劉鵬，JMP首席研究統計開發人員，SAS
本文介紹了JMP 12新增的四個功能。第一個是壽命分佈平台中的混合分佈建模。混合的類型可以是有限混合分佈，也可以是潛在競爭風險混合分佈。混合分佈建模允許任意數量、任意類型的分佈成分。第二個是獨立的破壞性退化建模平台。該平台提供了友好的用戶介面來進行分析。三是在可靠性預測平台中將不同的成本分配給不同的群體。這使得用戶能夠匯總來自非同質資源的貨幣不確定性。第四是可靠度框圖平台中新的元件重要性準則。新標準綜合了系統中部件的結構重要性和該部件在給定時間的故障風險。
壽命分佈平台中的混合建模
我們在此版本中提供了兩種類型的混合模型。第一個被稱為有限混合模型。這個名字在文獻中是眾所周知的。第二個稱為競爭風險混合模型。據我們所知，該模型尚未有一個通用名稱。
有限混合模型規定了以下形式的累積分佈函數：
其中，k 為已知常數，w i為權重，總和為 1，F i為個體累積分佈函數。如果 F i是常態分佈，那麼 F 稱為有限高斯分佈。關於有限高斯分佈的研究在文獻中仍然活躍。對其他情況的研究正在興起。在我們的軟體中，除了 Normal 之外，我們允許 Fi 是任何受支援的分佈。而 Fi 可以是不同類型，例如對數常態和威布爾。當感興趣的對象來自異質子群體時，有限混合模型可能適合可靠性數據分析。例如產品的壽命特性會因製造商、材料、使用環境等不同而受到不可控因素的影響；由於使用強度和使用條件等因素，產品的壽命特性會受到不明確的使用情況的影響。
競爭風險混合模型也稱為潛在故障模式模型。通常，當我們提到競爭風險時，我們正在討論其失敗原因是由於幾種可能性之一的主題。而各種可能的原因都會互相競爭。任何原因的最早發生決定了物體的失效原因和失效時間。通常將物件描述為一個串聯繫統，每個故障原因作為串聯圖中的一個節點。圖中的任何一個節點斷裂，都會破壞該圖的鏈接，代表系統的失敗。當每次故障的故障原因已知時，資料通常採用競爭風險模型進行建模，JMP 多個版本都支援該模型。同時，當故障原因未知時，競爭風險混合模型是適當的。如果資訊遺失或無法收集，這種情況是有可能發生的。另一種可能的情況是無法立即識別故障原因，例如區分因製造製程不良而導致的磨損或因疲勞而導致的磨損。競爭風險混合模型具有以下形式的累積分佈函數：
其中 k 是已知常數，Fi 是單獨的累積分佈函數。請注意，的形式與競爭風險模型的形式一致。不同之處在於資料類型和推斷。
資料格式
這兩個混合模型所使用的資料格式與常規壽命分佈中使用的資料格式相同。也就是說，數據僅包含事件發生時間的信息，包括時間和審查方案。
使用功能
像平常一樣輸入資料並啟動壽命分佈。結果報告有兩個新的選單項目：適合混合和適配競爭風險混合，分別用於有限混合和競爭風險混合模型。透過選擇任一選單項，平台會新增一個大綱節點，該節點由配置使用者介面和顯示最終結果的報告組成。對於這兩種類型的模型，配置使用者介面是相同的；見圖1。配置使用者介面允許選擇成分和每種成分的數量。對於成分，我們不僅限於混合分佈中的單一類型分佈。例如，可以混合對數常態分佈和威布爾分佈。
軟體還需要了解一些關於如何混合成分的假設，以便軟體可以花費合理的精力來得出解決方案。我們採用三種配方來混合原料。它們如圖 2、3 和 4 所示。在圖 2 中，兩種正常成分混合在一起，但直方圖僅顯示單一資料簇。圖3中，兩種普通成分混合，直方圖呈現兩種不同的模式。因此，簇的數量等於成分的數量。在圖 4 中，混合了三種正常成分，其中兩種成分可以很好地分離，但第三種成分會膨脹到另外兩種成分中。這樣，簇的總數小於成分的總數。根據對成分混合方式的假設，我們可以計算參數的起始值，該起始值可能接近最終估計值。我們將這些假設作為起始價值方法，並作為一種選擇，或一種信念，交到使用者手中。
透過選擇成分類型、成分數量以及計算起始值的方法，平台將嘗試找到參數的最大似然估計。並且，隨著成分類型的不同，成分數量的增加，起始值方法從單一聚類移動到可分離聚類，然後再移動到重疊聚類，計算時間會增加。重疊聚類起始值方法通常需要較長的計算時間。最終的報告將列出估計值和主要圖表。該報告還允許人們比較不同的混合模型來做出決策。
獨立破壞性退化分析平台
破壞性退化平台是從退化性平台發展而來的。目的是簡化現有方法的使用。此分析是透過使用（對數）位置尺度分佈來對資料進行建模，其位置參數是時間的函數，無論是否有其他因素。
例如，圖 5 繪製了黏合劑黏合數據，該數據可在 JMP 中的樣本數據中找到。每個平方點代表特定時間的測量讀數。此處測量的是每個測試單元中兩個表面之間黏合力的破壞強度。測量結果可以是刪失值。例如，在圖 5 中，上方實心三角形點是右刪失的。它們的意思是強度比記錄的強度大一些，可能是因為指定的強度無法破壞鍵。 在逐漸增加強度之後，最終鍵斷裂，但在動態過程中對強度的測量並不準確。圖中的顏色代表不同的溫度。每個測試單元都放置在恆溫環境中。
分析需要回答的問題包括：
- 隨著時間的推移，研究對象的興趣如何降低？
- 在給定時間內，退化測量值超過給定閾值的機率是多少？
- 一定比例的單元的退化測量將在什麼時候超過給定的閾值？
此模型的一個合理用途是確定更換已退化單元的時間。
根據數據，該平台提供了四種選擇的選項。第一是分佈。分析關注的是給定時間、給定固定條件時退化測量值的分佈。第二和第三是退化測量和時間的變換。在分析之前，允許對資料進行轉換。第四個是退化的定義，它是定義所選分佈的位置參數的函數。
資料格式
該平台期望至少包含退化措施和採取措施的相關時間的數據。可以對退化指標進行審查，審查方案與「壽命分佈」平台和「生存」平台中定義的審查方案相同，只是單位與時間無關。該平台承擔一個可選的X角色。這可以是溫度、電壓或只是批次指示器。通常我們比較感興趣的是帶有X的數據，尤其是當X是連續的時候。
使用平台
該平台的圖形用戶介面由數據和當前模型的覆蓋、模型配置小部件的面板以及收集詳細模型報告的地方組成。數據點和目前模型的疊加可以讓人們快速評估模型的適用性。
分佈、變換和路徑定義的選擇可能取決於領域知識。工作流程可能會按照顯示的順序進行。然而，從經驗上看，當一開始就沒有單一好的候選模型時，逆向求解可能是可行的選擇。
路徑定義面板列出了位置參數支援的所有函數定義。對於每個函數，除了其表達圖像之外，還有一個縮圖，描繪最終擬合的函數。透過比較擬合函數的形狀和實際數據，人們可以更了解哪種路徑定義更合適。選擇路徑定義後，就可以進行變換了。有九種不同的變換組合。最後，可以改變分佈。他們一共有八個人。
總共有十三個路徑定義。前六個都是參數線性的；見圖 7。如果分佈屬於位置尺度族，則擬合函數在變換空間中為直線。如果選擇對數位置尺度分佈，則圖中的實線將是彎曲的。圖中實線上的點是與各個分佈、時間和其他因素相關的中位數。陰影邊界上的點是下百分位數和上百分位數。
接下來的四個有類似的表達；見圖8。透過查看縮圖，可以注意到它們在垂直位置和單調性上有所不同。它們是 Meeker 和 Escobar（1998）第 21 章中通用模型的預先配置版本。這裡的每個版本都以某些參數受到約束的方式進行配置，以便路徑定義與其縮圖相符。並且，透過比較四幅圖像可以很容易地看出它們的差異。第一個從某個非零值開始增加，直到達到漸近線。第二個從零開始增加，直到達到漸近線。第三、第四個類似，但是不但沒有增加，反而減少了。與前六個線性路徑定義相比，這四個縮圖具有額外的虛線曲線。虛線曲線表示模型可以沿著X變數外推。例如，如果X是溫度，這四個模型可用於預測某個溫度下的量，則該量的值不在資料集中。
最後三個形狀也相似。它們在縮圖中顯示為時間上的直線。然而，它們的路徑定義在參數上並不是線性的。它們看起來是直線的原因是它們的斜率只是參數和 X 變數的函數。這也允許模型沿著X變數進行外推。因此，我們可以看到縮圖中有虛線。
配置模型後，資料點和擬合模型的疊加看起來合適，應該透過點擊路徑定義面板下方的生成報告按鈕來儲存模型。然後，該平台產生該模型的詳細報告，包括路徑定義的公式圖、估計報告和三個可以回答我們前面提到的問題的分析器。此外，模型摘要資訊也加入到模型清單面板中，以便進行模型比較。在這裡，我們查看黏合劑黏合數據的報告，以了解如何解釋這三個分析器。
第一個分析器是退化分析器。它的第一幀顯示了整個退化路徑的估計，給定第二幀中指定的溫度 60。圖中實線和虛線分別表示退化測量分佈的中位數和 95% 下限和上限百分位數。在圖 10 中，縱軸上的讀數表示 8 處退化測量分佈的中位數和 95% 百分位數日一周，在恆定的60度環境下。
第二個分析器是交叉機率分析器。它的第三框繪製了累積密度函數（CDF）。它描述了在給定時間、給定條件下對退化測量分佈的估計。在圖11中，時間為8週，條件為60度。縱軸上的讀數顯示大約有 91% 的測量值將低於 58.5。區間是該估計值的信心區間。
第三個分析器是交叉時間分析器。儘管分析器呈現三條曲線，但我們僅將縱軸上的讀數解釋為在給定條件下一定百分比的測量值低於給定閾值的時間的估計值和置信區間。在圖12中，百分比為50％，溫度條件為60度，閾值在58.5左右。
可靠度預測平台中按組別劃分的變動成本
可靠性預測中的按組變動成本，顧名思義，可以用於預測與故障相關的金額。換句話說，不同類型的故障可能造成不同嚴重程度的後果，而不同嚴重程度的後果所需的金錢數量也不同。貨幣預測任務不僅關心特定類型故障造成的金額，也關心所有類型故障造成的總金額。且總額上的一些數量並不是個別數量總和。我們在下一段舉一個假設的例子。
假設我們預測修復兩種仍在保固期內的筆記型電腦型號的總成本。為了簡化討論，我們假設所有筆記型電腦都是一年前售出的，每種類型的 n1 和 n2 仍處於兩年保固期內。兩種類型的平均修復成本不同。假設成本分別為m1和m2。明年的歸還數量將為N1和N2。我們使用大寫字母來表示隨機變量，因為下一年返回的數量將不是固定的數字。計算 N1 和 N2 的預期值很容易。並且總和的期望值等於期望值的總和，這很容易。然而，這些隨機變數的變化以及這些隨機變數的總和也非常重要。
在計算幾個隨機變數總和的變化時，加法規則通常不起作用。例如，幾個隨機變數總和的變異數不等於各個隨機變數的變異數總和，即
。為了計算方差等量，如果 N1+N2 的變異數沒有封閉形式，我們通常必須使用模擬方法。透過允許不同的成本，我們可以計算這些數量的縮放版本，例如 Var(m1N1)、Var(m2N2) 和 Var(m1N1+m2N2)。大多數計算仍然透過模擬進行，除非使用者編寫自己的腳本，否則通常不容易設定。
使用功能
預設情況下，該平台假設預測故障數量是分析的任務。為了將任務切換到預測成本，應該檢查「預測」大綱節點選單下的選單項目「使用失敗成本」;參見圖13第一張截圖，勾選之後平台會詢問所有組別的費用數值。應該輸入合理的值，然後按一下“確定”按鈕確認。選單系統將附加一個新的選單項目「設定失敗成本」以允許進行更改；請參閱圖13中的第二張螢幕截圖。
應用成本後，圖表將允許人們為每個組配置未來的生產、自己的合約期限以及他們自己適當的失敗分佈。結果將包括各個團體的預測成本和總成本。如果勾選「顯示間隔」選項，預測的下限和上限將顯示為陰影區域。
可靠性框圖中的組件整合重要性
構件綜合重要性（CII）是一個新的標準，可用來評估系統中構件的重要性。透過比較我們在先前的版本中已有的內容，即 Birnbaum 的組件重要性 (BCI)，可以更容易理解 CII。用通俗的語言來說，特定元件 Ci 的 BCI 就是由於 Ci 故障而導致整個系統故障的機率。基於BCI，工程師通常考慮提高與較大BCI值相關的組件的可靠性。
在我們的實作中，CII 不是一個機率，它與風險率有關。在不同的語境下，它有不同的表現。原始形式在 Si 等。等（2012）考慮具有離散風險轉移率的多狀態系統。在我們的可靠性框圖中，我們只考慮兩種狀態：故障和生存。且我們的風險轉移率是連續的，由風險函數表示。在確定其公式中的等效元素之後，我們對組件 Ci 的 CII 的實現是 BCI 與組件 Ci 的風險函數的乘積。
一個例子
我們用一個例子來說明BCI和CII的差別。圖 14 描繪了飛機的框圖設計。該圖已簡化。總體來說，該圖是一個串聯繫統，包括一個駕駛艙、一個塊中的四個發動機、一個控制系統和兩個獨立塊中的機翼。如果任何一塊發生故障，飛機就會墜毀。對於作為子圖的四台引擎來說，它們基本上是並行的。我們在每個機翼上配置了兩台發動機，並且只要每個機翼上至少有一台發動機運轉，我們認為飛機就應該能夠從發動機獲得足夠的油門。
首次故障時間的分佈如圖 15 所示。我們感興趣的是時間 0 到時間 200 之間的系統效能。
若要查看 BCI 覆蓋，應按照文件中的說明進行操作，並檢查與圖表相關的「顯示 BCI」選單項目。圖 16 繪製了該圖的 BCI 疊加圖，時間範圍在 0 到 200 之間。該圖隱藏了重複的元素，例如三個發動機和一個機翼。在圖中，我們可以看到重要性從高到低的順序是：駕駛艙、控制系統、機翼、引擎。控制系統和機翼的重要性相近。
要查看 CII 覆蓋，對應的選單項目是“顯示組件綜合重要性”，往下第二個是“顯示 BCI”。圖 17 繪製了該圖的 CII 疊加圖，其中 Wing 的重要性與 Engine 更接近，位於圖的底部。直到我們看一下每個成分的風險函數，原因才變得明顯；見圖18。我們可以看到Wing在這架飛機上始終具有最小的故障率。
CII 是作為系統可靠性工程決策的補充而不是替代方案提供的。人們很快就會注意到 CII 沒有條件對應物，因為我們在 BCI 旁邊提供了條件 BCI。首先我們應該看看為什麼我們提供條件 BCI，這在其他軟體中可能不存在。我們的BCI在業界通常被稱為時間依賴性BCI，它將所有組件的重要性指數繪製為從零到未來任意時間的時間函數。圖表的視角處於時間點零，此時系統根本尚未使用。條件BCI提供了動態的前向視角，其時間點可以是零之後的任何時間。條件 BCI 的計算是透過簡單地用條件可靠性取代可靠性，並將生存時間作為額外參數。另一方面，我們不提供 CII 的條件版本。原因之一是風險函數的概念中已經包含了存活時間。我們不明白如果在計算CII時將生存時間引入到其他部分會意味著什麼。
參考
Luis Escobar 和 William Q. Meeker，《加速破壞性退化試驗：數據、模型和分析》，未發表的手冊腳本。
司樹斌、杜紅岩、趙希斌、張勝貴、孫樹東，2012，基於系統性能損失的部件狀態綜合重要性度量，IEEE Transactions on Reliability，Vol. 61，第1號。
