刘鹏，JMP首席研究统计开发人员，SAS
本文介绍了 JMP 12 新增的四个功能。第一个功能是“寿命分布”平台中的混合分布建模。混合类型可以是有限混合分布，也可以是潜在竞争风险混合分布。混合分布建模允许任意数量的任意类型的分布组件。第二个功能是独立的破坏性退化建模平台。该平台提供了友好的用户界面来进行分析。第三个功能是在“可靠性预测”平台中为不同组分配不同的成本。这允许用户汇总来自非同质资源的货币不确定性。第四个功能是“可靠性框图”平台中的新组件重要性标准。新标准整合了系统中组件的结构重要性和该组件在给定时间的故障风险。
寿命分布平台中的混合建模
我们在此版本中提供了两种类型的混合模型。第一种称为有限混合模型。该名称在文献中是众所周知的。第二种称为竞争风险混合模型。据我们所知，该模型尚未有一个通用名称。
有限混合模型规定了以下形式的累积分布函数：
其中 k 为已知常数，w i为权重且和为 1，F i为个体累积分布函数。如果 F i为正态分布，则 F 称为有限高斯分布。对有限高斯分布的研究在文献中仍然很活跃。对其他情况的研究正在兴起。在我们的软件中，除了正态分布之外，我们还允许 Fi 为任何支持的分布。并且 Fi 可以是不同类型，例如对数正态分布和威布尔分布。当感兴趣的对象来自异质子群体时，有限混合模型可能适用于可靠性数据分析。例如，由于制造商、材料和环境不同，产品的寿命特性会受到不可控因素的影响；由于使用强度和使用条件，产品的寿命特性会受到不明确的使用情况的影响。
竞争风险混合模型也称为潜在故障模式模型。通常，当我们提到竞争风险时，我们正在讨论一个对象的故障原因是几种可能性中的一种。并且可能的原因相互竞争。任何原因的最早发生决定了对象的故障原因和故障时间。对象通常被描述为一个串联系统，每个故障原因都是串联图中的一个节点。断开图中的任何节点都会断开图的连接，这代表系统的故障。当每个故障的故障原因已知时，数据通常由竞争风险模型建模，该模型在 JMP 中已支持多个版本。同时，当故障原因未知时，竞争风险混合模型是合适的。如果信息丢失或无法收集，这种情况是合理的。另一种可能的情况是无法立即识别故障原因，例如区分故障是因制造工艺不良而导致的磨损还是因疲劳而导致的磨损。竞争风险混合模型具有以下形式的累积分布函数：
其中 k 是已知常数，Fi 是个体累积分布函数。请注意，的形式与竞争风险模型的形式一致。不同之处在于数据类型和推论。
数据格式
两个混合模型使用的数据格式与常规寿命分布中使用的格式相同。也就是说，数据仅包含事件发生时间信息，包括时间和审查方案。
使用功能
像往常一样将数据输入并启动寿命分布。生成的报告有两个新菜单项：适合混合和适合竞争风险混合，分别用于有限混合和竞争风险混合模型。通过选择任一菜单项，平台将添加一个大纲节点，该节点由配置用户界面和显示最终结果的报告组成。对于这两种类型的模型，配置用户界面是相同的；参见图 1。配置用户界面允许选择成分和每种成分的数量。对于成分，我们不仅限于混合分布中的单一类型分布。例如，可以混合对数正态分布和威布尔分布。
软件还需要了解一些关于如何混合成分的假设，以便软件可以花费合理的精力来得出解决方案。我们假设有三种配方来混合成分。它们如图 2、3 和 4 所示。在图 2 中，两种普通成分混合在一起，但直方图仅显示一个数据簇。在图 3 中，混合了两种普通成分，直方图显示两种不同的模式。因此，簇的数量等于成分的数量。在图 4 中，混合了三种普通成分，其中两种成分可以很好地分离，但第三种成分会膨胀到其他两种成分中。因此簇的总数小于成分的总数。基于如何混合成分的假设，我们可以计算参数的起始值，这些起始值可能接近最终估计值。我们将这些假设标记为起始值方法，并作为选择或信念交到用户手中。
通过选择配料类型、配料数量和计算起始值的方法，平台将尝试找到参数的最大似然估计值。计算时间会随着配料类型的不同、配料数量的增加而增加，随着起始值方法从单一集群转变为可分离集群，进而转变为重叠集群。重叠集群起始值方法通常需要较长的计算时间。生成的报告将列出估计值、主要图表。报告还允许人们比较不同的混合模型以做出决策。
独立破坏性退化分析平台
破坏性退化平台源自退化平台。其目的是简化现有方法的使用。分析是使用（对数）位置尺度分布对数据进行建模，其位置参数是时间函数，有或没有其他因素。
例如，图 5 绘制了粘合剂粘合数据，该数据在 JMP 的样本数据中可用。每个平方点都是特定时间的测量读数。这里的测量值是破坏每个测试单元中两个表面之间粘合剂粘合的强度。测量值可以是删失值。例如，在图 5 中，上方实心三角形点是右删失的。它们意味着强度比记录的值大一些，可能是因为指定的强度无法破坏粘合。 在逐渐增加强度后，粘合最终被破坏，但在动态过程中对强度的测量并不准确。图中的颜色表示不同的温度。每个测试单元都放置在恒温环境下。
分析需要回答的问题包括：
- 随着时间的推移，研究对象的兴趣如何降低？
- 在给定时间内，退化测量值超过给定阈值的概率是多少？
- 一定比例的单元的退化测量将在什么时候超过给定的阈值？
该模型的一个合理用途是确定更换已退化单元的时间。
给定数据，平台提供四种选择。第一是分布。分析关注的是给定时间和给定条件下退化测量值的分布情况。第二和第三是退化测量值和时间的变换。数据可以在分析之前进行变换。第四是退化的定义，它是定义所选分布的位置参数的函数。
数据格式
该平台需要至少包含退化措施和相关措施实施时间的数据。可以对退化措施进行审查，审查方案与“寿命分布”平台和“生存”平台中定义的审查方案相同，只是单位与时间无关。该平台采用一个可选的 X 角色。可以是温度、电压或只是批次指示器。通常，我们更感兴趣的是带有 X 的数据，尤其是当 X 是连续时。
使用平台
该平台的图形用户界面由数据和当前模型的叠加层、模型配置小部件面板以及用于收集详细模型报告的位置组成。数据点和当前模型的叠加层允许人们快速评估模型的适用性。
分布、变换和路径定义的选择可能取决于领域知识。工作流程可能按照显示的顺序进行。但是，从经验上讲，当一开始没有一个好的候选模型时，逆向计算可能是一种可行的选择。
路径定义面板列出了位置参数支持的所有函数定义。对于每个函数，除了其表达式图像外，还有一个缩略图，用于描述最终拟合的函数。通过比较拟合函数的形状和实际数据，可以更好地了解哪种路径定义更合适。选择路径定义后，就可以进行变换了。有九种不同的变换组合。最后，可以更改分布。一共有八种。
总共有十三个路径定义。前六个都是线性参数；见图 7。如果分布属于位置尺度分布，则拟合函数在变换空间中为直线。如果选择对数位置尺度分布，则图中的实线将是弯曲的。图中绘制的实线上的点是与每个分布、时间和其他因素相关的中位数。阴影边界上的点是下百分位数和上百分位数。
接下来的四个具有相似的表达式，见图 8。通过查看缩略图，可以注意到它们在垂直位置和单调性上有所不同。它们是 Meeker 和 Escobar（1998）第 21 章中通用模型的预配置版本。这里的每个版本都以约束某些参数的方式配置，以使路径定义与其缩略图相匹配。并且很容易比较四幅图像来分辨它们的差异。第一个从某个非零值开始并增加，直到达到渐近线。第二个从零开始增加，直到达到渐近线。第三和第四个相似，但它们减少而不是增加。与前六个线性路径定义相比，这四个缩略图有额外的虚线。虚线表示模型可以沿 X 变量外推。例如，如果 X 是温度，则这四个模型可用于预测温度下的量，其值不在数据集中。
最后三个形状也相似。它们在缩略图中看起来是时间上的直线。但是，它们的路径定义在参数上不是线性的。它们看起来是直线的原因是它们的斜率仅是参数和 X 变量的函数。这也允许模型沿 X 变量外推。因此，我们可以看到缩略图中有虚线。
配置模型后，如果数据点和拟合模型的叠加看起来合适，则应单击“路径定义”面板下方的“生成报告”按钮来保存模型。然后，平台会生成该模型的详细报告，包括路径定义的公式图、估算报告和三个可以回答我们前面提到的问题的分析器。此外，模型摘要信息也会添加到“模型列表”面板中，以便进行模型比较。在这里，我们查看粘合剂粘合数据的报告，以了解如何解释这三个分析器。
第一个分析器是退化分析器。它的第一帧显示了整个退化路径的估计值，给定第二帧中指定的温度 60。退化测量分布的中位数和 95% 下百分位数和上百分位数由图中的实线和虚线表示。在图 10 中，纵轴上的读数表示 8 点退化测量分布的中位数和 95% 百分位数日一周，在恒定的60度环境下。
第二个分析器是交叉概率分析器。它的第三框绘制了累积密度函数 (CDF)。它描述了给定条件下给定时间的退化测量分布的估计值。在图 11 中，时间为 8 周，条件为 60 度。纵轴上的读数表明，大约 91% 的测量值将低于 58.5。区间是该估计值的置信区间。
第三个分析器是交叉时间分析器。虽然分析器呈现了三条曲线，但我们仅将纵轴上的读数解释为给定条件下一定百分比的测量值低于给定阈值的时间的估计值和置信区间。在图 12 中，百分比为 50%，温度条件为 60 度，阈值约为 58.5。
可靠性预测平台中按组划分的变动成本
可靠性预测中的组别变动成本，顾名思义，可用于预测与故障相关的金额。换句话说，不同类型的故障可能具有不同严重程度的后果，而不同严重程度的后果需要花费不同的金额。资金预测的任务不仅关心特定类型故障造成的金额，还关心所有类型故障的总金额。总金额中的某些数量并不是单个数量之和。我们在下一段中举了一个假设的例子。
假设我们预测修理两种仍在保修期内的笔记本电脑的总成本。为了简化讨论，我们假设所有笔记本电脑都是一年前售出的，并且每种类型仍有 n1 和 n2 台仍在两年保修期内。两种类型的平均维修成本不同。假设成本分别为 m1 和 m2。明年的退货数量将分别为 N1 和 N2。我们使用大写字母来表示随机变量，因为明年的退货数量不会是固定的数字。计算 N1 和 N2 的期望值很容易。并且和的期望值等于期望值的总和，这很容易。但是，这些随机变量的变化以及这些随机变量的总和也非常重要。
在计算多个随机变量之和的方差时，加法规则通常不起作用。例如，多个随机变量之和的方差不等于各个随机变量的方差之和，即
。为了计算方差等量，如果 N1+N2 的方差没有封闭形式，我们通常必须使用模拟方法。通过允许不同的成本，我们可以计算这些量的缩放版本，例如 Var(m1N1)、Var(m2N2) 和 Var(m1N1+m2N2)。大多数计算仍通过模拟进行，除非用户编写自己的脚本，否则通常不容易设置模拟。
使用功能
默认情况下，平台假设预测故障数量是分析的任务。为了将任务切换为预测成本，应选中“预测”大纲节点菜单下的菜单项“使用故障成本”；参见图 13 中的第一个屏幕截图。选中后，平台将要求输入所有组的成本值。应输入合理的值，然后单击“确定”按钮确认。菜单系统将添加一个新的菜单项“设置故障成本”以允许进行更改；参见图 13 中的第二个屏幕截图。
应用成本后，图表将允许配置每个组的未来生产、他们自己的合同期限以及他们自己适当的故障分布。结果将包括各个组的预测成本和总成本。如果选中“显示间隔”选项，预测的下限和上限将显示为阴影区域。
可靠性框图中的组件集成重要性
组件综合重要性 (CII) 是一种新标准，可用于评估系统中组件的重要性。通过比较我们在上一版本中已有的内容，即 Birnbaum 的组件重要性 (BCI)，可以更容易地理解 CII。用通俗的语言来说，特定组件 Ci 的 BCI 是通过 Ci 故障导致整个系统故障的概率。基于 BCI，工程师通常会考虑提高与较大 BCI 值相关的组件的可靠性。
在我们的实现中，CII 不是概率，它与风险率有关。它在不同的上下文中具有不同的形式。Si 等人 (2012) 中的原始形式考虑了具有离散风险转移率的多状态系统。在我们的可靠性框图中，我们仅考虑两种状态：故障和生存。我们的风险转移率是连续的，由风险函数表示。在确定其公式中的等效元素后，我们对组件 Ci 的 CII 的实现是 BCI 与组件 Ci 的风险函数的乘积。
一个例子
我们用一个例子来说明 BCI 和 CII 之间的区别。图 14 描绘了一架飞机的框图设计。该图已被简化。总体而言，该图是一个串联系统，包括一个驾驶舱、一个区块中的四个发动机、一个控制系统和两个独立区块中的机翼。如果任何一个区块发生故障，飞机就会坠毁。对于作为子图的四个发动机，它们基本上是并行的。我们在每个机翼上配置两个发动机，只要每个机翼上至少有一个发动机在运行，我们认为飞机应该能够从发动机获得足够的油门。
首次故障时间的分布如图 15 所示。我们感兴趣的是时间 0 到时间 200 之间的系统性能。
要查看 BCI 叠加图，应按照文档中的说明操作，并检查与图表相关的“显示 BCI”菜单项。图 16 绘制了此图表的 BCI 叠加图，时间范围在 0 到 200 之间。该图隐藏了重复的元素，例如三个发动机和一个机翼。在图中，我们可以看到重要性从高到低的顺序为：驾驶舱、控制系统、机翼和发动机。控制系统和机翼的重要性彼此接近。
要查看 CII 叠加，相应的菜单项是“显示组件综合重要性”，第二个是“显示 BCI”。图 17 绘制了此图的 CII 叠加图，其中机翼的重要性接近发动机，发动机位于图的底部。直到我们查看每个组件的风险函数时，原因才显而易见；参见图 18。我们可以看到机翼在这架飞机上始终具有最小的故障率。
CII 是作为系统可靠性工程决策的补充而不是替代方案提供的。人们很快就会注意到 CII 没有条件对应项，因为我们在 BCI 旁边提供了条件 BCI。首先，我们应该看看为什么我们提供条件 BCI，其他软件中可能不存在这种 BCI。我们的 BCI 在业界通常被称为时间依赖性 BCI，它将所有组件的重要性指标绘制为从零到未来任何时间的时间函数。图表的视角是在时间点零，此时系统根本没有使用。条件 BCI 提供了一个动态的前向视角，时间点可以是零之后的任何时间。条件 BCI 的计算只是用条件可靠性替换可靠性，并将生存时间作为额外参数。另一方面，我们不提供条件版本的 CII。一个原因是风险函数已经在其概念中包含了生存时间。我们不明白如果我们在计算 CII 时将生存时间引入其他部分意味着什么。
参考
Luis Escobar 和 William Q. Meeker，《加速破坏性退化试验：数据、模型和分析》，未发表的手册脚本。
司树斌，杜红岩，赵希斌，张胜贵，孙树东，2012，基于系统性能损失的部件状态综合重要性度量，IEEE Transactions on Reliability，第 61 卷，第 1 期。
