Peng Liu、SAS、JMP 主席研究統計開発者
このホワイト ペーパーでは、JMP 12 に追加された 4 つの機能を紹介します。1 つ目は、寿命分布プラットフォームの混合分布モデリングです。混合のタイプは、有限混合分布または潜在的競合リスク混合分布です。混合分布モデリングでは、任意の数の任意のタイプの分布コンポーネントを使用できます。2 つ目は、スタンドアロンの破壊的劣化モデリング プラットフォームです。このプラットフォームは、分析を実行するための使いやすいユーザー インターフェイスを提供します。3 つ目は、信頼性予測プラットフォームで異なるグループに異なるコストを割り当てることです。これにより、ユーザーは非均質なリソースからの金銭的不確実性を集約できます。4 つ目は、信頼性ブロック図プラットフォームの新しいコンポーネント重要度基準です。この新しい基準は、システム内のコンポーネントの構造的重要度と、特定の時点でのそのコンポーネントの故障リスクを統合します。
ライフディストリビューションプラットフォームにおける混合モデリング
このリリースでは、2 種類の混合モデルを提供しています。1 つ目は有限混合モデルと呼ばれています。この名前は文献ではよく知られています。2 つ目は競合リスク混合モデルと呼ばれています。私たちの知る限り、このモデルにはまだ一般的な名前はありません。
有限混合モデルは、次の形式の累積分布関数を規定します。
ここで、k は既知の定数、w iは重みで合計が 1、F iは個別の累積分布関数です。F iが正規分布の場合、F は有限ガウス分布として知られています。有限ガウス分布に関する研究は、文献で引き続き活発に行われています。他の状況に関する研究も行われています。当社のソフトウェアでは、Fi は正規分布のほか、サポートされている任意の分布にすることができます。また、Fi は、たとえば対数正規分布やワイブル分布など、異なるタイプにすることができます。有限混合モデルは、対象が異質なサブ母集団からのものである場合、信頼性データ分析に適している可能性があります。たとえば、製品の寿命特性は、製造元、材料、環境が異なるため、制御できない要因の影響を受けます。製品の寿命特性は、使用の強度や使用条件により、不明瞭な使用状況の影響を受けます。
競合リスク混合モデルは、潜在的故障モード モデルとも呼ばれます。通常、競合リスクについて言及する場合、故障原因が複数の可能性のうちの 1 つに起因する主題について議論しています。そして、考えられる原因は互いに競合します。原因の最も早い発生によって、オブジェクトの故障原因と故障時間が決まります。オブジェクトは通常、シリーズ システムとして記述され、各故障原因はシリーズ グラフのノードとして表されます。グラフ内のいずれかのノードを切断すると、システムの故障を表すグラフのリンクが切断されます。故障原因がすべての故障に対してわかっている場合、データは通常、競合リスク モデルによってモデル化されます。このモデルは、JMP の多くのバージョンでサポートされています。一方、競合リスク混合モデルは、故障原因が不明な場合に適しています。この状況は、情報が失われた場合や収集できない場合に考えられます。別の考えられる状況は、故障原因をすぐに特定できない場合です。たとえば、不良な製造プロセスによる摩耗と疲労による摩耗を区別する場合などです。競合リスク混合モデルには、次の形式の累積分布関数があります。
ここで、k は既知の定数、Fi は個々の累積分布関数です。 の形式が競合リスク モデルと一致していることに注意してください。異なるのは、データのタイプと推論です。
データ形式
2 つの混合モデルに使用されるデータ形式は、通常のライフ分布で使用されているものと同じです。つまり、データには、時間と打ち切りスキームを含むイベントまでの時間情報のみが含まれます。
機能を使用する
通常どおりにデータを入力および Life Distribution を起動します。結果のレポートには、それぞれ有限混合モデルと競合リスク混合モデル用の「混合物の適合」と「競合リスク混合の適合」という 2 つの新しいメニュー項目があります。いずれかのメニュー項目を選択すると、プラットフォームは、構成ユーザー インターフェイスと最終結果を示すレポートで構成されるアウトライン ノードを追加します。両方のタイプのモデルの構成ユーザー インターフェイスは同じです (図 1 を参照)。構成ユーザー インターフェイスでは、成分と各成分の数を選択できます。成分については、混合分布内の 1 つのタイプの分布に限定されません。たとえば、対数正規分布とワイブル分布を混合できます。
ソフトウェアは、材料がどのように混合されるかについてのいくつかの推定も知っておく必要があります。そうすることで、ソフトウェアは妥当な労力で解決策を見つけることができます。材料を混合するための 3 つのレシピを想定します。これらは、図 2、3、および 4 に示されています。図 2 では、2 つの通常の材料が一緒に混合されていますが、ヒストグラムにはデータのクラスターが 1 つだけ表示されています。図 3 では、2 つの通常の材料が混合されており、ヒストグラムには 2 つの異なるモードが表示されています。したがって、クラスターの数は材料の数と等しくなります。図 4 では、3 つの通常の材料が混合されており、そのうち 2 つは十分に分離できますが、3 つ目の材料は他の 2 つに膨らんでいます。そのため、クラスターの合計数は材料の合計数よりも少なくなります。材料がどのように混合されるかについての推定に基づいて、パラメーターの開始値を計算できます。これは、最終推定値に近い可能性があります。推定を開始値メソッドとラベル付けし、選択肢または信念としてユーザーに提供します。
材料の種類、量、および開始値の計算方法を選択すると、プラットフォームはパラメータの最大尤度推定値を見つけようとします。材料の種類が異なり、材料の量が増え、開始値方法が単一クラスターから分離可能なクラスター、さらに重複クラスターに移行すると、計算時間が長くなります。重複クラスターの開始値方法では、通常、長い計算時間が必要です。結果のレポートには、推定値と主要なグラフがリストされます。また、レポートを使用して、さまざまな混合モデルを比較して決定を下すこともできます。
スタンドアロンの破壊的劣化解析プラットフォーム
破壊的劣化プラットフォームは、劣化プラットフォームから発展したものです。その目的は、既存の方法論の使用を容易にすることです。分析では、(対数) 位置スケール分布を使用してデータをモデル化します。その位置パラメータは、他の要因の有無にかかわらず、時間の関数です。
たとえば、図 5 は、JMP のサンプル データから入手できる接着結合データをプロットしたものです。四角で囲まれた各ポイントは、特定の時間における測定値です。ここでの測定値は、各テスト ユニットの 2 つの表面間の接着結合を破壊する強度です。測定値は、打ち切り値にすることができます。たとえば、図 5 では、上部の実線三角形のポイントは右打ち切りです。これは、指定された強度では結合を破壊できないため、強度が記録された値よりも大きいことを意味します。 強度を徐々に増加させた後、最終的に結合は破壊されましたが、動的プロセスでは強度の測定は正確ではありません。グラフの色は異なる温度を示します。各テスト ユニットは、一定温度の環境下に置かれました。
分析によって回答される質問には次のものが含まれます。
- 興味のある研究対象は時間の経過とともにどのように劣化するのでしょうか?
- 特定の時間に劣化測定値が特定のしきい値を超える確率はどれくらいですか?
- 特定のユニットの一部の劣化測定値が所定のしきい値を超えるのはいつですか?
このモデルの妥当な使用法としては、劣化したユニットを交換する時期を決定することが挙げられます。
データが与えられると、プラットフォームは 4 つの選択肢を提供します。1 つ目は分布です。分析では、一定の条件が与えられた場合、特定の時間に劣化測定値がどのように分布するかを調べます。2 番目と 3 番目は、劣化測定値と時間の変換です。データは分析前に変換できます。4 番目は劣化の定義で、これは選択された分布の位置パラメータを定義する関数です。
データ形式
プラットフォームでは、少なくとも劣化の測定と、測定が行われた関連時間を含むデータが求められます。劣化の測定は打ち切り可能で、打ち切りスキームは、単位が時間に関連していないことを除いて、Life Distribution プラットフォームおよび Survival プラットフォームで定義されているものと同じです。プラットフォームは、オプションの X ロールを 1 つ取ります。これは、温度、電圧、または単なるバッチ インジケーターです。通常、特に X が連続している場合は、X を含むデータの方が重要です。
プラットフォームを使用する
プラットフォームのグラフィカル ユーザー インターフェイスは、データと現在のモデルのオーバーレイ、モデル構成ウィジェットのパネル、および詳細なモデル レポートを収集する場所で構成されています。データ ポイントと現在のモデルのオーバーレイにより、モデルの適切さをすばやく評価できます。
分布、変換、およびパス定義の選択は、ドメイン知識に依存する可能性があります。ワークフローは、表示されている順序で行われる可能性があります。ただし、経験的には、最初に適切な候補モデルが 1 つも存在しない場合は、逆方向に作業を進めることが実行可能な代替手段になる可能性があります。
パス定義パネルには、位置パラメータでサポートされているすべての関数定義が一覧表示されます。各関数には、式イメージの他に、最終的な適合関数を表すサムネイル イメージがあります。適合関数の形状と実際のデータを比較することで、どのパス定義がより適しているかをより正確に把握できます。パス定義を選択したら、変換を試すことができます。変換の組み合わせは 9 種類あります。最後に、分布を変更できます。分布は 8 種類あります。
パス定義は全部で 13 個あります。最初の 6 つはすべてパラメータが線形です (図 7 を参照)。分布が位置スケール ファミリに属する場合、フィッティングされた関数は変換された空間内で直線になります。対数位置スケール分布を選択した場合、グラフの実線は曲線になります。グラフに描かれた実線上の点は、各分布、時間、およびその他の要因に関連付けられた中央値です。陰影の境界上の点は、下限パーセンタイルと上限パーセンタイルです。
次の 4 つは類似した表現になっています。図 8 を参照してください。サムネイル画像を見ると、垂直位置と単調性が異なっていることがわかります。これらは、Meeker と Escobar (1998) の第 21 章の一般的なモデルの事前構成済みバージョンです。ここでの各バージョンは、パス定義がサムネイル画像と一致するように、特定のパラメーターが制約されるように構成されています。また、4 つの画像を比較して違いを見分けるのは簡単です。最初の画像は、ゼロ以外の値から始まり、漸近線に達するまで増加します。2 番目はゼロから始まり、漸近線に達するまで増加します。3 番目と 4 番目は類似していますが、増加するのではなく減少します。最初の 6 つの線形パス定義と比較すると、これら 4 つのサムネイル画像には追加の破線があります。破線曲線は、モデルを X 変数に沿って外挿できることを表しています。たとえば、X が温度の場合、これら 4 つのモデルを使用して、データセットに値がない温度での量を予測できます。
最後の 3 つも形状が似ています。サムネイルでは時間的に直線のように見えます。ただし、パス定義はパラメータでは線形ではありません。直線のように見えるのは、傾きがパラメータと X 変数のみの関数であるためです。これにより、モデルを X 変数に沿って外挿することもできます。そのため、サムネイルに破線があることがわかります。
モデルを構成し、データ ポイントとフィッティング モデルのオーバーレイが適切であることを確認したら、パス定義パネルのすぐ下にあるレポートの生成ボタンをクリックしてモデルを保存する必要があります。プラットフォームは、パス定義の式図、推定値のレポート、および前述の質問に答えることができる 3 つのプロファイラーを含む、そのモデルの詳細なレポートを生成します。また、モデルの概要情報がモデル比較用のモデル リスト パネルに追加されます。ここでは、接着結合データからのレポートを見て、3 つのプロファイラーの解釈方法を理解します。
最初のプロファイラーは劣化プロファイラーです。最初のフレームには、2 番目のフレームで指定された温度 60 を前提とした、劣化経路全体の推定値が表示されます。劣化測定の分布の中央値と 95% 下限および上限パーセンタイルは、グラフの実線と破線で表されます。図 10 では、縦軸の読み取り値は、8 での劣化測定の分布の中央値と 95% パーセンタイルを示しています。番目1 週間、一定の 60 度の環境下で保管します。
2 番目のプロファイラーは、交差確率プロファイラーです。3 番目のフレームは累積密度関数 (CDF) を描画します。これは、特定の条件と特定の時間における劣化測定分布の推定値を示します。図 11 では、時間は 8 週間、条件は 60 度です。縦軸の読み取り値から、測定値の約 91% が 58.5 未満になることがわかります。間隔は、その推定値の信頼区間です。
3 番目のプロファイラーは、クロッシング タイム プロファイラーです。プロファイラーには 3 つの曲線が表示されますが、縦軸の読み取り値は、特定の条件下での測定値の一定割合が特定のしきい値を下回る時間の推定値と信頼区間としてのみ解釈されます。図 12 では、割合は 50%、温度条件は 60 度、しきい値は約 58.5 です。
信頼性予測プラットフォームにおけるグループ別変動コスト
信頼性予測におけるグループ別の変動コストは、その名の通り、故障に関連する金銭的金額を予測するのに役立ちます。言い換えれば、故障の種類によって結果の重大度が異なり、重大度によってコストも異なります。金銭的予測のタスクでは、特定の種類の故障による金額だけでなく、すべての種類の故障の合計金額も考慮されます。また、合計金額の一部は、個々の金額の合計ではありません。次の段落で仮説的な例を示します。
まだ保証期間内の 2 つのモデルのラップトップの修理にかかる総費用を予測するとします。説明を簡単にするために、すべてのラップトップは 1 年前に販売され、各タイプでまだ 2 年間の保証期間内の n1 と n2 があると仮定します。2 つのタイプの平均修理費用は異なります。費用がそれぞれ m1 と m2 であるとします。翌年に返される数量は N1 と N2 になります。翌年に返される数量は固定数ではないため、ランダム変数を表すために大文字を使用します。N1 と N2 の期待値の計算は簡単です。また、合計の期待値は期待値の合計に等しくなりますが、これは簡単です。ただし、これらのランダム変数の変動とランダム変数の合計も非常に重要です。
複数のランダム変数の合計の変動を計算する場合、加法則は通常機能しません。たとえば、複数のランダム変数の合計の分散は、個々のランダム変数の分散の合計と等しくありません。つまり、 
分散などの量を計算するには、N1+N2 の分散が閉じた形式を持たない場合、シミュレーション方法を使用する必要があることがよくあります。さまざまなコストを許可することで、Var(m1N1)、Var(m2N2)、Var(m1N1+m2N2) などの量のスケール バージョンを計算します。計算のほとんどはシミュレーションを介して行われますが、通常、ユーザーが独自のスクリプトを作成しない限り、簡単に設定することはできません。
機能を使用する
デフォルトでは、プラットフォームは、故障数を予測することが分析のタスクであると想定しています。タスクをコスト予測に切り替えるには、「予測」アウトライン ノード メニューの下にあるメニュー項目「故障コストの使用」をチェックする必要があります (図 13 の最初のスクリーンショットを参照)。チェックすると、プラットフォームはすべてのグループのコストの値を尋ねます。適切な値を入力し、[OK] ボタンをクリックして確定します。メニュー システムは、変更できるように新しいメニュー項目「故障コストの設定」を追加します (図 13 の 2 番目のスクリーンショットを参照)。
コストを適用した後、グラフでは各グループの将来の生産、独自の契約期間、独自の適切な故障分布を設定できます。結果には、個々のグループの予測コストと合計が含まれます。[間隔を表示] オプションをオンにすると、予測の下限と上限が網掛け領域として表示されます。
信頼性ブロック図におけるコンポーネント統合の重要性
コンポーネント統合重要度 (CII) は、システム内のコンポーネントの重要度を評価するために使用できる新しい基準です。以前のリリースですでに提供されていた Birnbaum のコンポーネント重要度 (BCI) と比較すると、CII を理解しやすくなります。簡単に言えば、特定のコンポーネント Ci の BCI は、Ci が故障するとシステム全体が故障する確率です。エンジニアは通常、BCI に基づいて、BCI 値が大きいコンポーネントの信頼性を高めることを検討します。
CII は、私たちの実装では確率ではなく、ハザード率に関連しています。コンテキストによって形式が異なります。Si ら (2012) の元の形式では、離散的なリスク遷移率を持つ複数状態システムを考慮しています。信頼性ブロック図では、故障と生存の 2 つの状態のみを考慮しています。また、リスク遷移率は連続的であり、ハザード関数で表されます。定式化で同等の要素を特定した後、コンポーネント Ci の CII の実装は、BCI とコンポーネント Ci のハザード関数の乗算になります。
例
BCI と CII の違いを説明するために、例を使用します。図 14 は、航空機のブロック図設計を示しています。図は簡略化されています。全体として、図は直列システムであり、コックピット、ブロック内の 4 つのエンジン、制御システム、および別々のブロック内の 2 つの翼が含まれています。いずれかのブロックに障害が発生すると、航空機は墜落します。サブ図としての 4 つのエンジンは、基本的に並列です。各翼に 2 つのエンジンを構成し、各翼で少なくとも 1 つのエンジンが機能している限り、航空機はエンジンから十分なスロットルを得ることができると考えられます。
初回故障時間の分布を図 15 に示します。ここでは、時間 0 から時間 200 までのシステム パフォーマンスに注目します。
BCI オーバーレイを表示するには、ドキュメントの指示に従って、図に関連付けられている「BCI を表示」メニュー項目をチェックする必要があります。図 16 は、この図の BCI オーバーレイ グラフを 0 から 200 までの時間範囲で描画したものです。グラフでは、3 つのエンジンと 1 つの翼などの重複した要素は非表示になっています。グラフでは、重要度の高いものから低いものの順に、コックピット、制御システム、翼、エンジンの順になっていることがわかります。制御システムと翼の重要度は互いに近いです。
CII オーバーレイを表示するには、対応するメニュー項目「コンポーネント統合重要度を表示」、その 2 番目にある「BCI を表示」を選択します。図 17 は、この図の CII オーバーレイ グラフを描画したもので、グラフの下部にあるエンジンの重要度に近い Wing の重要度を示しています。各コンポーネントのハザード関数を確認するまで、その理由は明らかではありません。図 18 を参照してください。この航空機では、Wing の故障率が常に最も低いことがわかります。
CII は、システム信頼性エンジニアリングにおける意思決定の代替ではなく、補足として提供されます。BCI の横に Conditional BCI を提供しているため、CII には条件付きの対応物がないことにすぐに気付くでしょう。まず、他のソフトウェアにはおそらく存在しない Conditional BCI を提供している理由を検討する必要があります。当社の BCI は業界では時間依存 BCI と呼ばれることが多く、すべてのコンポーネントの重要度インデックスを 0 から将来の任意の時点までの時間の関数として描画します。グラフの視点は、システムがまったく使用されていない時点 0 です。Conditional BCI は、時点が 0 以降の任意の時点になる可能性がある動的な前方視点を提供します。条件付き BCI の計算は、信頼性を条件付き信頼性に置き換えるだけで、生存時間を追加の引数として与えます。一方、CII の条件付きバージョンは提供していません。理由の 1 つは、ハザード関数の概念に生存時間がすでに含まれていることです。CII を計算する際に生存時間を他の部分に導入すると、それが何を意味するのかわかりません。
参考文献
Luis Escobar と William Q. Meeker、「加速破壊劣化試験: データ、モデル、および分析」、未発表のマニュアル スクリプト。
Shubin Si、Hongyan Dui、Xibin Zhao、Shenggui Zhang、および Shudong Sun (2012)、「システム パフォーマンスの損失に基づくコンポーネント状態の統合重要度測定」、IEEE Transactions on Reliability、Vol. 61、No. 1。
