Peng Liu, JMP 수석 연구 통계학자, SAS 개발자
이 논문에서는 JMP 12에 추가된 네 가지 기능을 소개합니다.첫 번째는 Life Distribution 플랫폼의 혼합 분포 모델링입니다.혼합의 유형은 유한 혼합 분포 또는 잠재적 경쟁 위험 혼합 분포가 될 수 있습니다.혼합 분포 모델링은 임의의 수의 임의의 유형의 분포 구성 요소를 허용합니다.두 번째는 독립형 파괴적 저하 모델링 플랫폼입니다.이 플랫폼은 분석을 수행하기 위한 사용자 친화적인 인터페이스를 제공합니다.세 번째는 Reliability Forecast 플랫폼에서 다른 그룹에 다른 비용을 할당하는 것입니다.이를 통해 사용자는 비균질 리소스의 통화 불확실성을 집계할 수 있습니다.네 번째는 Reliability Block Diagram 플랫폼의 새로운 구성 요소 중요도 기준입니다.이 새로운 기준은 시스템의 구성 요소의 구조적 중요성과 주어진 시간에 해당 구성 요소의 실패 위험을 통합합니다.
생명 분포 플랫폼에서의 혼합 모델링
이 릴리스에서는 두 가지 유형의 혼합 모델을 제공합니다. 첫 번째는 유한 혼합 모델로 알려져 있습니다. 이 이름은 문헌에서 일반적으로 알려져 있습니다. 두 번째는 경쟁 위험 혼합 모델이라고 합니다. 저희가 아는 한, 이 모델은 아직 일반적인 이름이 없습니다.
유한 혼합 모델은 다음과 같은 형태의 누적 분포 함수를 규정합니다.
여기서 k는 알려진 상수이고, w i 는 가중치이며 합은 1이고, F i 는 개별 누적 분포 함수입니다. F i 가 정규 분포인 경우 F는 유한 가우스 분포로 알려져 있습니다. 유한 가우스 분포에 대한 연구는 문헌에서 활발히 진행되고 있습니다. 다른 상황에 대한 연구가 등장하고 있습니다. 저희 소프트웨어에서는 Fi가 정규 분포 외에 지원되는 모든 분포가 되도록 허용합니다. 그리고 Fi는 여러 유형이 될 수 있습니다. 예를 들어, 로그 정규 분포이고 와이블 분포입니다. 유한 혼합 모델은 관심 대상이 이질적인 하위 모집단에 속하는 경우 신뢰성 데이터 분석 에 적합할 수 있습니다. 예를 들어, 제품의 수명 특성은 제조업체, 재료 및 환경이 다르기 때문에 제어할 수 없는 요인의 영향을 받습니다. 제품의 수명 특성은 사용 강도 및 사용 조건으로 인해 불분명한 사용 상황의 영향을 받습니다.
경쟁 위험 혼합 모델은 잠재 고장 모드 모델이라고도 합니다. 일반적으로 경쟁 위험에 대해 언급할 때 우리는 여러 가능성 중 하나에 의한 고장 원인인 주체를 논의하고 있습니다. 그리고 가능한 원인들은 서로 경쟁합니다. 어떤 원인의 가장 빠른 발생은 객체의 고장 원인과 고장 시간을 결정합니다. 객체는 일반적으로 시리즈 시스템으로 설명되며, 각 고장 원인은 시리즈 그래프의 노드입니다. 그래프에서 노드를 끊으면 그래프의 연결이 끊어지고, 이는 시스템의 고장을 나타냅니다. 모든 고장에 대한 고장 원인이 알려져 있는 경우, 데이터는 일반적으로 JMP에서 여러 버전에 걸쳐 지원되어 온 경쟁 위험 모델에 의해 모델링됩니다. 한편, 경쟁 위험 혼합 모델은 고장 원인이 알려지지 않은 경우에 적합합니다. 정보가 손실되거나 수집할 수 없는 경우 이러한 상황이 가능합니다. 또 다른 가능한 상황은 고장 원인을 즉시 식별할 수 없는 경우입니다. 예를 들어, 불량 제조 공정으로 인한 마모나 피로로 인한 마모와 고장을 구별할 수 없는 경우입니다. 경쟁 위험 혼합 모델은 다음과 같은 형태의 누적 분포 함수를 갖습니다.
여기서 k는 알려진 상수이고, Fi는 개별 누적 분포 함수입니다. 경쟁 위험 모델의 형태와 일치하는 형태에 주목하세요. 다른 것은 데이터 유형과 추론입니다.
데이터 형식
두 혼합 모델에 사용할 데이터 형식은 일반적인 Life Distribution에서 사용된 것과 동일합니다. 즉, 데이터에는 시간 및 검열 계획을 포함하여 시간-이벤트 정보만 포함됩니다.
기능을 사용하세요
데이터를 입력하고 평소처럼 Life Distribution을 시작합니다. 결과 보고서에는 두 개의 새로운 메뉴 항목이 있습니다. 유한 혼합 모델과 경쟁 위험 혼합 모델에 대한 Fit Mixture와 Fit Competing Risk Mixture입니다. 두 메뉴 항목 중 하나를 선택하면 플랫폼에 구성 사용자 인터페이스와 최종 결과를 제시하는 보고서로 구성된 개요 노드가 추가됩니다. 두 유형의 모델 모두 구성 사용자 인터페이스는 동일합니다. 그림 1을 참조하세요. 구성 사용자 인터페이스를 사용하면 재료와 각 재료의 수를 선택할 수 있습니다. 재료의 경우 혼합 분포에서 단일 유형 분포로 제한되지 않습니다. 예를 들어 Lognormal과 Weibull을 혼합할 수 있습니다.
소프트웨어는 또한 재료가 어떻게 혼합되는지에 대한 몇 가지 가정을 알아야 하므로 소프트웨어가 솔루션을 내놓기 위해 합리적인 양의 노력을 기울일 수 있습니다.재료를 혼합하는 세 가지 조리법을 가정합니다.그림 2, 3 및 4에 설명되어 있습니다.그림 2에서 두 가지 일반 재료를 함께 혼합했지만 히스토그램은 단일 데이터 클러스터만 표시합니다.그림 3에서 두 가지 일반 재료를 혼합했고 히스토그램은 두 개의 별개의 모드를 표시합니다.따라서 클러스터 수는 재료 수와 같습니다.그림 4에서 세 가지 일반 재료를 혼합했는데 그 중 두 개는 잘 분리할 수 있지만 세 번째 재료는 다른 두 개로 부풀어 오릅니다.따라서 클러스터의 총 수는 재료의 총 수보다 적습니다.재료가 어떻게 혼합되는지에 대한 가정을 기반으로 매개변수의 시작 값을 계산할 수 있으며 이는 최종 추정치에 가까울 수 있습니다.가정을 시작 값 방법으로 레이블하고 선택 또는 신념으로 사용자에게 제공합니다.
재료의 종류, 재료의 양, 시작 값을 계산하는 방법을 선택하면 플랫폼은 매개변수의 최대 우도 추정치를 찾으려고 시도합니다. 그리고 재료의 종류가 다르고, 재료의 양이 증가하고, 시작 값 방법이 단일 클러스터에서 분리 가능한 클러스터로, 더 나아가 중첩 클러스터로 이동함에 따라 계산 시간이 증가합니다. 중첩 클러스터 시작 값 방법은 일반적으로 긴 계산 시간이 필요합니다. 결과 보고서에는 추정치와 주요 그래프가 나열됩니다. 그리고 보고서를 통해 다양한 혼합 모델을 비교하여 결정을 내릴 수도 있습니다.
독립형 파괴적 저하 분석 플랫폼
파괴적 저하 플랫폼은 저하 플랫폼에서 성장했습니다. 목적은 기존 방법론의 사용을 용이하게 하는 것입니다. 분석은 (로그)위치-스케일 분포를 사용하여 데이터를 모델링하는 것이며, 위치 매개변수는 다른 요인이 있든 없든 시간의 함수입니다.
예를 들어, 그림 5는 JMP의 샘플 데이터에서 사용 가능한 접착 결합 데이터를 표시합니다. 각 제곱 점은 특정 시간의 측정 판독값입니다. 여기서 측정은 각 테스트 단위의 두 표면 사이의 접착 결합을 끊는 강도입니다. 측정은 절사된 값일 수 있습니다. 예를 들어, 그림 5에서 위의 실선 삼각형 점은 오른쪽 절사되었습니다. 이는 강도가 기록된 것보다 더 큰 값임을 의미하는데, 아마도 지정된 강도로는 결합을 끊을 수 없기 때문일 것입니다. 강도를 점차적으로 증가시킨 후 마침내 결합이 끊어졌지만 강도에 대한 측정은 동적 프로세스에서 정확하지 않습니다. 그래프의 색상은 다른 온도를 나타냅니다. 각 테스트 단위는 일정한 온도의 환경에 두었습니다.
분석을 통해 답해야 할 질문은 다음과 같습니다.
- 관심 있는 연구 주제는 시간이 지남에 따라 어떻게 저하됩니까?
- 주어진 시간에 주어진 임계값을 넘는 저하 측정의 확률은 얼마입니까?
- 특정 단위의 분해 측정이 주어진 임계값을 넘는 시간은 언제입니까?
이 모델의 가능한 용도 중 하나는 성능이 저하된 장치를 교체할 시기를 결정하는 것입니다.
데이터가 주어지면, 플랫폼은 네 가지 선택 사항을 제공합니다. 첫 번째는 분포입니다. 분석은 고정된 조건에서 주어진 시간에 저하 측정이 어떻게 분포되는지에 관심이 있습니다. 두 번째와 세 번째는 저하 측정과 시간의 변환입니다. 데이터는 분석되기 전에 변환될 수 있습니다. 네 번째는 저하의 정의로, 선택한 분포의 위치 매개변수를 정의하는 함수입니다.
데이터 형식
플랫폼은 최소한 저하 측정과 측정이 수행되는 관련 시간을 포함하는 데이터를 기대합니다. 저하 측정은 검열될 수 있으며 검열 체계는 Life Distribution 플랫폼과 Survival 플랫폼에서 정의된 체계와 동일하지만 단위는 시간과 관련이 없습니다. 플랫폼은 하나의 선택적 X 역할을 수행합니다. 이는 온도, 전압 또는 배치 표시기일 수 있습니다. 일반적으로 X가 있는 데이터, 특히 X가 연속적인 경우 더 관심이 있습니다.
플랫폼을 사용하세요
플랫폼의 그래픽 사용자 인터페이스는 데이터와 현재 모델의 오버레이, 모델 구성 위젯 패널, 자세한 모델 보고서를 수집하는 장소로 구성됩니다. 데이터 포인트와 현재 모델의 오버레이를 통해 모델이 얼마나 적절한지 빠르게 평가할 수 있습니다.
분포, 변환 및 경로 정의의 선택은 아마도 도메인 지식에 따라 달라질 것입니다. 워크플로는 표시된 순서대로 될 수 있습니다. 그러나 경험적으로, 처음에 단일 좋은 후보 모델이 없는 경우 역추적을 하는 것이 실행 가능한 대안이 될 수 있습니다.
경로 정의 패널은 위치 매개변수에 대해 지원되는 모든 함수 정의를 나열합니다. 각 함수에는 표현식 이미지 외에도 최종 피팅 함수를 묘사하는 썸네일 이미지가 있습니다. 피팅 함수의 모양과 실제 데이터를 비교하면 어떤 경로 정의가 더 적합한지 더 잘 알 수 있습니다. 경로 정의를 선택한 후 변환을 사용할 수 있습니다. 변환에는 9가지 조합이 있습니다. 마지막으로 분포를 변경할 수 있습니다. 8가지가 있습니다.
총 13개의 경로 정의가 있습니다. 처음 여섯 개는 모두 매개변수에서 선형입니다. 그림 7을 참조하세요. 그리고 분포가 위치-스케일 패밀리에 속하는 경우 적합 함수는 변환된 공간에서 직선입니다. 로그-위치-스케일 분포를 선택하면 그래프의 실선은 곡선이 됩니다. 그래프에 그려진 실선의 점은 각 분포, 시간 및 기타 요인과 관련된 중앙값입니다. 음영 경계의 점은 하위 및 상위 백분위수입니다.
다음 네 가지는 유사한 표현을 가지고 있습니다. 그림 8을 참조하세요. 축소판 이미지를 보면 수직 위치와 단조성이 다르다는 것을 알 수 있습니다. 이것들은 Meeker와 Escobar(1998)의 21장에 있는 일반 모델의 사전 구성된 버전입니다. 여기의 각 버전은 특정 매개변수가 제한되어 경로 정의가 축소판 이미지와 일치하도록 구성되어 있습니다. 그리고 네 개의 이미지를 비교하여 차이점을 파악하는 것은 쉽습니다. 첫 번째 이미지는 0이 아닌 값에서 시작하여 점근선에 도달할 때까지 증가합니다. 두 번째 이미지는 0에서 시작하여 점근선에 도달할 때까지 증가합니다. 세 번째와 네 번째 이미지는 비슷하지만 증가하지 않고 감소합니다. 처음 여섯 개의 선형 경로 정의와 비교할 때 이 네 개의 축소판 이미지에는 추가 점선 곡선이 있습니다. 점선 곡선은 모델이 X 변수를 따라 외삽될 수 있음을 나타냅니다. 예를 들어 X가 온도인 경우 이 네 가지 모델을 사용하여 데이터 집합에 값이 없는 온도에서 수량을 예측할 수 있습니다.
마지막 세 개는 모양도 비슷합니다. 썸네일에서는 시간적으로 직선으로 보입니다. 그러나 경로 정의는 매개변수에서 선형이 아닙니다. 직선으로 보이는 이유는 기울기가 매개변수와 X 변수만의 함수이기 때문입니다. 또한 이를 통해 모델을 X 변수를 따라 외삽할 수 있습니다. 따라서 썸네일에는 점선이 있는 것을 볼 수 있습니다.
모델을 구성하고 데이터 포인트와 적합 모델의 오버레이가 적절해 보이면 Path Definition 패널 바로 아래에 있는 Generate Report 버튼을 클릭하여 모델을 저장해야 합니다. 그런 다음 플랫폼은 경로 정의의 공식 그림, 추정 보고서, 앞서 언급한 질문에 답할 수 있는 세 가지 프로파일러를 포함하여 해당 모델의 자세한 보고서를 생성합니다. 또한 모델 요약 정보는 모델 비교를 위해 Model List 패널에 추가됩니다. 여기서는 Adhesive Bond 데이터의 보고서를 살펴보고 세 가지 프로파일러를 해석하는 방법을 이해합니다.
첫 번째 프로파일러는 Degradation Profiler입니다. 첫 번째 프레임은 두 번째 프레임에 지정된 온도 60을 기준으로 전체 저하 경로의 추정치를 보여줍니다. 저하 측정에 대한 분포의 중간값과 95% 하위 및 상위 백분위수는 그래프의 실선 곡선과 점선 곡선으로 표현됩니다. 그림 10에서 수직축의 판독값은 8에서 저하 측정 분포의 중간값과 95% 백분위수를 알려줍니다.일일주일 동안 60도가 넘는 일정한 환경 하에서.
두 번째 프로파일러는 교차 확률 프로파일러입니다. 세 번째 프레임은 누적 밀도 함수(CDF)를 그립니다. 이는 주어진 조건에서 주어진 시간에 저하 측정 분포의 추정을 나타냅니다. 그림 11에서 시간은 8주이고 조건은 60도입니다. 수직축의 판독값은 측정값의 약 91%가 58.5 미만이 될 것임을 알려줍니다. 그리고 구간은 해당 추정치에 대한 신뢰 구간입니다.
세 번째 프로파일러는 Crossing Time Profiler입니다. 프로파일러는 세 개의 곡선을 제시하지만, 우리는 수직축의 판독값을 주어진 조건에서 특정 백분율의 측정값이 주어진 임계값 아래에 있는 시간의 추정치와 신뢰 구간으로만 해석합니다. 그림 12에서 백분율은 50%이고, 온도 조건은 60도이며, 임계값은 약 58.5입니다.
신뢰성 예측 플랫폼의 그룹별 가변 비용
신뢰성 예측에서 그룹별 가변 비용은 이름 그대로 실패와 관련된 금전적 금액을 예측하는 데 유용합니다. 다시 말해, 다양한 유형의 실패는 결과의 심각도가 다를 수 있으며, 심각도에 따라 비용도 다릅니다. 금전적 예측 작업은 특정 유형의 실패로 인한 금액뿐만 아니라 모든 유형의 실패로 인한 총 금액도 고려합니다. 그리고 총 금액의 일부 양은 개별 금액의 해당 양의 합이 아닙니다. 다음 문단에서 가상의 예를 들어보겠습니다.
보증 기간이 남아 있는 두 가지 노트북 모델을 수리하는 데 드는 총 비용을 예측한다고 가정해 보겠습니다. 논의를 간소화하기 위해 모든 노트북이 1년 전에 판매되었고 각 유형의 n1과 n2가 여전히 2년 보증 기간 내에 있다고 가정합니다. 두 유형의 평균 수리 비용은 다릅니다. 비용이 각각 m1과 m2라고 가정해 보겠습니다. 내년에 반품되는 수량은 N1과 N2가 됩니다. 내년에 반품되는 수량이 고정된 숫자가 아니기 때문에 대문자를 사용하여 난수를 나타냅니다. N1과 N2의 기대값을 계산하는 것은 쉽습니다. 그리고 합의 기대값은 기대값의 합과 같으므로 쉽습니다. 그러나 이러한 난수 변수의 변화와 이러한 난수 변수의 합도 매우 중요합니다.
여러 개의 난수 변수의 합의 변동을 계산할 때, 덧셈 규칙은 일반적으로 작동하지 않습니다. 예를 들어, 여러 개의 난수 변수 합의 분산은 개별 난수 변수의 분산의 합과 같지 않습니다. 즉, 
. 분산과 같은 양을 계산하기 위해, N1+N2의 분산이 닫힌 형태가 아닌 경우, 우리는 종종 시뮬레이션 방법을 사용해야 합니다. 다른 비용을 허용함으로써, 우리는 Var(m1N1), Var(m2N2), Var(m1N1+m2N2)와 같은 양들의 스케일된 버전을 계산하고 있습니다. 대부분의 계산은 여전히 시뮬레이션을 통해 이루어지고, 이는 일반적으로 사용자가 자신의 스크립트를 작성하지 않는 한 사용자가 설정하기 쉽지 않습니다.
기능을 사용하세요
기본적으로 플랫폼은 실패 수량을 예측하는 것이 분석 작업이라고 가정합니다. 작업을 비용 예측으로 전환하려면 "예측" 개요 노드 메뉴 아래에 있는 "실패 비용 사용" 메뉴 항목을 선택해야 합니다. 그림 13의 첫 번째 스크린샷을 참조하세요. 선택한 후 플랫폼은 모든 그룹의 비용 값을 묻습니다. 합리적인 값을 입력한 다음 확인 버튼을 클릭하여 확인해야 합니다. 메뉴 시스템은 변경을 허용하기 위해 새 메뉴 항목 "실패 비용 설정"을 추가합니다. 그림 13의 두 번째 스크린샷을 참조하세요.
비용을 적용한 후 그래프를 통해 각 그룹에 대한 미래 생산, 자체 계약 기간 및 자체 적절한 실패 분포를 구성할 수 있습니다. 결과에는 개별 그룹의 예상 비용과 총 비용이 포함됩니다. "간격 표시" 옵션이 선택된 경우 예측의 하한 및 상한이 음영 처리된 영역으로 나타납니다.
신뢰성 블록 다이어그램에서 구성 요소 통합 중요성
구성 요소 통합 중요도(CII)는 시스템에서 구성 요소의 중요도를 평가하는 데 사용할 수 있는 새로운 기준입니다. CII를 이해하기 위해서는 이전 릴리스에서 이미 제공한 Birnbaum의 구성 요소 중요도(BCI)와 비교하는 것이 더 쉽습니다. 간단히 말해서, 특정 구성 요소 Ci의 BCI는 Ci에 실패하여 전체 시스템이 실패할 확률입니다. BCI에 따라 엔지니어는 일반적으로 더 큰 BCI 값과 관련된 구성 요소의 신뢰성을 높이는 것을 고려합니다.
CII는 우리 구현에서 확률이 아니라 위험률과 관련이 있습니다. 맥락에 따라 다른 형태를 갖습니다. Si et al. (2012)의 원래 형태는 이산 위험 전이율을 가진 다중 상태 시스템을 고려합니다. 신뢰성 블록 다이어그램에서 우리는 실패와 생존의 두 가지 상태만 고려합니다. 그리고 위험 전이율은 연속적이며, 이는 위험 함수로 표현됩니다. 공식에서 동등한 요소를 식별한 후, 구성 요소 Ci의 CII를 구현하는 것은 BCI와 구성 요소 Ci의 위험 함수를 곱한 것입니다.
예
BCI와 CII의 차이점을 설명하기 위해 예를 들어보겠습니다. 그림 14는 항공기의 블록 다이어그램 디자인을 보여줍니다. 다이어그램은 단순화되었습니다. 전반적으로 다이어그램은 조종석, 블록의 4개 엔진, 제어 시스템, 별도의 블록의 2개 날개를 포함하는 시리즈 시스템입니다. 블록 중 하나라도 고장나면 항공기가 추락합니다. 하위 다이어그램으로서의 4개 엔진의 경우 기본적으로 병렬입니다. 각 날개에 2개의 엔진을 구성하고 각 날개에서 최소한 1개의 엔진이 작동하는 한 항공기가 엔진에서 충분한 스로틀을 얻을 수 있어야 한다고 생각합니다.
첫 번째 실패까지의 분포는 그림 15에 나와 있습니다. 그리고 우리는 시간 0과 시간 200 사이의 시스템 성능에 관심이 있습니다.
BCI 오버레이를 보려면 설명서의 지침을 따르고 다이어그램과 관련된 "BCI 표시" 메뉴 항목을 확인해야 합니다. 그림 16은 0~200 사이의 시간 범위에 따라 이 다이어그램의 BCI 오버레이 그래프를 그립니다. 그래프는 3개의 엔진과 1개의 날개와 같은 중복된 요소를 숨깁니다. 그래프에서 중요도가 높은 것부터 낮은 것까지 순서대로 조종석, 제어 시스템, 날개, 엔진이라는 것을 알 수 있습니다. 제어 시스템과 날개의 중요도는 서로 가깝습니다.
CII 오버레이를 보려면 해당 메뉴 항목은 "구성 요소 통합 중요도 표시"이고 두 번째는 "BCI 표시"입니다. 그림 17은 이 다이어그램의 CII 오버레이 그래프를 그립니다. 여기서 날개의 중요도는 대신 그래프 하단에 있는 엔진에 가깝습니다. 각 구성 요소의 위험 함수를 살펴보기 전까지는 그 이유가 명확하지 않습니다. 그림 18을 참조하세요. 이 항공기에서 날개의 고장률이 항상 가장 낮은 것을 볼 수 있습니다.
CII는 시스템 신뢰성 엔지니어링에서 결정을 내리는 대안이라기보다는 보완책으로 제공됩니다. CII에는 조건부 대응물이 없다는 것을 곧 알게 될 것입니다. BCI와 함께 조건부 BCI를 제공하기 때문입니다. 먼저 다른 소프트웨어에는 없을 법한 조건부 BCI를 제공하는 이유를 살펴봐야 합니다. 저희 BCI는 업계에서 종종 시간 종속 BCI라고 불리며, 모든 구성 요소의 중요도 지수를 시간의 함수로 0에서 미래의 어느 시점까지 그립니다. 그래프의 관점은 시스템이 전혀 사용되지 않은 시점인 0 시점입니다. 조건부 BCI는 동적 전방 관점을 제공하며, 시점은 0 이후의 어느 시점이든 될 수 있습니다. 조건부 BCI의 계산은 생존 시간을 추가 인수로 제공함으로써 간단히 신뢰성을 조건부 신뢰성으로 대체하는 것입니다. 반면에 저희는 CII의 조건부 버전을 제공하지 않습니다. 한 가지 이유는 위험 함수가 이미 개념에 생존 시간을 포함했기 때문입니다. CII를 계산할 때 다른 부분에 생존 시간을 도입하면 무슨 뜻인지 이해할 수 없습니다.
참고문헌
루이스 에스코바르와 윌리엄 Q. 미커, 가속 파괴적 분해 시험: 데이터, 모델 및 분석., 미공개 매뉴얼 스크립트.
Shubin Si, Hongyan Dui, Xibin Zhao, Shenggui Zhang, Shudong Sun, 2012, 시스템 성능 손실에 따른 구성 요소 상태의 통합 중요도 측정, IEEE 신뢰성 저널, 제61권, 제1호.
