Peng Liu, JMP, Estadístico principal de investigación y desarrollo, SAS
Este documento presenta cuatro características añadidas a JMP 12. La primera es el modelado de la distribución de mezclas en la plataforma de Distribución de Vida Útil. El tipo de mezcla puede ser finita o de riesgo competitivo latente. El modelado de la distribución de mezclas permite un número arbitrario de tipos de componentes distribucionales. La segunda es una plataforma independiente de modelado de degradación destructiva. Esta plataforma proporciona una interfaz intuitiva para realizar el análisis. La tercera es la asignación de diferentes costos a diferentes grupos en la plataforma de Pronóstico de Confiabilidad. Esto permite al usuario agregar incertidumbres monetarias de recursos no homogéneos. La cuarta es un nuevo criterio de importancia de componentes en la plataforma de Diagrama de Bloques de Confiabilidad. Este nuevo criterio integra la importancia estructural de un componente en el sistema y el riesgo de fallo de dicho componente en un momento dado.
Modelado de mezclas en la plataforma de distribución de vida
En esta versión, ofrecemos dos tipos de modelos de mezcla. El primero se conoce como modelo de mezcla finita, un nombre común en la literatura. El segundo se denomina modelo de mezcla de riesgos competitivos. Hasta donde sabemos, este modelo aún no tiene un nombre común.
El modelo de mezcla finita prescribe una función de distribución acumulativa en la siguiente forma:
donde k es una constante conocida, w i son pesos y suman uno, F i son funciones de distribución acumulativa individuales. Si F i son distribuciones normales, entonces F se conoce como una distribución gaussiana finita. La investigación sobre la distribución gaussiana finita sigue activa en la literatura. La investigación en otras situaciones está emergiendo. En nuestro software, permitimos que Fi sea cualquier distribución compatible, además de Normal. Y Fi puede ser de diferentes tipos, por ejemplo, es Lognormal y es Weibull. El modelo de mezcla finita podría ser apropiado en el análisis de datos de confiabilidad cuando los sujetos de interés pertenecen a subpoblaciones heterogéneas. Por ejemplo, las características de vida útil de un producto se ven afectadas por factores incontrolables, debido a diferentes fabricantes, materiales y entornos; las características de vida útil de un producto se ven afectadas por situaciones de uso poco claras, debido a las intensidades de uso y las condiciones de uso.
El modelo de riesgo competitivo mixto también se denomina modelo de modos de fallo latentes. Normalmente, cuando hablamos de riesgo competitivo, nos referimos a un objeto cuya causa de fallo se debe a una entre varias posibilidades. Las posibles causas compiten entre sí. La ocurrencia más temprana de cualquier causa determina la causa y el tiempo de fallo de un objeto. El objeto suele describirse como un sistema en serie, donde cada causa de fallo es un nodo en el grafo de la serie. La ruptura de cualquier nodo del grafo rompe la conexión del grafo, que representa el fallo del sistema. Cuando se conoce la causa del fallo para cada fallo, los datos suelen modelarse mediante el modelo de riesgo competitivo, compatible con JMP en numerosas versiones. Por otro lado, el modelo de riesgo competitivo mixto es adecuado cuando se desconocen las causas del fallo. Esta situación es plausible si la información se pierde o no se puede recopilar. Otra situación plausible es cuando la causa del fallo no se puede identificar inmediatamente; por ejemplo, para diferenciar un fallo de un desgaste debido a un proceso de fabricación deficiente o desgaste por fatiga. El modelo de riesgo competitivo mixto tiene una función de distribución acumulativa de la siguiente forma:
Donde k es una constante conocida, las Fi son funciones de distribución acumulativa individuales. Observe que la forma de [F] coincide con la de un modelo de riesgo competitivo. Lo que difiere es el tipo de datos y la inferencia.
Formato de datos
El formato de datos para los dos modelos de mezcla es idéntico al empleado en la distribución de vida normal. Es decir, los datos contienen únicamente información sobre el tiempo transcurrido hasta el evento, incluyendo el tiempo y los esquemas de censura.
Utilice la función
Introduzca los datos y ejecute la Distribución de Vida como de costumbre. El informe resultante incluye dos nuevos elementos de menú: Ajustar Mezcla y Ajustar Mezcla de Riesgo Competitivo, para los modelos de mezcla finita y mezcla de riesgo competitivo, respectivamente. Al seleccionar cualquiera de los elementos de menú, la plataforma añade un nodo de esquema que consta de interfaces de usuario de configuración e informes que presentan los resultados finales. Para ambos tipos de modelos, las interfaces de usuario de configuración son idénticas (véase la Figura 1). La interfaz de usuario de configuración permite seleccionar los ingredientes y la cantidad de cada uno. En el caso de los ingredientes, no estamos limitados a un solo tipo de distribución en una distribución de mezcla. Por ejemplo, se pueden combinar una distribución lognormal y una Weibull.
El software también necesita conocer algunas presunciones sobre cómo se mezclan los ingredientes, de modo que el software pueda dedicar una cantidad razonable de esfuerzos para llegar a una solución. Suponemos tres recetas para mezclar ingredientes. Se ilustran en las Figuras 2, 3 y 4. En la Figura 2, se mezclan dos ingredientes normales, pero el histograma solo presenta un único grupo de datos. En la Figura 3, se mezclan dos ingredientes normales y el histograma presenta dos modas distintas. Por lo tanto, el número de grupos es igual al número de ingredientes. En la Figura 4, se mezclan tres ingredientes normales, entre los cuales dos son bien separables, pero el tercer ingrediente se infla en los otros dos. De modo que el número total de grupos es menor que el número total de ingredientes. Con base en las presunciones de cómo se mezclan los ingredientes, podemos calcular valores iniciales para los parámetros, que podrían estar cerca de las estimaciones finales. Etiquetamos las presunciones como los métodos de valor inicial y los ponemos en manos de los usuarios como una elección o como una creencia.
Al seleccionar los tipos y cantidades de ingredientes, y un método para calcular los valores iniciales, la plataforma intentará obtener las estimaciones de máxima verosimilitud de los parámetros. El tiempo de cálculo aumenta a medida que varían los tipos y cantidades de ingredientes, y a medida que el método de valor inicial pasa de un solo grupo a grupos separables y, posteriormente, a grupos superpuestos. Este método suele requerir un tiempo de cálculo prolongado. El informe resultante incluirá estimaciones y gráficos principales. Además, permite comparar diferentes modelos de mezcla para tomar una decisión.
Plataforma independiente de análisis de degradación destructiva
La plataforma de Degradación Destructiva surge de la plataforma de Degradación. Su objetivo es facilitar el uso de las metodologías existentes. El análisis consiste en modelar los datos mediante una distribución de escala de ubicación (logaritmo), cuyo parámetro de ubicación es una función del tiempo, con o sin otros factores.
Por ejemplo, la Figura 5 muestra los datos de adhesión, disponibles entre los datos de muestra de JMP. Cada punto cuadrado representa una lectura de medición en un momento determinado. La medición aquí representa la fuerza que rompe la adhesión entre las dos superficies en cada unidad de prueba. La medición puede ser valores censurados. Por ejemplo, en la Figura 5, los puntos del triángulo sólido superior están censurados a la derecha. Esto significa que la fuerza es un valor mayor que el registrado, probablemente porque la fuerza designada no puede romper la adhesión. Tras aumentar gradualmente la fuerza, finalmente se rompió la adhesión, pero la medición de la fuerza no es precisa en el proceso dinámico. Los colores en el gráfico indican diferentes temperaturas. Cada unidad de prueba se colocó en un entorno con temperatura constante.
Las preguntas que se deben responder con el análisis incluyen:
- ¿Cómo se degrada con el tiempo un objeto de estudio de interés?
- ¿Cuál es la probabilidad de que la medición de la degradación supere un umbral determinado en un momento determinado?
- ¿Cuál es el momento en el que la medición de la degradación de una determinada fracción de unidades superará un umbral determinado?
Un uso plausible del modelo es determinar el momento de reemplazar las unidades que se han degradado.
Dados los datos, la plataforma ofrece cuatro opciones. La primera es la distribución. El análisis se centra en cómo se distribuyen las mediciones de degradación en un momento dado, dadas las condiciones fijas. La segunda y la tercera son transformaciones de las mediciones de degradación y el tiempo. Los datos pueden transformarse antes de su análisis. La cuarta es la definición de la degradación, que es una función que define el parámetro de ubicación de la distribución elegida.
Formato de datos
La plataforma espera datos que incluyan, como mínimo, medidas de degradación y los momentos en que se toman. Las medidas de degradación pueden censurarse, y los esquemas de censura son idénticos a los definidos en las plataformas Life Distribution y Survival, excepto que la unidad no está relacionada con el tiempo. La plataforma asume una función X opcional, que puede ser temperatura, voltaje o simplemente un indicador de lote. Normalmente, son los datos con X los que nos interesan más, especialmente cuando X es continuo.
Utilice la plataforma
La interfaz gráfica de usuario de la plataforma consta de una superposición de datos y el modelo actual, un panel de widgets de configuración del modelo y un espacio para recopilar informes detallados del modelo. La superposición de los puntos de datos y el modelo actual permite evaluar rápidamente la idoneidad del modelo.
La elección de distribuciones, transformaciones y definiciones de rutas probablemente dependa del conocimiento del dominio. El flujo de trabajo podría seguir el orden mostrado. Sin embargo, empíricamente, cuando no existe un único modelo candidato válido desde el principio, el cálculo inverso podría ser una alternativa viable.
El panel "Definición de ruta" enumera todas las definiciones de función compatibles con el parámetro de ubicación. Para cada función, además de su imagen de expresión, hay una miniatura que representa la función ajustada final. Al comparar la forma de la función ajustada con los datos reales, se puede determinar con mayor precisión qué definición de ruta es la más adecuada. Tras elegir la definición de ruta, se puede experimentar con las transformaciones. Hay nueve combinaciones diferentes de transformaciones. Finalmente, se puede modificar la distribución (ocho de ellas).
Hay un total de trece definiciones de ruta. Las primeras seis son lineales en sus parámetros (véase la Figura 7). Las funciones ajustadas son líneas rectas en el espacio transformado si la distribución pertenece a la familia de ubicación-escala. Si se elige una distribución logarítmica de ubicación-escala, las líneas continuas del gráfico serán curvas. Los puntos en las líneas continuas del gráfico son las medianas asociadas con cada distribución, el tiempo y otros factores. Los puntos en los límites de las sombras son los percentiles inferior y superior.
Las siguientes cuatro tienen expresiones similares; véase la Figura 8. Al observar las imágenes en miniatura, se puede observar que difieren en posiciones verticales y monotonía. Son versiones preconfiguradas del modelo general del Capítulo 21 de Meeker y Escobar (1998). Cada versión está configurada de forma que ciertos parámetros están restringidos, de modo que las definiciones de ruta coinciden con sus imágenes en miniatura. Es fácil comparar cuatro imágenes para identificar sus diferencias. La primera parte de un valor distinto de cero y aumenta hasta alcanzar una asíntota. La segunda parte de cero y aumenta hasta alcanzar una asíntota. La tercera y la cuarta son similares, pero decrecen en lugar de aumentar. En comparación con las primeras seis definiciones de ruta lineal, estas cuatro imágenes en miniatura tienen curvas discontinuas adicionales. La curva discontinua indica que el modelo se puede extrapolar a lo largo de la variable X. Por ejemplo, si X es la temperatura, estos cuatro modelos se pueden utilizar para predecir cantidades bajo una temperatura, cuyo valor no está en el conjunto de datos.
Los tres últimos también son similares en forma. En las miniaturas, parecen líneas rectas en el tiempo. Sin embargo, sus definiciones de trayectoria no son lineales en cuanto a parámetros. La razón por la que parecen líneas rectas es que sus pendientes son funciones únicamente de los parámetros y de la variable X. Esto también permite extrapolar el modelo a lo largo de la variable X. Por lo tanto, podemos ver líneas discontinuas en las miniaturas.
Tras configurar el modelo y comprobar que la superposición de los puntos de datos y el modelo ajustado es adecuada, se debe guardar el modelo haciendo clic en el botón "Generar informe", justo debajo del panel "Definición de ruta". La plataforma genera un informe detallado del modelo, que incluye una imagen de la fórmula de la definición de ruta, un informe de estimaciones y tres perfiladores que responden a las preguntas mencionadas anteriormente. Además, la información resumida del modelo se añade al panel "Lista de modelos" para su comparación. Aquí, analizamos el informe de los datos de unión adhesiva para comprender cómo interpretar los tres perfiladores.
El primer perfilador es el Perfilador de Degradación. Su primer marco muestra la estimación de la trayectoria completa de degradación, dada la temperatura de 60°C, especificada en el segundo marco. La mediana y los percentiles inferior y superior del 95% de la distribución de la medición de degradación se representan mediante la curva continua y las curvas discontinuas en el gráfico. En la Figura 10, las lecturas en el eje vertical indican la mediana y los percentiles del 95% de la distribución de la medición de degradación a 8°C.elsemana, bajo un ambiente constante de 60 grados.
El segundo perfilador es el Perfilador de Probabilidad de Cruce. Su tercer marco dibuja una función de densidad acumulada (CDF). Esta representa la estimación de la distribución de la medición de degradación bajo la condición dada, en el momento dado. En la Figura 11, el tiempo es de 8 semanas y la condición es de 60 grados. La lectura en el eje vertical indica que aproximadamente el 91 % de las mediciones estarán por debajo de 58,5. El intervalo es el intervalo de confianza para esa estimación.
El tercer perfilador es el Perfilador de Tiempo de Cruce. Si bien presenta tres curvas, solo interpretamos la lectura del eje vertical como la estimación y el intervalo de confianza del tiempo en que un cierto porcentaje de mediciones, en condiciones dadas, caerá por debajo de un umbral determinado. En la Figura 12, el porcentaje es del 50 %, la temperatura es de 60 grados y el umbral es de alrededor de 58,5 grados.
Costos variables por grupo en la plataforma de pronóstico de confiabilidad
Los costos variables por grupo en el pronóstico de confiabilidad, como su nombre indica, son útiles para pronosticar el monto monetario asociado con las fallas. En otras palabras, los diferentes tipos de fallas pueden tener diferentes grados de severidad, y cada grado de severidad cuesta una cantidad de dinero diferente. La tarea del pronóstico monetario se centra no solo en el monto debido a un tipo específico de falla, sino también en el monto total de todos los tipos de fallas. Además, algunas cantidades del monto total no son la suma de las cantidades individuales. Presentamos un ejemplo hipotético en el siguiente párrafo.
Supongamos que estamos pronosticando el costo total de reparar dos modelos de computadoras portátiles que aún están bajo garantía. Para simplificar la discusión, suponemos que todas las computadoras portátiles se vendieron hace un año, y todavía hay n1 y n2 de cada tipo que aún están bajo una garantía de dos años. Los costos de reparación promedio de dos tipos son diferentes. Supongamos que los costos son m1 y m2 respectivamente. Las cantidades devueltas en el próximo año serán N1 y N2. Usamos letras mayúsculas para representar variables aleatorias, porque las cantidades devueltas en el próximo año no serán números fijos. Calcular los valores esperados de N1 y N2 es fácil. Y el valor esperado de la suma es igual a la suma de los valores esperados, lo cual es fácil. Sin embargo, las variaciones de esas variables aleatorias y la suma de esas variables aleatorias también son muy importantes.
Al calcular la variación de la suma de varias variables aleatorias, la regla aditiva no suele funcionar. Por ejemplo, la varianza de la suma de varias variables aleatorias no es igual a la suma de las varianzas de las variables aleatorias individuales, es decir 
Para calcular una cantidad como la varianza, a menudo es necesario usar métodos de simulación si la varianza de N1+N2 no tiene una forma cerrada. Al permitir diferentes costos, calculamos las versiones escaladas de esas cantidades, como Var(m1N1), Var(m2N2) y Var(m1N1+m2N2). La mayoría de los cálculos se realizan mediante simulación, que normalmente no es fácil de configurar para los usuarios a menos que escriban sus propios scripts.
Utilice la función
Por defecto, la plataforma asume que la predicción de la cantidad de fallos es la tarea del análisis. Para cambiar la tarea a la predicción de costes, se debe marcar la opción "Usar coste de fallo" en el menú del nodo "Pronóstico" (véase la primera captura de pantalla en la Figura 13). Tras marcarla, la plataforma solicitará los valores de los costes de todos los grupos. Se deben introducir valores razonables y hacer clic en "Aceptar" para confirmar. El sistema de menús añadirá la opción "Establecer coste de fallo" para permitir realizar cambios (véase la segunda captura de pantalla en la Figura 13).
Tras aplicar los costos, el gráfico permitirá configurar las producciones futuras de cada grupo, la duración de sus contratos y la distribución de fallos correspondiente. Los resultados incluirán los costos pronosticados de cada grupo y el total. Si se selecciona la opción "Mostrar intervalo", los límites inferior y superior del pronóstico aparecerán como áreas sombreadas.
Diagrama de bloques de importancia de los componentes integrados en la confiabilidad
La Importancia Integrada de Componentes (CII) es un nuevo criterio que permite evaluar la importancia de un componente en un sistema. Es más fácil comprender la CII comparando lo que ya se incluía en la versión anterior: la Importancia de Componentes de Birnbaum (BCI). En términos sencillos, la BCI de un componente específico (Ci) es la probabilidad de que falle todo el sistema debido a una falla de Ci. Con base en la BCI, los ingenieros suelen considerar aumentar la fiabilidad de los componentes asociados con valores de BCI más altos.
En nuestra implementación, el CII no es una probabilidad, sino que está relacionado con la tasa de riesgo. Adopta diferentes formas en distintos contextos. La forma original de Si et. al. (2012) considera un sistema de múltiples estados con tasas de transición de riesgo discretas. En nuestro Diagrama de Bloques de Confiabilidad, solo consideramos dos estados: fallo y supervivencia. Nuestra tasa de transición de riesgo es continua, representada por la función de riesgo. Tras identificar elementos equivalentes en su formulación, nuestra implementación del CII del componente Ci es una multiplicación del BCI por la función de riesgo del componente Ci.
Un ejemplo
Utilizamos un ejemplo para ilustrar la diferencia entre BCI y CII. La Figura 14 muestra el diseño de un diagrama de bloques para una aeronave. El diagrama se ha simplificado. En general, el diagrama es un sistema en serie que incluye una cabina, cuatro motores en un bloque, un sistema de control y dos alas en bloques separados. Si algún bloque falla, la aeronave se estrella. En el subdiagrama, los cuatro motores están básicamente en paralelo. Configuramos dos motores en cada ala, y mientras al menos un motor funcione en cada ala, consideramos que la aeronave debería poder obtener suficiente aceleración de los motores.
La distribución del primer tiempo hasta el fallo se muestra en la Figura 15. Y estamos interesados en el rendimiento del sistema entre el tiempo cero y el tiempo 200.
Para ver la superposición BCI, siga las instrucciones de la documentación y marque la opción "Mostrar BCI" del menú asociada al diagrama. La Figura 16 muestra el gráfico de superposición BCI de este diagrama, con un rango de tiempo entre 0 y 200. El gráfico oculta elementos duplicados, como tres motores y un ala. En el gráfico, se puede observar que el orden de importancia, de mayor a menor, es: cabina, sistema de control, ala y motor. La importancia del sistema de control y la del ala son similares.
Para ver la superposición CII, el elemento de menú correspondiente es "Mostrar Importancia Integrada del Componente" y, el segundo, "Mostrar BCI". La Figura 17 muestra el gráfico de superposición CII de este diagrama, donde la importancia del ala es cercana a la del motor, que se encuentra en la parte inferior del gráfico. La razón no es evidente hasta que observamos la función de riesgo de cada componente; véase la Figura 18. Podemos observar que el ala tiene la tasa de fallos más baja en todo momento en esta aeronave.
El CII se proporciona como complemento, no como alternativa, para la toma de decisiones en la ingeniería de confiabilidad del sistema. Pronto se observará que el CII no tiene una contraparte condicional, ya que proporcionamos una BCI condicional junto con la BCI. Primero, debemos analizar por qué proporcionamos BCI condicional, que probablemente no existe en otro software. Nuestro BCI, a menudo llamado BCI dependiente del tiempo en la industria, dibuja los índices de importancia de todos los componentes en función del tiempo desde cero hasta cualquier momento en el futuro. La perspectiva del gráfico se encuentra en el punto de tiempo cero, cuando el sistema no se ha utilizado en absoluto. El BCI condicional proporciona una perspectiva dinámica hacia adelante, donde el punto de tiempo puede ser cualquier momento posterior a cero. El cálculo de una BCI condicional se realiza simplemente reemplazando la confiabilidad por la confiabilidad condicional, considerando el tiempo de supervivencia como un argumento adicional. Por otro lado, no proporcionamos una versión condicional del CII. Una razón es que la función de riesgo ya incluye el tiempo de supervivencia en su concepto. No entendemos qué significa si introducimos el tiempo de supervivencia en otras partes al calcular el CII.
Referencias
Luis Escobar y William Q. Meeker, Ensayos de degradación destructiva acelerada: datos, modelos y análisis., Guión manual inédito.
Shubin Si, Hongyan Dui, Xibin Zhao, Shenggui Zhang y Shudong Sun, 2012, Medida de importancia integrada de los estados de los componentes basada en la pérdida de rendimiento del sistema, IEEE Transactions on Reliability, vol. 61, n.° 1.
