur négative (un phénomène à éviter absolument dans un cookie !). La distribution log-normale évite ce désagrément.

Ajout d'une colonne « Censure »

L'ajout d'une colonne de censure au tableau permet d'indiquer à JMP les exécutions contenant des données censurées (données inférieures à la limite de détection). Ces données seront traitées différemment des autres mesures. (Elles ne seront pas traitées comme si elles étaient nulles, mais de manière plus sophistiquée.)

Optimiser la recette : médiane vs moyenne

L'optimiseur de la plateforme Parametric Survival considère la « probabilité de défaillance » comme un facteur. Ce facteur n'est pas nécessaire pour notre analyse ; quelle valeur devrions-nous donc définir ?

Habituellement, avec la méthodologie de surface de réponse, nous prédisons la valeur moyenne. Comme nous nous attendons à ce que la distribution log-normale se rapproche de la distribution normale, la médiane devrait être assez proche de la moyenne. En fixant la probabilité de défaillance à 0,5, nous devrions obtenir le résultat souhaité. Figure 6

Figure 5 – La plateforme de survie paramétrique

montre comment « verrouiller » la « probabilité d’échec » à la médiane.

Notez également que la réponse sera toujours intitulée « Heure ». Bien sûr, vous savez qu'il s'agit en réalité de « Hauteur du cookie ».

Vous pouvez ajouter les « Fonctions de désirabilité » et définir les désirabilités comme d'habitude. Vous pouvez également trouver le « Sweet Spot » en utilisant « Maximiser la désirabilité », comme d'habitude.

Si vous souhaitez créer des tracés de contour, vous devrez enregistrer la formule de prédiction et utiliser le « Profileur de contour » sous « Graphique ».

Figure 6 – Le profileur de quantiles

Résultats

Alors qu'avons-nous trouvé ?

Nous avons d'abord trouvé une règle très précise pour connaître l'épaisseur réelle du biscuit (c'était assez difficile et long). Nous avons ensuite pu réaliser un graphique Réel vs Prévu (voir Figure 7). Ce graphique ne rendait pas compte de l'intégralité de la situation, car il omettait le bruit. Nous avons donc également créé un graphique Réel vs Résidus (voir Figure 8). En observant ces deux graphiques, on constate que les résultats sont similaires. Les résidus étaient de taille similaire, mais avec un biais différent.

Nous avons ensuite prédit les points de cuisson idéaux avec les deux modèles. Les deux modèles ont prédit essentiellement le même point de cuisson idéal, avec seulement une légère différence dans le temps de cuisson prévu (voir figures 9 et 10). Nous avons cuit 50 biscuits pour chaque point de cuisson idéal et comparé les résultats (voir figure 11).

Figure 7 – Courbes réelles et prévues

Figure 8 – Courbes réelles et résiduelles

Figure 9 – Le point idéal pour l'analyse des données censurées

Figure 10 – Le point idéal pour l'analyse des données mises à zéro

Les deux points de fusion ont donné la même épaisseur de biscuit . Nous avons trouvé globalement le même point de fusion avec les deux modèles ; la technique d'analyse n'a donc pas eu d'importance pour trouver un point de fusion.

Examinez de plus près les figures 9, 10 et 11. Bien qu'elles aient prédit le même point idéal, la prédiction du modèle censuré était plus précise. Même les limites de confiance de la prédiction du modèle censuré étaient plus proches de la réalité. Ainsi, si vous avez besoin de prédictions précises, le modèle censuré est préférable.

Figure 11 – Comparaison des points idéaux

Nous avons vraiment eu 2 problèmes

1. Nous avions des données censurées.
2. Nous devions modéliser le bruit avec une distribution qui ne prédisait pas les hauteurs de cookies négatives.

Le modèle avec les données mises à zéro ne résolvait aucun de ces problèmes. Le modèle prenant en compte les données censurées prenait en compte ces deux problèmes. Une question naturelle se pose : « Résoudre un seul de ces problèmes produirait-il des résultats aussi bons que le modèle censuré ? »

Bien que nous ne disposions pas d'un moyen simple de tester le problème 1 (JMP ne permet pas d'analyser des données censurées avec une distribution normale), nous pouvons examiner le problème 2. La plateforme Modèles linéaires généralisés est difficile à utiliser, car elle ne permet pas d'analyser des mélanges. Cependant, nous pouvons effectuer une transformation logarithmique de nos données et les analyser avec la méthode des moindres carrés standard. Cela a pour effet de traiter les données comme si elles étaient distribuées selon une distribution log-normale.

Le problème avec cette approche est que la remise à zéro des données ne fonctionne pas. Nous avons donc remplacé les zéros par la moyenne de la plage censurée (0,5). Bien sûr, nous mentions encore à JMP ! Nous avons également analysé ces données sans transformation logarithmique à des fins de comparaison.

Les résultats de cette analyse sont présentés dans les figures 12 et 13. Il est à noter que les points idéaux sont identiques à l'ajustement par la méthode des moindres carrés standard pour les données normalement distribuées avec des zéros. Cependant, les prédictions de 0,63 avec des limites de confiance à 95 % de 0,53 et 0,76 pour la transformation logarithmique et de 0,68 avec des limites de confiance à 95 % de 0,42 et 0,93 pour la moyenne de l'étendue censurée sont bien meilleures que celles de l'analyse des données mises à zéro. Une comparaison des quatre modèles est présentée dans la figure 14.

Figure 12 – Le point idéal pour l'analyse de transformation logarithmique

Figure 13 – Le point idéal pour l'analyse de la moyenne de l'étendue

Figure 14 – Graphiques réels et résiduels pour les trois modèles

Vous pouvez constater que les modèles de données censurés et transformés logarithmiquement ont tous deux donné des prédictions plutôt bonnes : le modèle censuré a donné des prédictions légèrement supérieures, tandis que le modèle transformé logarithmiquement a donné des prédictions légèrement inférieures. Il semble que l'utilisation de la distribution log-normale n'était pas nécessaire.

Résumé

1. L’attribution de « zéro » aux réponses inférieures à la limite de détection a donné de mauvaises prévisions, mais a donné un Sweet Spot viable.
2. Attribution de la moyenne de la plage censurée aux réponses inférieures à la limite de détection préditebien eta donné un Sweet Spot viable.Il est peu probable que cela fonctionne en général – il semble que nous ayons eu de la chance cette fois-ci.
3. Une transformation logarithmique de l’ensemble de données dans (2) a donné des résultats similaires à (2) avec une mise en garde similaire.
4. Utilisation de la plateforme Parametric Survival de JMP avec des données censurées et une distribution log-normale pour modéliser le bruitpréditbien eta donné un Sweet Spot viablepour la médiane. C'est probablement ce qui fonctionnera le mieux en général.

Conclusion

Dans notre travail, nous avons rencontré deux problèmes :

1. Données censurées
2. Nous devions modéliser le bruit de manière à éviter les valeurs négatives (au moins dans les valeurs basses).

Grâce à nos données, nous avons pu résoudre ces problèmes de deux manières :

1. Analysez avec des données censurées et une distribution logNormal à l'aide de la plateforme de survie paramétrique.
2. Analysez la transformation logarithmique des données avec les valeurs censurées remplacées par la moyenne de la plage à l'aide des moindres carrés standard.

Il s’est avéré que la distribution normale fonctionnait bien ici – aucune hauteur de cookie négative n’était prévue.

Ces deux méthodes ont donné de meilleurs résultats prédictifs que la simple mise à zéro des données en dessous de la limite de détection. Elles ont toutes deux trouvé essentiellement le même point idéal.

Alors qu’avons-nous vraiment appris ?

1. L'attribution de zéros aux valeurs inconnues a plutôt bien fonctionné. C'était probablement dû à la chance. On ne s'attend pas à ce que cela fonctionne pour tous les ensembles de données.
2. L'attribution de la moyenne de la plage censurée a mieux fonctionné, mais il s'agissait probablement d'un simple coup de chance. En général, on ne s'attend pas à ce que ce soit une bonne stratégie.
3. La plateforme de survie paramétrique de JMP nous a permis d'analyser les données censurées, même si, dans ce cas, les résultats n'ont pas été supérieurs à la moyenne de la plage censurée. Malgré cela, cette stratégie s'avérera probablement la meilleure à l'avenir. Si (1) et (2) ne sont que des suppositions, l'estimation du maximum de vraisemblance sur laquelle repose la plateforme de survie paramétrique est bien établie.
4. Les distributions normale et log-normale ont toutes deux bien fonctionné pour nous.

Et maintenant, nous avons partagé notre aventure (et nos apprentissages) avec vous. Place aux cookies !

Vous cherchez plus ?

Voici quelques références intéressantes pour plus d’informations :

Russell B. Millar, Estimation et inférence du maximum de vraisemblance : avec des exemples dans R, SAS et ADMB , J. Wiley and Sons, 2011, ISBN 978-0470094822 .

http://ussynthetic.com/ (pour plus d'informations sur US Synthetic)

http://www.ObjectiveExperiments.com (pour plus d'informations sur les formations et les ateliers)

http://www.jmp.com/ (pour plus d'informations sur le logiciel JMP)

http://en.wikipedia.org/wiki/Censoring_(statistics) (pour une explication claire de la censure)

http://mathworld.wolfram.com/MaximumLikelihood.html (pour une brève explication de l'estimation du maximum de vraisemblance)

http://en.wikipedia.org/wiki/Chocolate_chip_cookie (pour une histoire du cookie aux pépites de chocolat)

À propos des auteurs

Julie Kidd est ingénieure en matériaux chez US Synthetic. Ses spécialités sont les systèmes céramiques et composites, ainsi que la caractérisation des matériaux, notamment la métallurgie forensique et l'analyse des défaillances.

Heather Schaefer est ingénieure en matériaux chez US Synthetic. Ses spécialités sont les matériaux énergétiques moulés et pressés, avec une spécialisation dans le développement de leurres infrarouges.

Ensemble, ils développent actuellement des diamants synthétiques améliorés pour l’industrie pétrolière et gazière.

Bill Kappele estPrésident d'ObExpériences jectives.Il est responsable de la prestation et du développement des cours.Julieet BruyèreJ'ai appris la conception d'expériences auprès de Bill.