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Nouvelles fonctionnalités d'analyse de fiabilité dans JMP® 12

Peng Liu, statisticien de recherche principal JMP, développeur, SAS

Cet article présente quatre fonctionnalités ajoutées à JMP 12. La première est la modélisation de la distribution des mélanges dans la plateforme Life Distribution. Le type de mélange peut être une distribution de mélange finie ou une distribution de mélange à risques latents concurrents. La modélisation de la distribution des mélanges autorise un nombre arbitraire de types de composantes distributionnelles. La deuxième est une plateforme autonome de modélisation de la dégradation destructive. Cette plateforme offre une interface utilisateur conviviale pour effectuer l'analyse. La troisième permet d'attribuer différents coûts à différents groupes dans la plateforme Reliability Forecast. Cela permet à l'utilisateur d'agréger les incertitudes monétaires provenant de ressources non homogènes. La quatrième est un nouveau critère d'importance des composants dans la plateforme Reliability Block Diagram. Ce nouveau critère intègre l'importance structurelle d'un composant du système et le risque de défaillance de ce composant à un instant donné.

Modélisation des mélanges dans la plateforme de distribution de la vie

Nous proposons deux types de modèles de mélange dans cette version. Le premier est appelé modèle de mélange fini, terme couramment utilisé dans la littérature. Le second est appelé modèle de mélange à risques concurrents. À notre connaissance, ce modèle n'a pas encore de nom commun.

Le modèle de mélange fini prescrit une fonction de distribution cumulative sous la forme suivante :

Où k est une constante connue, les w i sont des poids et leur somme est égale à un, les F i sont des fonctions de distribution cumulative individuelles. Si les F i sont des distributions normales, alors F est connue comme une distribution gaussienne finie. La recherche sur la distribution gaussienne finie reste active dans la littérature. La recherche sur d'autres situations émerge. Dans notre logiciel, nous autorisons les Fi à être n'importe quelle distribution prise en charge, en plus de la distribution normale. Et les Fi peuvent être de différents types, par exemple log-normale et de Weibull. Le modèle de mélange fini pourrait être approprié dans l' analyse des données de fiabilité lorsque les sujets d'intérêt proviennent de sous-populations hétérogènes. Par exemple, les caractéristiques de vie d'un produit sont affectées par des facteurs incontrôlables, dus à différents fabricants, matériaux et environnements ; les caractéristiques de vie d'un produit sont affectées par des situations d'utilisation peu claires, en raison de l'intensité et des conditions d'utilisation.

Le modèle de mélange de risques concurrents est également appelé modèle des modes de défaillance latents. Généralement, lorsqu'on parle de risque concurrent, on parle d'un sujet dont la cause de défaillance est due à une cause parmi plusieurs possibles. Ces causes possibles sont en concurrence. La première occurrence d'une cause détermine la cause et le moment de la défaillance d'un objet. L'objet est généralement décrit comme un système série, chaque cause de défaillance étant un nœud du graphe série. La rupture d'un nœud du graphe rompt le lien du graphe, ce qui représente la défaillance du système. Lorsque la cause de la défaillance est connue pour chaque défaillance, les données sont généralement modélisées par le modèle de mélange de risques concurrents, pris en charge par JMP depuis de nombreuses versions. En revanche, le modèle de mélange de risques concurrents est approprié lorsque les causes de la défaillance sont inconnues. Cette situation est plausible si les informations sont perdues ou ne peuvent être collectées. Une autre situation plausible est lorsque la cause de la défaillance ne peut être identifiée immédiatement, par exemple pour différencier une défaillance d'une usure due à un mauvais procédé de fabrication ou à la fatigue. Le modèle de mélange de risques concurrents présente une fonction de distribution cumulative de la forme suivante :

Où k est une constante connue, les Fi sont des fonctions de distribution cumulatives individuelles. Notez que la forme de coïncide avec celle d'un modèle de risque concurrent. Ce sont le type de données et l'inférence qui diffèrent.

Format des données

Le format de données à utiliser pour les deux modèles mixtes est identique à celui utilisé dans la distribution de vie standard. Autrement dit, les données ne contiennent que des informations sur le temps écoulé avant l'événement, y compris les schémas de temps et de censure.

Utiliser la fonctionnalité

Alimentez la distribution de vie avec les données et lancez-la comme d'habitude. Le rapport obtenu comporte deux nouveaux menus : « Ajuster le mélange » et « Ajuster le mélange de risques concurrents », respectivement pour les modèles à mélange fini et à mélange de risques concurrents. En sélectionnant l'un de ces menus, la plateforme ajoute un nœud de configuration comprenant des interfaces utilisateur de configuration et des rapports présentant les résultats finaux. Pour les deux types de modèles, les interfaces utilisateur de configuration sont identiques ; voir la figure 1. L'interface utilisateur de configuration permet de sélectionner les ingrédients et leur quantité. Pour les ingrédients, nous ne sommes pas limités à un seul type de distribution dans une distribution mixte. Par exemple, on peut combiner une distribution log-normale et une distribution de Weibull.

Le logiciel doit également connaître certaines hypothèses sur le mélange des ingrédients, afin de pouvoir déployer des efforts raisonnables pour trouver une solution. Nous supposons trois recettes pour mélanger les ingrédients. Elles sont illustrées aux figures 2, 3 et 4. Dans la figure 2, deux ingrédients normaux sont mélangés, mais l'histogramme ne présente qu'un seul groupe de données. Dans la figure 3, deux ingrédients normaux sont mélangés, et l'histogramme présente deux modes distincts. Par conséquent, le nombre de groupes est égal au nombre d'ingrédients. Dans la figure 4, trois ingrédients normaux sont mélangés, dont deux sont bien séparables, mais le troisième ingrédient se mêle aux deux autres. De sorte que le nombre total de groupes est inférieur au nombre total d'ingrédients. En nous basant sur ces hypothèses, nous pouvons calculer des valeurs de départ pour les paramètres, qui pourraient être proches des estimations finales. Nous appelons ces hypothèses les méthodes de valeur de départ et les soumettons aux utilisateurs sous forme de choix ou de croyance.

En choisissant les types et les quantités d'ingrédients, ainsi qu'une méthode de calcul des valeurs de départ, la plateforme tente d'obtenir les estimations de vraisemblance maximale des paramètres. Le temps de calcul augmente à mesure que les types et les quantités d'ingrédients diffèrent, et que la méthode des valeurs de départ passe du cluster unique aux clusters séparables, puis aux clusters superposés. La méthode des valeurs de départ des clusters superposés nécessite généralement un temps de calcul important. Le rapport obtenu répertorie les estimations et les principaux graphiques. Il permet également de comparer différents modèles de mélange pour prendre une décision.

Plateforme autonome d'analyse de dégradation destructive

La plateforme Dégradation Destructrice est issue de la plateforme Dégradation. Son objectif est de faciliter l'utilisation des méthodologies existantes. L'analyse consiste à modéliser les données en utilisant une distribution d'échelle (logarithmique) de localisation, dont le paramètre de localisation est fonction du temps, avec ou sans autres facteurs.

Par exemple, la figure 5 présente les données de liaison adhésive, disponibles parmi les données d'échantillon dans JMP. Chaque point au carré correspond à une mesure à un instant T. La mesure ici correspond à la force qui rompt la liaison adhésive entre les deux surfaces de chaque unité d'essai. Cette mesure peut être une valeur censurée. Par exemple, sur la figure 5, les points du triangle plein supérieur sont censurés à droite. Cela signifie que la force est supérieure à la valeur enregistrée, probablement parce que la force désignée ne peut rompre la liaison. Après une augmentation progressive de la force, la liaison a finalement été rompue, mais la mesure de la force n'est pas précise dans le processus dynamique. Les couleurs du graphique indiquent les différentes températures. Chaque unité d'essai a été placée dans un environnement à température constante.

Les questions auxquelles l’analyse doit répondre sont les suivantes :

• Comment un sujet d’étude d’intérêt se dégrade-t-il au fil du temps ?
• Quelle est la probabilité que la mesure de dégradation franchisse un seuil donné à un instant donné ?
• Quel est le moment où la mesure de dégradation d’une certaine fraction d’unités franchira un seuil donné ?

Une utilisation plausible du modèle est de déterminer le moment où remplacer les unités qui se sont dégradées.

À partir des données, la plateforme propose quatre options. La première est la distribution. L'analyse s'intéresse à la distribution des mesures de dégradation à un instant donné et dans des conditions fixes. Les deuxième et troisième options sont des transformations des mesures de dégradation et du temps. Les données peuvent être transformées avant d'être analysées. La quatrième option est la définition de la dégradation, qui est une fonction définissant le paramètre de localisation de la distribution choisie.

Format des données

La plateforme attend des données incluant au moins les mesures de dégradation et les heures associées auxquelles elles sont prises. Les mesures de dégradation peuvent être censurées, et les schémas de censure sont identiques à ceux définis dans les plateformes Life Distribution et Survival, à la différence que l'unité n'est pas liée au temps. La plateforme prend en charge un rôle X optionnel : température, tension ou simplement indicateur de lot. Généralement, ce sont les données avec X qui nous intéressent le plus, surtout lorsque X est continu.

Utiliser la plateforme

L'interface utilisateur graphique de la plateforme comprend une superposition des données et du modèle actuel, un panneau de widgets de configuration et un espace de collecte de rapports détaillés. La superposition des points de données et du modèle actuel permet d'évaluer rapidement la pertinence du modèle.

Le choix des distributions, des transformations et des définitions de chemin dépend probablement de la connaissance du domaine. Le flux de travail peut être organisé selon cet ordre, comme indiqué. Cependant, empiriquement, lorsqu'il n'existe pas de modèle candidat unique et satisfaisant, une approche rétrospective pourrait constituer une alternative envisageable.

Le panneau « Définition de chemin » répertorie toutes les définitions de fonctions prises en charge pour le paramètre de localisation. Pour chaque fonction, outre son image d'expression, une miniature représente la fonction ajustée finale. En comparant la forme de la fonction ajustée et les données réelles, on peut mieux déterminer la définition de chemin la plus adaptée. Après avoir choisi la définition de chemin, on peut jouer avec les transformations. Il existe neuf combinaisons différentes de transformations. Enfin, on peut modifier la distribution. Il en existe huit.

Il existe au total treize définitions de chemin. Les six premières sont toutes linéaires en paramètres ; voir la figure 7. Les fonctions ajustées sont des droites dans l'espace transformé, si la distribution appartient à la famille localisation-échelle. Si l'on choisit une distribution log-localisation-échelle, les lignes continues du graphique seront courbes. Les points sur les lignes continues du graphique sont les médianes associées à chaque distribution, au temps et à d'autres facteurs. Les points aux limites des ombres sont les percentiles inférieur et supérieur.

Les quatre suivantes ont des expressions similaires ; voir la figure 8. En observant les vignettes, on peut remarquer qu'elles diffèrent en termes de positions verticales et de monotonie. Il s'agit d'une version préconfigurée du modèle général du chapitre 21 de Meeker et Escobar (1998). Chaque version est configurée de manière à ce que certains paramètres soient contraints, de sorte que les définitions de chemin correspondent à leurs vignettes. Il est facile de comparer quatre images pour en distinguer les différences. La première part d'une valeur non nulle et augmente jusqu'à atteindre une asymptote. La deuxième part de zéro et augmente jusqu'à atteindre une asymptote. Les troisième et quatrième sont similaires, mais elles diminuent au lieu d'augmenter. Comparées aux six premières définitions de chemin linéaire, ces quatre vignettes présentent des courbes en pointillés supplémentaires. La courbe en pointillés indique que le modèle peut être extrapolé le long de la variable X. Par exemple, si X est la température, ces quatre modèles peuvent être utilisés pour prédire des quantités sous une température dont la valeur n'est pas dans l'ensemble de données.

Les trois derniers modèles présentent également des formes similaires. Sur les vignettes, ils apparaissent comme des lignes droites dans le temps. Cependant, leurs définitions de trajectoire ne sont pas linéaires en termes de paramètres. Leur apparence est due au fait que leurs pentes sont uniquement fonction des paramètres et de la variable X. Cela permet également d'extrapoler le modèle selon la variable X. Par conséquent, les vignettes présentent des lignes pointillées.

Une fois le modèle configuré et la superposition des points de données et du modèle ajusté correcte, enregistrez-le en cliquant sur le bouton « Générer un rapport » situé sous le panneau « Définition du chemin ». La plateforme génère alors un rapport détaillé, comprenant une formule de définition du chemin, un rapport d'estimations et trois profileurs permettant de répondre aux questions mentionnées précédemment. Les informations récapitulatives du modèle sont également ajoutées à un panneau « Liste des modèles » pour permettre des comparaisons. Nous analysons ici le rapport des données Adhesive Bond afin de comprendre comment interpréter les trois profileurs.

Le premier profileur est le profileur de dégradation. Son premier cadre présente l'estimation de l'ensemble du chemin de dégradation, pour une température de 60 °C, spécifiée dans le second cadre. La médiane et les percentiles inférieur et supérieur à 95 % de la distribution des mesures de dégradation sont représentés par la courbe continue et les courbes en pointillés du graphique. Dans la figure 10, les valeurs sur l'axe vertical indiquent la médiane et les percentiles à 95 % de la distribution des mesures de dégradation au 8 °C.^èmesemaine, sous un environnement constant à 60 degrés.

Le deuxième profileur est le profileur de probabilité de croisement. Son troisième cadre trace une fonction de densité cumulative (FDC). Celle-ci représente l'estimation de la distribution des mesures de dégradation dans des conditions données et à un instant donné. Dans la figure 11, la durée est de 8 semaines et la condition est de 60 degrés. L'axe vertical indique qu'environ 91 % des mesures seront inférieures à 58,5. L'intervalle correspond à l'intervalle de confiance de cette estimation.

Le troisième profileur est le profileur de temps de croisement. Bien qu'il présente trois courbes, nous interprétons uniquement la valeur de l'axe vertical comme l'estimation et l'intervalle de confiance du temps pendant lequel un certain pourcentage de mesures, dans des conditions données, passera sous un seuil donné. Dans la figure 12, le pourcentage est de 50 %, la température est de 60 degrés et le seuil est d'environ 58,5 degrés.

Coûts variables par groupe dans la plateforme de prévision de fiabilité

Les coûts variables par groupe dans la prévision de fiabilité, comme son nom l'indique, sont utiles pour prévoir les montants associés aux défaillances. Autrement dit, différents types de défaillances peuvent avoir des conséquences plus ou moins graves, et des coûts plus ou moins importants. La prévision monétaire prend en compte non seulement le montant dû à chaque type de défaillance, mais aussi le montant total de tous les types de défaillances. De plus, certaines quantités du montant total ne correspondent pas à la somme de ces quantités individuelles. Nous présentons un exemple hypothétique dans le paragraphe suivant.

Supposons que nous prévoyions le coût total de réparation de deux modèles d'ordinateurs portables encore sous garantie. Pour simplifier, supposons que tous les ordinateurs portables ont été vendus il y a un an et que n1 et n2 de chaque type sont encore sous garantie deux ans. Les coûts de réparation moyens des deux types sont différents. Supposons que les coûts soient respectivement m1 et m2. Les quantités retournées l'année suivante seront N1 et N2. Nous utilisons des majuscules pour représenter les variables aléatoires, car les quantités retournées l'année suivante ne seront pas des nombres fixes. Le calcul des espérances de N1 et N2 est simple. De plus, l'espérance de la somme est égale à la somme des espérances, ce qui est facile. Cependant, les variations de ces variables aléatoires et leur somme sont également très importantes.

Lors du calcul de la variation de la somme de plusieurs variables aléatoires, la règle additive ne fonctionne généralement pas. Par exemple, la variance de la somme de plusieurs variables aléatoires n'est pas égale à la somme des variances des variables aléatoires individuelles, c'est-à-dire Pour calculer une quantité telle que la variance, nous devons souvent recourir à des méthodes de simulation, si la variance de N1+N2 n'a pas de forme fermée. En autorisant des coûts différents, nous calculons les versions mises à l'échelle de ces quantités, telles que Var(m1N1), Var(m2N2) et Var(m1N1+m2N2). La plupart des calculs se font encore par simulation, ce qui est généralement difficile à mettre en œuvre par les utilisateurs, à moins qu'ils n'écrivent leurs propres scripts.

Utiliser la fonctionnalité

Par défaut, la plateforme considère que la prévision du nombre de pannes est la tâche d'analyse. Pour passer à la prévision des coûts, cochez l'option « Utiliser le coût des pannes » sous le menu « Prévisions » ; voir la première capture d'écran de la figure 13. Une fois cette option cochée, la plateforme vous demandera de saisir les valeurs des coûts de tous les groupes. Saisissez des valeurs raisonnables, puis cliquez sur le bouton « OK » pour confirmer. Le menu ajoutera une nouvelle option « Définir le coût des pannes » pour permettre les modifications ; voir la deuxième capture d'écran de la figure 13.

Après avoir appliqué les coûts, le graphique permet de configurer les productions futures de chaque groupe, la durée de leurs contrats et la répartition des défaillances. Les résultats incluent les coûts prévisionnels de chaque groupe et le total. Si l'option « Afficher l'intervalle » est cochée, les limites inférieure et supérieure des prévisions apparaissent en grisé.

Diagramme fonctionnel de l'importance des composants intégrés dans la fiabilité

L'importance intégrée des composants (CII) est un nouveau critère permettant d'évaluer l'importance d'un composant dans un système. Il est plus facile de comprendre le CII en comparant ce que nous avions déjà dans la version précédente, à savoir l'importance des composants de Birnbaum (BCI). En termes simples, l'importance intégrée des composants (Ci) d'un composant particulier correspond à la probabilité de défaillance de l'ensemble du système par la défaillance de Ci. En se basant sur l'importance intégrée des composants (BCI), les ingénieurs cherchent généralement à accroître la fiabilité des composants associés à des valeurs BCI plus élevées.

Dans notre implémentation, le CII n'est pas une probabilité, mais est lié au taux de risque. Il prend différentes formes selon le contexte. La forme originale de Si et al. (2012) considère un système à états multiples avec des taux de transition de risque discrets. Dans notre diagramme de fiabilité, nous ne considérons que deux états : défaillance et survie. Notre taux de transition de risque est continu, ce qui est représenté par la fonction de risque. Après avoir identifié les éléments équivalents dans leur formulation, notre implémentation du CII du composant Ci est une multiplication du BCI et de la fonction de risque du composant Ci.

Un exemple

Nous utilisons un exemple pour illustrer la différence entre BCI et CII. La figure 14 illustre le schéma fonctionnel d'un avion. Ce schéma a été simplifié. Il s'agit d'un système en série comprenant un cockpit, quatre moteurs dans un bloc, un système de contrôle et deux ailes dans des blocs séparés. La défaillance d'un bloc entraîne la chute de l'avion. Les quatre moteurs, comme le montre le sous-schéma, sont en principe en parallèle. Nous configurons deux moteurs sur chaque aile, et tant qu'au moins un moteur fonctionne sur chaque aile, nous considérons que l'avion devrait pouvoir bénéficier d'une puissance de gaz suffisante.

La distribution du premier temps de défaillance est illustrée dans la figure 15. Nous nous intéressons aux performances du système entre le temps zéro et le temps 200.

Pour visualiser la superposition du BCI, suivez les instructions de la documentation et cochez l'option « Afficher le BCI » associée au diagramme. La figure 16 illustre le graphique de superposition du BCI, sur une période comprise entre 0 et 200. Le graphique masque les éléments dupliqués, tels que trois moteurs et une aile. L'ordre d'importance du plus élevé au plus bas est le suivant : cockpit, système de contrôle, aile et moteur. L'importance du système de contrôle et de l'aile est proche.

Pour visualiser la superposition CII, sélectionnez « Afficher l'importance intégrée des composants » dans le menu correspondant, puis « Afficher l'importance intégrée des composants ». La figure 17 illustre le graphique de superposition CII de ce diagramme, où l'importance de l'aile est proche de celle du moteur, qui se trouvent en bas du graphique. La raison n'est évidente qu'en examinant la fonction de risque de chaque composant ; voir la figure 18. On constate que l'aile présente le taux de défaillance le plus faible sur cet avion.

Le CII est fourni comme un complément plutôt qu'une alternative à la prise de décision en ingénierie de la fiabilité des systèmes. On remarquera rapidement que le CII n'a pas d'équivalent conditionnel, car nous fournissons un BCI conditionnel en complément du BCI. Voyons d'abord pourquoi nous fournissons un BCI conditionnel, probablement inexistant dans d'autres logiciels. Notre BCI est souvent appelé BCI dépendant du temps dans le secteur, et trace les indices d'importance de tous les composants en fonction du temps, de zéro à un instant donné dans le futur. La perspective du graphique est au point zéro, lorsque le système n'a pas été utilisé. Le BCI conditionnel offre une perspective prospective dynamique, le point temporel pouvant être à tout instant après zéro. Le calcul d'un BCI conditionnel consiste simplement à remplacer la fiabilité par la fiabilité conditionnelle, en prenant le temps de survie comme argument supplémentaire. En revanche, nous ne fournissons pas de version conditionnelle du CII. L'une des raisons est que la fonction de risque inclut déjà le temps de survie dans son concept. Nous ne comprenons pas ce que cela signifie si nous introduisons le temps de survie dans d'autres parties du calcul du CII.

Références

Luis Escobar et William Q. Meeker, Accelerated Destructive Degradation Tests: Data, Models, and Anaysis., Script de manuel non publié.

Shubin Si, Hongyan Dui, Xibin Zhao, Shenggui Zhang et Shudong Sun, 2012, Mesure intégrée de l'importance des états des composants basée sur la perte de performance du système, IEEE Transactions on Reliability, vol. 61, n° 1.