Roger W. Hoerl, PhD, Profesor Asistente Brate-Peschel de Estadística, Union College
Ronald D. Snee, PhD, presidente de Snee Associates
Experimentos de mezcla/proceso eficiente utilizando modelos no lineales
9/2015
Ronald D. Snee, Snee Associates, Newark, DE
Roger W. Hoerl, Union College, Schenectady, Nueva York
Gabriella Bucci, Academia de Actividades al Aire Libre, Sarasota, Florida
Derechos de autor: Ronald D. Snee, Roger W. Hoerl y Gabriella Bucci 2015
Nota: Este artículo se encuentra actualmente en revisión editorial bajo el título: “Un enfoque de ingeniería estadística para experimentos de mezclas con variables de proceso”.
Abstracto:Se analiza la experimentación con componentes de mezcla y variables de proceso, especialmente cuando es probable que exista interacción entre estos dos conjuntos de variables. Consideramos cuestiones de diseño y análisis en el contexto de abordar un problema real de mezcla/proceso. Nos centramos en una estrategia para abordar estos problemas, en lugar de buscar el mejor diseño o modelo posible para un conjunto de datos dado. En este sentido, utilizamos un marco de ingeniería estadística. En particular, al considerar el potencial de ajustar modelos no lineales parsimoniosos en lugar de modelos linealizados más amplios, encontramos una oportunidad significativa para reducir el tamaño de los diseños experimentales. En la práctica, es difícil saber qué tipo de modelo se ajustará mejor a los datos resultantes. Por lo tanto, se recomienda una estrategia integrada y secuencial de diseño y análisis. Utilizando dos conjuntos de datos publicados y uno nuevo, observamos que, en algunos casos, los modelos no lineales, o los modelos lineales que ignoran la interacción, permiten una reducción de la experimentación del orden del 50 %. En otros casos, los modelos no lineales pueden no ser suficientes. Por lo tanto, proporcionamos directrices sobre cuándo es probable que este enfoque tenga éxito y proponemos una estrategia global para estos problemas.
Palabras clave:mezclas, modelos de mezclas, experimentación de mezclas, modelos no lineales
Introducción
Los problemas de mezclas, donde las proporciones de los ingredientes deben sumar 1,0, se presentan en muchas industrias y áreas de aplicación, como el desarrollo de alimentos, productos farmacéuticos y químicos, por nombrar solo algunos. En muchas aplicaciones de mezclas, no solo la formulación influye en el resultado final, sino también las variables del proceso. Por ejemplo, al elaborar un vino de ensamblaje, el sabor final y otras características importantes dependen no solo de las proporciones de las variedades de uva utilizadas, sino también de variables del proceso, como las condiciones climáticas de la temporada de crecimiento, el momento de la cosecha, las temperaturas en las distintas etapas del proceso de fermentación, el tipo de barricas de crianza, etc.
En algunos casos, los componentes de la mezcla y las variables del proceso no interactúan. En el ejemplo del vino, esto significaría que la fermentación y otros procesos podrían optimizarse sin considerar las variedades de uva utilizadas. Este escenario llevaría a utilizar modelos aditivos que combinan un modelo de mezcla con un modelo de variables del proceso. En otros casos, este escenario aditivo no se aplicaría, ya que las mejores condiciones de procesamiento podrían depender de las variedades utilizadas. En ese caso, existiría interacción entre la mezcla y las variables del proceso. El escenario de interacción daría lugar a modelos que incorporan términos para considerar la interacción entre las variables de la mezcla y del proceso.
Los diseños experimentales que se suelen utilizar cuando se anticipa dicha interacción tienden a ser amplios, con el fin de acomodar el número de términos en los modelos lineales que incorporan interacción (Cornell 2002, 2011). Por supuesto, si se conoce, a partir del conocimiento de la materia o de la experimentación previa, cuál será la forma final del modelo, se puede diseñar un experimento óptimo o casi óptimo para estimar ese modelo específico. Consideramos la situación más común en la que los experimentadores sospechan la interacción, pero no se sienten seguros de especificar la forma final del modelo antes de ejecutar el diseño y obtener los datos subsiguientes. Por lo tanto, nuestro enfoque no se centra en el diseño óptimo para un modelo dado, ni en el modelo óptimo para un conjunto dado de datos. Más bien, nos centramos en una estrategia para abordar dichos problemas, considerando diseños y modelos alternativos, y considerando la necesidad de eficiencia para abordar los problemas en la práctica.
En este sentido, adoptamos un enfoque de ingeniería estadística (Hoerl y Snee, 2010; Anderson-Cook y Lu, 2012) para identificar los enfoques más eficaces y eficientes para abordar aplicaciones de mezclas/procesos en los ámbitos empresarial, industrial, de investigación o gubernamental. En particular, consideramos que la consideración rigurosa de modelos no lineales en los parámetros puede ofrecer una alternativa eficiente a los modelos tradicionales lineales. Si bien ajustar modelos no lineales es más complejo que ajustar modelos lineales, el software moderno, como R, JMP, Minitab o SAS, permite a los usuarios estimar e interpretar modelos no lineales con relativa facilidad, al menos en comparación con el software comercial de hace 10 o 20 años.
Los modelos no lineales requieren menos parámetros para estimar el mismo problema de mezcla/proceso. Por ejemplo, en la aplicación de Cornell para la elaboración de hamburguesas de pescado (Cornell, 2002), el modelo lineal requería 56 términos, mientras que el no lineal requería 14. Por lo tanto, si los modelos no lineales ofrecieran una alternativa viable, se podrían implementar estrategias de diseño fraccional mucho más agresivas para reducir significativamente la experimentación inicial. Reconocemos que la teoría subyacente a los modelos no lineales, en aspectos como los errores estándar de los coeficientes, está menos desarrollada que la de los modelos lineales y, a menudo, se basa en resultados asintóticos o aproximados (Montgomery, 2012).
En otras palabras, dado que los modelos no lineales requieren menos parámetros para acomodar la interacción entre las variables del proceso y de la mezcla, se pueden ejecutar inicialmente diseños fraccionales mucho más pequeños. Obviamente, no se necesitan 56 ejecuciones para estimar 14 términos, suponiendo que el costo de la experimentación sea significativo. Si el modelo no lineal, o incluso un modelo lineal aditivo sin interacción, resulta suficiente, el problema podría resolverse con el diseño inicial.
Tenemos mucho que ganar y poco, si acaso, que perder al considerar modelos no lineales. Si estos modelos más pequeños no proporcionan suficiente precisión, se puede realizar experimentación adicional de forma secuencial. De esta manera, en el mejor de los casos, reducimos el efecto experimental necesario para resolver el problema hasta en un 50 %, mientras que en el peor de los casos, eventualmente, tenemos que realizar toda la experimentación que requeriría un modelo lineal típico con interacción. Esta estrategia general se ilustra en la Figura 1. En nuestra opinión, priorizar el mejor enfoque global para abordar el problema, en lugar de centrarse en el mejor diseño individual para un modelo dado, o en el mejor modelo individual para un conjunto de datos dado, es la esencia de la ingeniería estadística.
El resto del artículo se organiza de la siguiente manera: primero revisamos los modelos y diseños típicos utilizados en experimentos de mezclas con variables de proceso, incluyendo aquellos con interacción. A continuación, revisamos los fundamentos de la ingeniería estadística y analizamos su aplicación a este problema específico. A continuación, presentamos tres conjuntos de datos: dos publicados previamente y uno nuevo. Con estos conjuntos de datos, comparamos modelos lineales aditivos, lineales interactivos y no lineales en términos de ajuste de los datos. Además, señalamos posibles interpretaciones de los coeficientes del modelo no lineal. A continuación, consideramos los resultados hipotéticos que podríamos haber obtenido con diseños fraccionales para cada uno de estos problemas. Es decir, analizamos un subconjunto de los datos reales según un diseño fraccional, ajustamos los diferentes modelos y utilizamos los modelos para predecir los datos no utilizados por el modelo. Finalmente, consideramos las implicaciones de este análisis y sugerimos una estrategia para abordar problemas de mezclas/procesos donde se sospecha interacción.
Modelos típicos utilizados en problemas de mezcla/proceso
Existen numerosos diseños y modelos potenciales que se aplican a problemas de mezclas con variables de proceso. Aquí destacamos los modelos y diseños más comunes utilizados en aplicaciones, en particular Scheff.modelos (Scheff1963, Cornell 2002), sin intentar ofrecer una revisión exhaustiva. Primero, consideramos los modelos de mezcla en sí, luego los modelos de mezcla con variables de proceso sin interacción y, finalmente, con interacción. Una vez finalizados los modelos, analizamos los diseños que se suelen ejecutar para facilitar su ajuste.
Debido a la restricción de que los componentes de la formulación suman 1,0, lo que resulta en la pérdida de un grado de libertad, es común simplemente eliminar el término constante de un modelo de regresión lineal estándar. Por ejemplo, con q componentes de mezcla, la ecuación de Scheff lineal...El modelo se escribiría:
Dado que la suma de los componentes es 1,0, lo más significativo no es el valor absoluto de los coeficientes, sino las relaciones entre ellos. Por ejemplo, si b₁ = 10, b₂ = 20 y b₃ = 30, con tres componentes, diríamos que x₁ tiene un impacto negativo en la respuesta, ya que para aumentar x₁ tendríamos que disminuir x₂ o x₃ en la misma cantidad; por lo tanto, el impacto neto de aumentar x₁ sería disminuir E(y). Para más información sobre la interpretación de los coeficientes de mezcla, consulte Cornell (2002).
Tenga en cuenta que para todos los modelos presentados en este documento asumimos un término de error aleatorio aditivo, independiente y distribuido de forma idéntica normal con media 0 y desviación estándarSi bien los términos de error son obviamente importantes en cualquier modelo estadístico, este no es un punto clave del presente artículo, por lo que diremos poco sobre este término de error en adelante.
Existen otros modelos de mezcla que podrían considerarse, como los modelos de "variable de holgura", en los que se elimina uno de los ingredientes de la mezcla para evitar la restricción de la misma y se añade el término constante al modelo. Cuando hay curvatura, es común ajustar un modelo cuadrático de Scheff, que incorpora términos lineales más todos los posibles términos de producto vectorial entre los componentes:
Dado que cada componente puede considerarse como uno menos la suma de todos los demás, normalmente no consideraríamos los términos del producto vectorial como un modelo de interacción en el sentido tradicional, sino como un modelo de combinación no lineal en general. Cuando existe una combinación no lineal adicional y se dispone de suficientes grados de libertad, podemos ajustar el modelo cúbico especial de Scheff:
Esto se considera una cúbica "especial" en el sentido de que no incluye todos los términos de tercer orden, sino que es el modelo cuadrático más todos los posibles productos cruzados entre tres términos. Por ejemplo, la cúbica especial no incluye el término x² . Un modelo de Scheff cúbico completo sería:
Donde d yo son coeficientes cúbicos del exceso binario o sinergismo (Cornell, 2011, pág. 31). Cuando nuestro modelo incluye variables de proceso, usaremos x i para una variable de mezcla, z i para una variable de proceso, b i para un coeficiente de mezcla y a i para un coeficiente de variable de proceso. No consideramos los términos d yo . Además, el término genérico f(x) se usará para un modelo con solo ingredientes de mezcla, mientras que g(z) se usará para modelos con solo variables de proceso. Los modelos combinados que incorporan ambas se escribirán c(x,z).
De nuevo, existen numerosos modelos potenciales que pueden aplicarse a variables de proceso y a combinaciones de ingredientes de mezcla y variables de proceso. Aquí nos centramos en los diseños estándar más comunes. Un modelo lineal de variable de proceso sería:
,
Donde tenemos r variables independientes. Un modelo de variable de proceso de segundo orden (cuadrático completo) sería:
Obsérvese que la suma doble incluye i=j, por lo que el modelo cuadrático completo incluye términos al cuadrado (cuadráticos). Obviamente, ajustar un modelo de este tipo requiere más de dos niveles en el diseño. Con diseños de dos niveles, se puede utilizar un modelo factorial (términos lineales e interacciones de segundo orden, pero sin términos cuadráticos):
Con diseños factoriales completos, por supuesto, también podríamos estimar interacciones de orden superior.
En situaciones con variables de mezcla y de proceso, una consideración clave es el grado de interacción prevista entre ambas. Si la teoría o la experiencia sugieren que las variables de mezcla y de proceso no interactúan entre sí, podemos ajustar los modelos de mezcla y de proceso por separado. En otras palabras, el modelo general se transformaría en:
c(x,z) = f(x) + g(z) (1)
Nos referimos a la Ecuación 1 como el modelo aditivo lineal. En este caso, f(x) sería el modelo que se considerara apropiado para los componentes de la mezcla, y g(z) sería el modelo que se considerara apropiado para las variables del proceso. Sin embargo, en muchas situaciones, los componentes de la mezcla y las variables del proceso interactúan. En otras palabras, el mejor momento y temperatura para hornear un pastel puede depender de sus ingredientes. Un vino tinto no suele servirse tan frío como un vino blanco, y así sucesivamente. En estos casos, muchos autores, como Cornell (2002, 2011) y Prescott (2004), sugieren multiplicar los modelos de las variables de mezcla y proceso, en lugar de sumarlos. En otras palabras, para considerar la interacción entre la mezcla y el proceso, podemos utilizar el modelo:
c(x,z) = f(x)*g(z) (2)
Este modelo multiplicativo no es lineal en los parámetros (b i y a i ), por lo que la solución de mínimos cuadrados no puede obtenerse en forma cerrada ni mediante software de regresión lineal estándar. Una solución para este problema es multiplicar los términos individuales en f(x)*g(z). Consideremos el caso con tres variables de mezcla y dos variables de proceso. Para simplificar, supongamos que sabemos que estos modelos tendrán la forma:
f(x) = b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 + b 12 x 1 x 2 + b 13 x 1 x 3 + b 23 x 2 x 3 + b 123 x 1 x 2 x 3 , y
gramo(z) = un 0 + un 1 z 1 + un 2 z 2 + un 12 z 1 z 2 ,
Lo cual sería un modelo de mezcla cúbica especial y un modelo factorial de variable de proceso. Por lo tanto, f(x) tiene siete términos para estimar, y g(z) tiene cuatro. Si multiplicamos cada término de f(x) por cada término de g(z), obtenemos 28 términos en un modelo de regresión linealizado. Este modelo se denomina linealizado porque la Ecuación 2 es, de hecho, un modelo no lineal. Al multiplicar todos los términos, creamos un modelo lineal de 28 términos. Es decir, tenemos:
c(x,z) = f(x)*g(z) = b 1 x 1 *a 0 + b 1 x 1 *a 1 z 1 + b 1 x 1 *a 2 z 2 + b 1 x 1 *a 12 z 1 z 2 (3)
+b2x2*a0+b2x2*a1z1+b2x2*a2z2+b2x2*a12z1z2
+ .............+ b 123 x 1 x 2 x 3 *a 12 z 1 z 2
Obsérvese que la ecuación 3 es lineal en los parámetros si consideramos b₁₋₆como un parámetro, b₁₋₆ como otro, y así sucesivamente. Por lo tanto, la ecuación 3 puede estimarse con software estándar de regresión lineal, al igual que la ecuación 1. Por supuesto, al obtener las estimaciones de mínimos cuadrados, el parámetro estimado para x₁ , indicado como “ b₁₋₆” en la ecuación 3, será con probabilidad cero igual al coeficiente estimado para x₁ en f(x) de la ecuación 2 (1) multiplicado por la intersección estimada en g(z) de la ecuación 2 (0), si estos términos individuales se estimaran directamente mediante mínimos cuadrados no lineales. Es decir, las estimaciones de mínimos cuadrados de la Ecuación 3 no pueden utilizarse para determinar las estimaciones de mínimos cuadrados no lineales de la Ecuación 2.
Un punto importante al que volveremos más adelante es la comparación de la Ecuación 2 con la Ecuación 3. La Ecuación 2 es un modelo no lineal en los parámetros. Si se estima como tal, solo se necesitan estimar 11 parámetros, siete para f(x) y cuatro para g(z). En la práctica, solo se requerirán 10 parámetros, ya que la Ecuación 2 está realmente sobreespecificada; no puede haber una solución única de mínimos cuadrados para esta ecuación. Esto se puede ver inmediatamente si se considera que al multiplicar f(z) por una constante arbitraria distinta de cero, digamos m, y dividir g(z) entre m, el valor de c(x,z) permanecería inalterado, porque m y 1/m se cancelarían. Dado que hay un número infinito de constantes m que podrían multiplicarse por cada coeficiente en f(x), cada una produciendo la misma suma de cuadrados residual, no puede haber una solución única de mínimos cuadrados para la Ecuación 2. Abordamos esta sobreespecificación estableciendo a 0 = 1.0. No afirmamos que esta sea la mejor o la única manera de abordar la sobreespecificación, aunque sí ayuda a la interpretación de los otros coeficientes, como veremos en breve.
El punto clave, por supuesto, es que si se puede estimar la Ecuación 2 directamente como un problema de mínimos cuadrados no lineal, solo se requerirían 10 grados de libertad para los parámetros estimados, no los 28 que se requieren para la versión linealizada. Esto tiene implicaciones obvias para el diseño experimental cuando se anticipa interacción. Por supuesto, si no se anticipa interacción, se puede estimar la Ecuación 1, el modelo aditivo lineal. Esta ecuación también está sobreespecificada, ya que el término a≠ 0 no es necesario y, de hecho, no se puede estimar, ya que la intersección ya está incorporada en el modelo de mezcla f(x). Al omitir la intersección, nuevamente tenemos 10 parámetros para estimar, como en el modelo no lineal.
Diseños experimentales típicos utilizados en problemas de mezclas/procesos
Los diseños y los modelos obviamente van de la mano, ya que solemos tener modelos específicos en mente al diseñar un experimento, incluso si no estamos seguros de su forma exacta. En la experimentación con mezclas, existen modelos adecuados para estimar la ecuación de Scheff lineal.modelos y, por supuesto, diseños más grandes adecuados para estimar modelos cuadráticos o cúbicos especiales.
Los diseños símplex se utilizan comúnmente en la experimentación con mezclas. Estos se representan típicamente en dimensiones q-1 cuando tenemos q componentes. Por ejemplo, si tenemos tres componentes, debido a la restricción de la mezcla, solo hay dos grados de libertad; por lo tanto, el diseño puede representarse en dos dimensiones, como en la Figura 2. Nótese que los tres componentes están representados, ya que cada uno tiene un eje. En un problema de mezcla sin restricciones, cada componente puede variar de 0 a 1,0; por lo tanto, el símplex completo va de 0 a 1 en cada eje. El punto 0 está representado por la base del símplex, y entonces 1,0 estaría en el punto del símplex opuesto a la base. Nótese que si x 1 = 1,0, entonces x 2 = x 3 = 0; por lo tanto, este punto corresponde a la base de los ejes x 2 y x 3. Estos puntos se denominan "mezclas puras" por razones obvias. Las mezclas puras y otros puntos comunes de los diseños símplex se identifican en la Figura 2.
Señalamos que el centroide, correspondiente al punto central en diseños factoriales, corresponde al punto 1/3, 1/3, 1/3, que está en el medio del símplex. Otros puntos comunes que se ejecutan con diseños símplex son las llamadas mezclas 50-50, que tienen proporciones de .5 para dos componentes y 0 para el tercero. Estas mezclas 50-50 corresponden a puntos medios a lo largo de cada base del símplex. Otro punto común que se usa a menudo en diseños símplex es el "punto de control", normalmente colocado a medio camino entre el centroide y la mezcla pura. Para un símplex de tres componentes, estos estarían en 2/3, 1/6, 1/6, para x 1 , 1/6, 2/3, 1/6, para x 2 , y 1/6, 1/6, 2/3 para x 3 . Estos puntos de control permiten la verificación de que el modelo se ajusta a los datos en más que solo el centroide y los límites del símplex. En otras palabras, ajustar bien los puntos de control sugeriría que es relativamente seguro interpolar dentro del símplex.
Como se explica en Cornell (2002), en la práctica también se utilizan diseños símplex-reticulares más elaborados que posicionan los puntos uniformemente sobre todo el símplex. En experimentos con más de cuatro componentes, estos diseños son difíciles de ilustrar, pero se pueden formar los mismos tipos de diseños, como en el caso de los diseños factoriales. A menudo, por supuesto, habrá restricciones en los niveles de los ingredientes de la formulación. Por ejemplo, a pocos consumidores les gustaría un aderezo para ensaladas compuesto 100% de vinagre. En tales casos, se pueden crear pseudocomponentes (Cornell 2002), que son transformaciones de los componentes originales, o utilizar diseños asistidos por computadora en los espacios de diseño anormales creados por las restricciones. Dichos diseños no son el enfoque de este artículo. También asumimos que el lector está familiarizado con los diseños factoriales estándar utilizados para las variables de proceso.
En diseños de mezclas con variables de proceso, se suele utilizar un diseño híbrido para estimar los efectos y modelos de la mezcla, así como los del proceso. Si los experimentadores sospechan interacción, suele ser deseable poder estimar todos los términos de la versión linealizada de la Ecuación 2. Es decir, el diseño experimental elegido debe permitir la estimación de todos los efectos obtenidos al multiplicar cada término del modelo de mezcla por cada término del modelo de proceso. En el ejemplo anterior, se buscaría un diseño que permitiera estimar los 28 términos de la Ecuación 3.
Estos diseños suelen combinar un diseño factorial, o factorial fraccional, con un diseño de mezcla. Por ejemplo, el experimento de la hamburguesa de pescado de Cornell (Cornell, 2002) combinó un diseño simplex de tres componentes que incluía mezclas puras, un centroide y mezclas 50-50, con un diseño factorial 2x3 en tres variables de proceso. Este diseño se muestra en la Figura 3. Nótese que en cada punto del diseño factorial 2x3 se ejecutó el diseño simplex completo. Alternativamente, por supuesto, se podría representar esto como un diseño factorial completo en cada punto del simplex. Dado que el diseño simplex tenía 7 puntos y el diseño factorial 8 puntos, el diseño completo tenía 56 puntos, ejecutados en orden aleatorio para evitar la división del gráfico (Cornell, 2002, 2011).
Si no se anticipa la interacción, los diseños podrían ser mucho más pequeños. Por ejemplo, en el ejemplo de la hamburguesa de pescado de Cornell, un modelo de mezcla cúbica especial tendría 7 términos (3 términos de mezcla lineal, tres productos cruzados de 2 factores y el producto cruzado cúbico especial de 3 factores), y un modelo factorial completo tendría 8 términos (1 intersección, 3 efectos principales, 3 interacciones de 2 factores y 1 interacción de 3 factores). Dado que el modelo de mezcla f(x) incorpora una intersección, podríamos eliminar la intersección de g(z), dejando 7 + 8 – 1 = 14 términos para estimar en un modelo aditivo lineal sin interacción, es decir, c(x,z) = f(x) + g(z). Claramente, se podría ejecutar un diseño fraccional mucho más pequeño o, dado que no hay interacción en el modelo, las variables de mezcla y proceso podrían investigarse de forma independiente.
El papel de la ingeniería estadística en los modelos de mezclas con variables de proceso
Hoerl y Snee (2010) definieron la ingeniería estadística como: «El estudio de cómo utilizar óptimamente los conceptos, métodos y herramientas estadísticos, e integrarlos con la tecnología de la información y otras ciencias, para generar mejores resultados». Por otro lado, la ciencia estadística puede considerarse el estudio y el desarrollo de la teoría subyacente y la aplicación de métodos estadísticos individuales. La distinción clave radica en que la ciencia estadística se centra en el desarrollo del conocimiento fundamental de las propias herramientas, así como en su aplicación. La ingeniería estadística, por otro lado, se centra en cómo tomar los métodos y herramientas existentes, es decir, la ciencia estadística existente, y vincularlas e integrarlas creativamente, a menudo con herramientas no estadísticas, para lograr un mayor impacto. El uso creativo de la ciencia existente para lograr un mayor impacto es la esencia de cualquier campo de la ingeniería.
Obviamente, tanto la ciencia estadística como la ingeniería estadística son necesarias para que el campo de la estadística crezca y aumente su impacto social. Sostenemos que, si bien se requiere un enfoque equilibrado, el enfoque actual de la profesión tiende a inclinarse hacia la ciencia estadística (Snee y Hoerl, 2011). En particular, creemos que se necesita un mayor énfasis en el desarrollo de una teoría subyacente sobre cómo abordar problemas grandes, complejos y no estructurados; problemas demasiado grandes para que una sola herramienta los resuelva. Dichos problemas, obviamente, requieren la integración creativa de múltiples métodos estadísticos, así como el uso creativo de las tecnologías de la información u otras ciencias. Claramente, se requiere un enfoque ingenieril. Consulte la Edición Especial de Quality Engineering sobre Ingeniería Estadística (Anderson-Cook y Lu, 2012) para obtener más información sobre la disciplina de la ingeniería estadística.
Hemos observado que, al abordar problemas de mezclas con variables de proceso, la elección del diseño y del modelo van de la mano. Es decir, los modelos que podemos estimar están determinados por el diseño, y el diseño adecuado depende de los modelos que deseamos estimar. Además, si conociéramos el modelo específico de antemano, podríamos construir un diseño óptimo para estimarlo. Sin embargo, en muchas situaciones prácticas, nuestro conocimiento de la materia es limitado y no estamos seguros del modelo final. Normalmente, esto resulta en un enfoque iterativo de diseño y análisis, como lo enfatizan Box et al. (2005), Montgomery (2012) y muchos otros.
La pregunta clave en estas situaciones es cómo abordar mejor el problema cuando anticipamos la interacción entre las variables de la mezcla y del proceso, pero no estamos seguros. Cabe destacar que esta pregunta es muy diferente a preguntar cuál es el diseño óptimo para un modelo dado, y también a preguntar cuál es el modelo óptimo para ajustarse a un conjunto de datos dado. Estas últimas son preguntas más propias de la ciencia estadística, ya que abordan la teoría y la práctica de herramientas individuales. Además, se puede determinar la respuesta "correcta" analíticamente, con base en criterios objetivos. Sin embargo, la cuestión de cómo abordar un problema complejo no es una pregunta de ciencia estadística, ya que disponemos de pocos datos y no existe una métrica objetiva consensuada para el éxito. En otras palabras, el problema no está estructurado.
Sostenemos que esta pregunta de estrategia se adapta mejor a la ingeniería estadística, ya que se requiere un enfoque global que incorpore tanto el diseño como el análisis, quizás de forma secuencial, para obtener mejores resultados. La integración de múltiples herramientas es clave. En este caso, los "mejores resultados" pueden basarse en criterios estadísticos, en el ahorro de esfuerzo experimental, incluyendo tiempo y dinero, o en ambos. En otras palabras, pueden basarse en encontrar la mejor solución de negocio, en lugar de encontrar la mejor solución estadística. Este es un problema más complejo y menos estructurado que obtener el mejor diseño o el mejor modelo en condiciones específicas. Por lo tanto, la perspectiva de la ingeniería estadística guía nuestro estudio y la estrategia recomendada para problemas de mezclas con variables de proceso.
Tres estudios de caso en diseño y análisis
Cornell (2002) presentó datos de un experimento con tres especies de hamburguesas de pescado: lisa, sargo y corvina. Además, cada hamburguesa se cocinó a diferentes temperaturas, tiempos de horneado y tiempos de fritura (las hamburguesas se hornearon y se frieron). La respuesta de interés fue la textura de las hamburguesas resultantes. El diseño utilizado fue un simplex de siete corridas en las variables de mezcla, incluyendo mezclas puras, mezclas 50-50 y el centroide. Para las variables de proceso, se ejecutó un modelo 2x3 de ocho corridas. Cornell cruzó el diseño de mezcla con el diseño de proceso, como se indica en la Tabla 1 y se ilustra en la Figura 3. Este diseño tiene un total de 7*8 = 56 corridas. Cornell ajustó un modelo linealizado, donde:
f(x) = b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 + b 12 x 1 x 2 + b 13 x 1 x 3 + b 23 x 2 x 3 + b 123 x 1 x 2 x 3 ,
g(z) = a 0 + a 1 z 1 + a 2 z 2 + a 3 z 3 + a 12 z 1 z 2 + a 13 z 1 z 3 + a 23 z 2 z 3 + a 123 z 1 z 2 z 3 , y
c(x,z) = f(x)*g(z)
TABLA 1 Datos de textura de las hamburguesas de pescado de Cornell
Mezcla | Hora de freír |
25 | 40 |
Tiempo de horno |
25 | 40 | 25 | 40 |
Temperatura del horno |
325 | 425 | 325 | 425 | 325 | 425 | 325 | 425 |
Mójol | Cabeza de oveja | Corvina | Textura |
1 | 0 | 0 | - 1.84
- 2.86
- 3.01
- 4.13
- 1.65
- 2.32
- 3.04
- 4.13
|
0 | 1 | 0 | - 0.67
- 1.10
- 1.21
- 1.67
- 0,58
- 0,97
- 1.16
- 1.30
|
0 | 0 | 1 | - 1.51
- 1.60
- 2.32
- 2.57
- 1.21
- 2.12
- 2.00
- 2.75
- 0.5
- 0.5
|
0 | - 1.29
- 1.53
- 1.93
- 2.26
- 1.18
- 1.45
- 1.85
- 2.06
- 0.5
|
0 | - 0.5
- 1.42
- 1.81
- 2.57
- 3.15
- 1.45
- 1.93
- 2.39
- 2.82
|
0 | - 0.5
- 0.5
- 1.16
- 1,50
- 1.83
- 2.22
- 1.07
- 1.28
- 1.60
- 2.10
|
1/3 | 1/3 | 1/3 | - 1.59
- 1.68
- 1.94
- 2.60
- 1.41
- 1.54
- 2.05
- 2.32
|
Dado que f(x) tiene 7 términos y g(z) tiene 8 términos, cuando los términos individuales se multiplican para crear un modelo linealizado, c(x,z) tiene 7*8 = 56 términos. Obviamente, no quedaban grados de libertad para estimar el error experimental con 56 corridas en el diseño, lo que produjo un error cuadrático medio (RMSE) de 0 y ninguna capacidad para estimar la desviación estándar del término de error (e), es decir, el error estándar. Además, no hubo oportunidad de evaluar los residuos para evidencia de inadecuación del modelo o de realizar pruebas de falta de ajuste. Por lo tanto, Cornell utilizó la variación entre mediciones replicadas (no réplicas verdaderas) como una estimación del error estándar. Obviamente, esta variación dentro de la corrida no permite estimar fuentes de variación entre corridas, por lo que no puede considerarse una estimación del error estándar equivalente a la estimada a partir de réplicas verdaderas, o incluso a partir de grados de libertad residuales.
Para comparar modelos, aplicamos el método PSE (pseudoerror estándar) de Lenth (Lenth, 1989) para obtener una estimación del error estándar del modelo de Cornell. El método de Lenth determina primero los efectos que parecen reales y, a continuación, descarta las variables restantes, utilizando los grados de libertad obtenidos para estimar el error estándar. Se trata de un pseudoerror estándar, ya que depende de la eliminación de los términos apropiados del modelo.
Prescott (2004) analizó el volumen de panes utilizando tres harinas: Tjalve y Folke (noruegas) y Hard Red Spring (estadounidense). También se consideraron dos variables de proceso: el tiempo de fermentación y el tiempo de amasado. Se aplicaron restricciones en los niveles de las tres harinas: 0,25 x11, 0 x2.75 y 0 x3.75, donde Tjalve es x 1 , Folke es x 2 y Hard Red Spring es x 3 . Al aplicarlo al espacio de mezcla símplex, se obtiene un símplex completo más pequeño en un espacio reducido. Al convertirlo a pseudocomponentes (Cornell 2002), se puede seguir utilizando un diseño símplex estándar. Para la comparación de modelos, y sin pérdida de generalidad, utilizamos la versión pseudocomponente del diseño de mezcla de Prescott. Prescott utilizó un diseño simplex-reticular de 10 corridas para las variables de mezcla y un diseño factorial de tres niveles de dos variables (3 2 ). Este diseño, por supuesto, consta de 9 corridas.
Cruzando nuevamente el diseño de mezcla con el diseño de proceso, Prescott creó un diseño de 10*9 = 90 corridas, que se enumera en la Tabla 2 y se ilustra en la Figura 4. Para el modelo de mezcla f(x), Prescott consideró el mismo modelo cúbico especial con 7 términos que utilizó Cornell, y para el modelo de proceso, g(z), consideró un modelo cuadrático completo con 6 términos:
gramo(z) = un 0 + un 1 z 1 + un 2 z 2 + un 12 z 1 z 2 +
TABLA 2 Datos del volumen del pan de Prescott
Pseudocomponent Mezcla | Tiempo de prueba (minutos) |
35 | - 47.5
| 60 |
Tiempo de mezcla (minutos) |
5 | 15 | 25 | 5 | 15 | 25 | 5 | 15 | 25 |
Tjalve | Gente | Hard Red Spring | Volumen del pan |
.25 | .75 | 0 | - 378.89
- 396.67
- 392.22
- 445.56
- 452.22
- 487.78
- 457.22
- 500.56
- 472.78
|
.50 | .50 | 0 | - 388.89
- 423.33
- 416.11
- 460.00
- 488.89
- 475.78
- 472.78
- 478.00
- 506.11
|
.75 | .25 | 0 | - 426.11
- 483.33
- 389.44
- 474.44
- 514.44
- 462.78
- 506.67
- 591.67
- 522.22
- 1.0
|
0 | 0 | - 386.11
- 459.11
- 423.33
- 458.33
- 506.11
- 514.44
- 545.56
- 522.22
- 551.11
|
.25 | .50 | .25 | - 417.78
- 437.22
- 444.56
- 484.44
- 490.00
- 495.00
- 497.78
- 531.11
- 577.78
|
.50 | .25 | .25 | - 389.44
- 447.22
- 415.00
- 490.89
- 528.89
- 507.78
- 517.78
- 567.22
- 538.33
|
.75 | 0 | .25 | - 448.33
- 459.44
- 455.56
- 436.00
- 535.00
- 552.22
- 507.44
- 578.89
- 590.00
|
.25 | .25 | .50 | - 413.89
- 485.56
- 462.22
- 483.89
- 529.44
- 540.00
- 565.00
- 598.89
- 580.56
|
.50 | 0 | .50 | - 415.56
- 514.44
- 437,78
- 493.89
- 583.33
- 578.89
- 524.44
- 649.44
- 640.00
|
.25 | 0 | .75 | - 432.78
- 498.33
- 517.22
- 474.44
- 568.33
- 579.44
- 541.11
- 638.89
- 638.89
|
Cabe destacar que los términos cuadráticos son estimables debido a que el diseño del proceso fue de tres niveles. Prescott ejecutó varios modelos interactivos linealizados, es decir, de la forma c(x,z) = f(x)*g(z), que tenían un total de 7*6 = 42 términos. Con 90 ejecuciones, se obtuvieron suficientes grados de libertad para estimar el modelo completo de 42 términos y aún se disponía de grados de libertad para estimar el error estándar. Tras considerar varios modelos, el modelo final sugerido por Prescott para estos datos fue un modelo reducido de la forma:
y = 522,8x1+448,1x2+599,3x3+13,0x1z1 + 1,7x2z1 + 54,3x3z1+56,3x1z2+37,2x2z2
+ 73,8x 3 z 2 – 39,4x 1+ 3,7x 2– 46.0x3– 10,2x 1+ 28,4x 2+ 1.0x 3
Obsérvese que se eliminaron algunos términos del modelo, como los que implican cualquier producto vectorial de x i o la interacción de z 1 y z 2 . De hecho, solo se incluyeron 15 de los 42 términos posibles en este modelo final. Retomaremos este punto al comparar los modelos linealizados con los no lineales.
Wang, et al. (2013) ejecutaron un diseño experimental de mezcla/proceso como parte de un proyecto de clase para un curso de estadística impartido por el primer autor en la Universidad de Rutgers en 2013. Este experimento incluye tres variables de mezcla, agua, leche y jugo de naranja, y dos variables de proceso, la adición de azúcar (0 o 2 gramos) y el tipo de leche utilizada (2% o entera). La respuesta fue el tiempo de fusión en minutos del hielo producido a partir de la mezcla. El diseño de la mezcla fue un diseño simplex de 10 corridas con componentes puros, mezclas 50-50, puntos de control y un centroide, en forma de pseudocomponente. Este es el diseño ilustrado en la Figura 2. Para el diseño del proceso, Wang ejecutó un factorial 2x2 en cuatro corridas. El diseño cruzado con 10*4 = 40 corridas y las respuestas resultantes se dan en la Tabla 3 y se ilustran en la Figura 5.
TABLA 3 Wang et al. Datos de tiempo de fusión
Mezcla | Tipo de leche |
2% | Entero |
Azúcar |
0 gramos | 2 gramos | 0 gramos | 2 gramos |
Agua | Leche | Jugo | Tiempo de fusión |
1/6 | 1/6 | 2/3 | - 29.43
- 24.31
- 34,94
- 32,97
|
0 | - 0.5
- 0.5
- 37.36
- 32.89
- 45.69
- 39.06
- 0.5
- 0.5
|
0 | - 33.32
- 28.34
- 41.78
- 35.84
|
1 | 0 | 0 | - 19.13
- 17.73
- 23.7
- 22.16
|
2/3 | 1/6 | 1/6 | - 24.11
- 22.49
- 29.76
- 25.43
|
1/3 | 1/3 | 1/3 | - 32.08
- 26.29
- 36,97
- 30.13
|
0 | 0 | 1 | - 30.41
- 23.25
- 31.92
- 29.45
- 0.5
|
0 | - 0.5
- 21.86
- 22.88
- 27.09
- 26.21
|
1/6 | 2/3 | 1/6 | - 37.35
- 28.43
- 42.92
- 39,95
|
0 | 1 | 0 | - 48.64
- 33.00
- 45.08
- 47.35
|
Wang et al. (2013) ajustaron un modelo linealizado utilizando una ecuación cúbica especial de 7 términos para f(x) y un modelo de proceso factorial de 4 términos para g(z), que incluía una intersección con el eje X, dos efectos principales y la interacción de dos factores. Por lo tanto, al multiplicar todos los términos, c(x,z) es el modelo linealizado de 28 términos dado en la Ecuación 3. Con 40 ejecuciones y 28 términos para estimar, quedaban 12 grados de libertad para estimar el error estándar.
Modelos y resultados lineales y no lineales
Para cada uno de estos diseños y conjuntos de datos, también se pueden considerar modelos mucho más pequeños, como el modelo aditivo lineal, c(x,z) = f(x) + g(z), que, por supuesto, no tiene términos para estimar la interacción entre las variables de mezcla y de proceso, y también el modelo no lineal. Para estimar el modelo no lineal, se calcula directamente la solución de mínimos cuadrados para c(x,z) = f(x)*g(z), sin multiplicar los términos. Como se mencionó anteriormente, este modelo es no lineal en cuanto a los parámetros. Por ejemplo, en el caso simplista con dos variables de mezcla y una variable de proceso:
c(x,z) = ( b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 12 x 1 x 2 )*(a 0 + a 1 z) (4)
Suponiendo que deseamos estimar cada uno de estos 5 coeficientes, podemos considerar la Ecuación 4 como una ecuación no lineal con 5 coeficientes y usar mínimos cuadrados no lineales para encontrar una solución. Como se mencionó anteriormente, en la práctica solo tenemos 4 coeficientes para estimar porque la Ecuación 4 está sobredeterminada y no tendrá una solución única de mínimos cuadrados. Al establecer arbitrariamente 0 = 1,0, generalmente podemos obtener una solución única de mínimos cuadrados para los demás parámetros. Usar un valor distinto de cero para 0 no modificaría las métricas del modelo, como R² , el error estándar, etc. Por supuesto, con mínimos cuadrados no lineales, no se garantiza una solución única.
Para ajustar el modelo no lineal, utilizamos el algoritmo de regresión no lineal de JMP Pro 10, ejecutado en una MacBook Pro estándar. Como se mencionó anteriormente, ejecutar modelos no lineales es más complejo que ejecutar modelos lineales, pero con software moderno es ciertamente factible, y sugerimos que es una opción viable para este tipo de problemas. Antes de analizar los resultados obtenidos al ajustar modelos lineales aditivos y no lineales a estos tres conjuntos de datos, analizamos brevemente la interpretación de los coeficientes del modelo no lineal. No analizamos el modelo lineal aditivo, ya que la interpretación de los términos de mezcla se ha discutido extensamente en la literatura, como en Cocinero (1963), Cornell (2002) y muchos otros.
Tras estimar los términos del modelo no lineal de la Ecuación 4, podemos multiplicar los términos estimados para facilitar la interpretación. Cabe destacar que esto produce un modelo muy diferente al obtenido al multiplicar los términos antes de estimar los coeficientes, lo que generaría el modelo linealizado. Además, la decisión de establecer 0 = 1 en lugar de otro valor facilita la interpretación del modelo. Al multiplicar los términos estimados en el enfoque no lineal de la Ecuación 4, obtenemos:
= ( 1 x 1 + 2 x 2 + 12 x 1 x 2 )*(1 + 1 z)
= ( x 1 + x 2 + 12 x 1 x 2 ) + ( x 1 + x 2 + 12 x 1 x 2 )* 1 z (5)
Sin perder generalidad, podemos asumir que z se escala para tener una media de 0. Por lo tanto, cuando z está en su valor medio, la Ecuación 5 se simplifica a solo la parte izquierda, que corresponde al modelo de mezcla puro, f(x). Por lo tanto, podemos interpretar los coeficientes de mezcla como la mezcla estimada en el punto medio de la variable de proceso o, alternativamente, como la mezcla promedio en todo el diseño. Esta interpretación se mantiene independientemente de si hay interacción con z. La interpretación de 1 es más compleja. Cabe destacar que z solo aparece en la Ecuación 5 a través de un conjunto de interacciones.
Esto implica la incapacidad del modelo no lineal para estimar el efecto principal de z únicamente a partir de las interacciones de z con las variables de la mezcla. Esto se debe a que el único coeficiente disponible para incorporar el efecto principal de z y también sus interacciones con x i es 1. Si bien f(x) podría reescribirse como un modelo de variable de holgura con una intersección, aún tendríamos solo un grado de libertad para incorporar tanto el efecto principal de z como sus interacciones con las variables de la mezcla. Consideramos esto como un inconveniente del enfoque no lineal y especulamos que el resultado práctico será tener cierta dificultad para ajustar superficies con grandes efectos principales de la variable de proceso e interacción severa entre las variables de la mezcla y del proceso.
Podemos extender esta interpretación a modelos no lineales más amplios, como el modelo de mezcla cúbica especial de 7 términos y el modelo de variable de proceso de 8 términos de su experimento de la hamburguesa de pescado. Si estimamos c(x,z) = f(x)*g(z) directamente como modelo no lineal, estimaríamos 7 + 8 – 1 = 14 coeficientes. Recordemos que establecimos a 0 = 1. Tras calcular estos 14 coeficientes mediante mínimos cuadrados no lineales, podemos multiplicar los términos para facilitar la interpretación. Esto produce:
(x)*(1 + 1 z 1 + 2 z 2 + 3 z 3 + 12 z 1 z 2 + 13 z 1 z 3 + 23 z 2 z 3 + 123 z 1 z 2 z 3 ),
que es 1 por (x), más 1 z 1 por (x), más 2 z 2 por (x), y así sucesivamente. En otras palabras, todos los demás términos del modelo además de (x)*1 implican i por uno o más z i , por (x). Por lo tanto, ninguno de los efectos principales de z i puede estimarse de forma única a partir de la interacción de ese z i con las variables de la mezcla (y sus interacciones), de forma análoga a la situación de la Ecuación 5. De forma similar, las interacciones entre z i , como z 1 z 2 , por ejemplo, no pueden estimarse de forma única a partir de las interacciones entre este término y los términos de la mezcla.
Desde un punto de vista práctico, la incapacidad para estimar coeficientes individuales, por ejemplo, para z 1 y x 1 z 1 , es más preocupante que la incapacidad para estimar coeficientes individuales para interacciones como z 1 z 2 z 3 y x 1 x 2 x 3 z 1 z 2 z 3 , en el sentido de la resolución del diseño (Box et al., 2005). Es decir, los profesionales rara vez se preocuparían por la importancia práctica de una interacción de seis factores.
Ajustando tanto el modelo aditivo lineal, c(x,z) = f(x) + g(z), como el modelo no lineal, c(x,z) = f(x)*g(z), a los tres conjuntos de datos discutidos previamente, obtenemos los resultados que se muestran en la Tabla 4. Para los conjuntos de datos de Cornell y Wang, ajustamos modelos completos sin intentar la selección de subconjuntos. Con los datos de Prescott, tanto para el modelo aditivo lineal como para el no lineal, incorporamos solo los términos en f(x) y g(z) que fueron seleccionados por Prescott para estar en su modelo linealizado final. Específicamente, para f(x) usamos solo x 1 , x 2 , y x 3 . Para g(z) incluimos z 1 , z 2 , y . En este sentido, las comparaciones de Cornell y Wang son “manzanas con manzanas” sin selección de subconjuntos, y la comparación de Prescott es “manzanas con manzanas” con la selección de subconjuntos aplicada por Prescott.
El criterio numérico que utilizamos es el error estándar estimado, o error cuadrático medio (RMSE). Obviamente, no existe una única métrica que pueda determinar la "bondad" de un modelo. Para desarrollar modelos adecuados en la práctica, es necesario considerar varios criterios numéricos, evaluar gráficos de residuos, comparar los resultados con teorías sólidas, etc. El lector no debe inferir que recomendamos centrarnos únicamente en el RMSE para la construcción de modelos. Sin embargo, para fines de comparación de modelos, utilizamos el error estándar estimado simplemente como un criterio objetivo conveniente para medir el grado de ajuste del modelo a los datos.
De la Tabla 4 se desprende que, en dos casos, el modelo linealizado proporciona el menor error estándar estimado, y es casi el más pequeño para los datos de Cornell. Esto no es sorprendente, ya que el modelo aditivo lineal no admite ninguna interacción, y el modelo no lineal presenta las limitaciones señaladas anteriormente. De estos tres análisis, concluimos que, si se dispone de suficientes grados de libertad, el modelo linealizado es el enfoque preferido, considerando que estos tres modelos aplican este criterio.
TABLA 4 RMSE de modelos linealizados, aditivos lineales y no lineales
Datos de Cornell Datos de Prescott Datos monetarios
Linealizado 0 .17* 21.0 1.36
Aditivo lineal 0,24 24,3 2,38
No lineal 0 .16 23.1 2.05
*Calculado utilizando el método de Lenth porque no hay grados de error.
Tras un examen más detallado, sin embargo, observamos que para dos de los conjuntos de datos, los datos de Cornell y los datos de Prescott, las diferencias entre los modelos no son tan grandes como uno podría esperar, y de hecho, el RMSE del modelo no lineal es ligeramente menor que el RMSE del modelo linealizado para los datos de Cornell. Recordemos que debido a que no quedan grados de libertad para estimar el error, el RMSE del modelo linealizado se calcula utilizando el método de Lenth. El rendimiento del enfoque no lineal es impresionante dada la magnitud de las diferencias en el número de coeficientes estimados en estos modelos: 14 (aditivo lineal o no lineal) frente a 56 (linealizado) para el modelo de Cornell, 12 frente a 42 para el modelo completo de Prescott (7 frente a 15 si utilizamos solo los términos del modelo reducido de Prescott), y 10 frente a 28 para el modelo de Wang. Los modelos no lineales y aditivos lineales son mucho más parsimoniosos.
Una posible explicación de por qué los enfoques aditivos lineales y no lineales no funcionan bien para los datos de Wang es que existe una interacción altamente significativa entre las variables de mezcla y proceso con estos datos. Por ejemplo, los términos en el modelo linealizado para leche*azúcar*tipo de leche (x 2 z 1 z 2 ), y leche*jugo*azúcar*tipo de leche (x 2 x 3 z 1 z 2 ), son ambos estadísticamente significativos en el nivel de .01. El término para agua*leche*azúcar*tipo de leche (x 1 x 2 z 1 z 2 ), es casi significativo en el nivel de .01 (valor p = .0101). En nuestra experiencia, es muy inusual encontrar interacciones de cuatro factores tan altamente significativas. El modelo lineal, al no incluir ningún término para la interacción entre las variables de proceso y mezcla, obviamente no podrá modelar efectivamente dicha interacción. El modelo no lineal simplemente no tiene suficientes términos para proporcionar una buena aproximación. Con una interacción de orden superior tan significativa, es probable que se requiera el enfoque linealizado.
Dadas las diferencias relativamente bajas observadas en la Tabla 4, parece plausible que podamos ahorrar tiempo y dinero significativamente al reducir la cantidad de experimentación inicial. Ciertamente, no se necesitan 90 ejecuciones para estimar 12 términos en el modelo no lineal de Prescott utilizando todos los términos, ni 56 ejecuciones para estimar los 14 términos en el modelo no lineal de Cornell. Para responder a esta pregunta, evaluamos cómo cada uno de estos modelos se ajustaría a una fracción de los diseños realmente ejecutados.
Resultados con diseños fraccionales
Cada uno de los diseños que hemos analizado se generó cruzando el diseño de mezcla con el diseño de proceso. Por lo tanto, el número total de ejecuciones fue n 1 * n 2 , donde n 1 era el número en el diseño de mezcla y n 2 el número en el diseño de proceso. Para el diseño de hamburguesa de pescado de Cornell, esto fue 7 * 8 = 56. Dados los resultados mostrados anteriormente para los modelos no lineales, una pregunta lógica es si las 56 ejecuciones fueron realmente necesarias, o si Cornell podría haber ejecutado un diseño mucho más pequeño y obtener casi los mismos resultados. Una de las justificaciones dadas por Cornell (2002) para ejecutar el diseño de 56 ejecuciones fue la necesidad de estimar todos los coeficientes en el modelo linealizado.
Cornell (2002) también señaló que si los experimentadores no podían ejecutar el diseño completo, podían crear un diseño fraccional ejecutando una fracción del diseño del proceso en cada punto del espacio de la mezcla. Para garantizar que se pudieran estimar tantos términos como fuera posible, Cornell sugirió cambiar la fracción del diseño del proceso que se ejecutaba en diferentes puntos del diseño de la mezcla. Por ejemplo, en el caso de tres variables de proceso, podríamos ejecutar la mitad de la fracción z 1 z 2 z 3 = 1 en aproximadamente la mitad de los puntos de diseño de la mezcla, y z 1 z 2 z 3 = -1 en la otra mitad. Cornell recomendó además ejecutar el diseño del proceso completo en el centroide del espacio de la mezcla, si era posible. Señaló que si se ejecutaba este diseño fraccional, el experimentador no podría estimar el modelo linealizado completo, sino que estaría restringido a estimar un subconjunto de estos términos.
En el caso de la hamburguesa de pescado, el diseño de la mezcla tenía 7 puntos y el diseño del proceso 8. Si se ejecutan los 8 puntos en el centroide y luego 4 (media fracción) en todos los demás puntos, se obtendría un diseño fraccional con 32 puntos. Esto no es suficiente para estimar todos los términos en el modelo linealizado de la hamburguesa de pescado, pero es más que suficiente para estimar los 14 términos en el modelo aditivo no lineal o lineal. En la Figura 6 mostramos el diseño fraccional con z 1 z 2 z 3 = 1 ejecutado en las mezclas puras y z 1 z 2 z 3 = -1 ejecutado en las mezclas 50-50. Para facilitar la interpretación gráfica y permitir las comparaciones con la Figura 3, volvemos a mostrar los puntos de mezcla ejecutados en cada punto del diseño del proceso, aunque el método de construcción fue el indicado anteriormente.
Además de observar el ajuste del modelo no lineal al conjunto de datos reducido, también contamos con una muestra de reserva natural para evaluar mejor el modelo. Es decir, solo se utilizan 32 ejecuciones para estimar el modelo no lineal. Por lo tanto, una vez estimados los términos del modelo, podemos utilizar este modelo para predecir las 24 ejecuciones que no se utilizaron para estimarlo. Esta muestra de reserva se considera generalmente un criterio más válido para evaluar un modelo estimado, ya que el modelo no ha visto estos datos y no puede verse influenciado por ellos durante el proceso de ajuste. La Tabla 5 muestra los resultados del primer ajuste de los modelos lineal aditivo y no lineal al diseño fraccional que se muestra en la Figura 6, así como el error estándar de predicción (RMSE) al predecir los datos de reserva. Cabe destacar que el modelo de Cornell tenía demasiados términos para estimarlos con un diseño fraccional, por lo que el modelo linealizado no es una opción.
Obviamente, se podría invertir arbitrariamente el diseño fraccional ejecutado con mezclas puras frente a mezclas 50-50 . Por lo tanto, para mayor exhaustividad, consideramos el diseño mostrado en la Figura 6 como diseño fraccional 1 y definimos el diseño fraccional 2 como aquel en el que z₁₂₃ = -1 se ejecuta con mezclas puras y z₁₂₃ = 1 se ejecuta con mezclas 50-50. Nuevamente, los 8 puntos de diseño del proceso se ejecutan en el centroide.
TABLA 5 Resultados de predicción con diseños fraccionales de Cornell
*Calculado utilizando el método de Lenth porque no hay grados de error.
Obsérvese en la Tabla 5 que, para ambos diseños fraccionales, los modelos no lineales se ajustan bien a los datos de "entrenamiento" y a los datos de reserva razonablemente bien. El RMSE de predicción es de 0,22 para ambos diseños fraccionales, lo cual es mayor que el RMSE original de 0,16, pero dentro de lo razonable, considerando que solo utilizamos 32 de las 56 ejecuciones originales, lo que representa una reducción del 43 %. El modelo aditivo lineal también funciona de forma consistente con su ajuste de todo el conjunto de datos. Como se mencionó anteriormente, si nuestro único objetivo es maximizar el ajuste del modelo, entonces se prefiere un diseño cruzado completo con el modelo linealizado. Sin embargo, si el tiempo y el costo son consideraciones importantes, entonces se debe considerar un modelo no lineal con menor precisión de predicción, pero obtenido con mucho menos esfuerzo experimental.
El diseño de mezcla de Prescott consistía en una red simplex con dos puntos de borde entre cada mezcla pura y un centroide. Esto se combinó con un diseño de proceso 3/2 . Esta combinación presenta un mayor desafío para determinar un diseño fraccional que estuviera equilibrado heurísticamente. Tras considerar diversas opciones, definimos el diseño fraccional 1 como el 3/2 completo en el centroide, los puntos donde z≤z≤z≤ = 0 en las mezclas puras, y los puntos donde z≤z≤z≤ = 0 y también donde z≤z≤z≤ = ± 1 en los siguientes tres puntos de borde: (2/3, 1/3, 0), (0, 2/3, 1/3) y (1/3, 0, 2/3). Esto da como resultado un diseño fraccional de 39 corridas ( 9 + 5*3 + 5*3), ilustrado en la Figura 7. Nótese que el diseño fraccional tiene menos de la mitad de puntos que el diseño original de 90 corridas. El diseño fraccional 2 se obtuvo ejecutando nuevamente el proceso 3 2 completo en el centroide, pero invirtiendo los puntos de proceso ejecutados en las mezclas puras versus los tres puntos de borde.
Los resultados de la predicción para los diseños fraccionales de Prescott se muestran en la Tabla 6. Cabe destacar que, para el modelo linealizado de Prescott, solo se utilizaron los 15 términos que él mantuvo en el modelo final, por lo que podemos estimar este modelo con el diseño fraccional. Esto nos permite comparar el modelo linealizado con los modelos lineales aditivos y no lineales con los datos fraccionales. Por supuesto, si Prescott hubiera ejecutado un modelo de mezcla cúbica especial completo de 7 términos con un diseño de proceso factorial de 6 términos, no tendríamos los 42 grados de libertad necesarios para estimar todos los términos.
En la Tabla 6, podemos observar que el modelo linealizado funciona muy bien con los diseños fraccionales utilizando los datos de entrenamiento. De hecho, el RMSE para ambos diseños es menor que el RMSE obtenido con el conjunto completo de datos. Esto se puede explicar en parte porque Prescott determinó los parámetros necesarios en el modelo linealizado a partir del conjunto completo de datos. En este sentido, utilizamos información del conjunto completo de datos al ajustar un modelo linealizado a los datos fraccionales. Sin embargo, no podemos estimar todos los términos en el modelo linealizado completo con estos 39 puntos de datos. Cabe destacar, sin embargo, que el modelo linealizado tiene un rendimiento mucho peor en la predicción de los datos de retención. De hecho, para ambos diseños fraccionales, el RMSE de la predicción linealizada es mayor que el de los modelos lineales y no lineales.
Nuevamente, los modelos lineales aditivos y no lineales proporcionan un RMSE de predicción razonablemente cercano al RMSE del conjunto de entrenamiento, para ambos diseños. Al igual que con los datos de Cornell, observamos que ajustar un modelo lineal aditivo o no lineal con un diseño fraccional ofrece una alternativa viable a la ejecución del diseño completo de 90 ejecuciones.
TABLA 6 Resultados de predicción con diseños fraccionales de Prescott
El diseño original de Wang consistía en un símplex de 10 corridas con 50-50 puntos de borde y puntos de control, combinado con un diseño de proceso 2x2 , lo que resultó en 10*4 = 40 corridas. El diseño fraccional 1 se obtuvo ejecutando un 2x2 completo en el centroide y mezclas puras, la mitad de la fracción z⁻⁻z⁻ = 1 en los puntos de borde 50-50, y la mitad de la fracción z⁻⁻z⁻ = -1 en los puntos de control. Esto da como resultado 4*4 + 2*3 + 2*3 = 28 corridas, como se muestra en la Figura 8. El diseño fraccional 2 se obtuvo invirtiendo las fracciones ejecutadas en los puntos de borde y puntos de control 50-50.
Utilizando estos diseños fraccionales, comparamos nuevamente los modelos linealizados, aditivos lineales y no lineales en términos de predicción del RMSE. Dado que el modelo linealizado ejecutado por Wang tiene 28 parámetros, podemos estimar este modelo completo, aunque sin grados de libertad restantes para estimar el error. Por lo tanto, para fines de comparación, utilizamos nuevamente el pseudoerror estándar de Lenth en lugar del RMSE para el modelo linealizado. Los resultados de estas comparaciones se muestran en la Tabla 7.
TABLA 7 Resultados de predicción con diseños fraccionales de Wang
*Calculado utilizando el método de Lenth porque no hay grados de error.
Quizás lo más destacable de la Tabla 7 son las malas predicciones del modelo linealizado. En gran parte, esto probablemente se deba a que con los diseños fraccionales no hay grados de libertad para estimar el error. En nuestra opinión, una lección clave de esto es el peligro de usar modelos de regresión con pocos o ningún grado de libertad para el error para predecir nuevos datos. La evaluación y validación del modelo son tareas difíciles; hacerlo con pocos o ningún grado de libertad para el error probablemente resulte en malas predicciones. Los modelos lineales aditivos y no lineales tienen un mejor rendimiento, aproximadamente equivalente entre sí en términos de predicción fuera de muestra. Cabe destacar que ni los modelos lineales aditivos ni los no lineales produjeron un RMSE cercano al del modelo linealizado con el conjunto completo de datos. Sin embargo, al predecir fuera de muestra, ambos tienen un mejor rendimiento que el modelo linealizado. Nuevamente, argumentamos que esto proporciona cierta evidencia de que los modelos lineales aditivos y no lineales, ejecutados en diseños fraccionales, son alternativas viables a considerar en la práctica.
¿Qué hemos aprendido?
Hemos comparado modelos linealizados, aditivos lineales y no lineales utilizando dos conjuntos de datos publicados sobre procesos de mezcla y un nuevo conjunto de datos. Además, hemos comparado estos enfoques no solo en términos de ajuste a los conjuntos de datos originales, sino también en el ajuste de posibles diseños fraccionales que podrían haberse implementado en lugar de los diseños cruzados completos (mezcla por proceso). Reiteramos que nuestro propósito no es encontrar el diseño óptimo ni el mejor modelo en sentido absoluto. Más bien, proponemos un enfoque de ingeniería estadística para determinar la mejor estrategia para abordar los problemas de procesos de mezcla ante la posible interacción. Dicha estrategia consideraría los beneficios prácticos de los diseños fraccionales y los enfoques secuenciales.
En resumen, argumentamos que hemos aprendido lo siguiente de estas comparaciones:
- Si se dispone de suficientes grados de libertad, es probable que los modelos linealizados, obtenidos al multiplicar los términos del modelo de mezcla por los del modelo de proceso, se ajusten mejor a los datos y proporcionen las mejores predicciones de los datos fuera de la muestra.
- Los modelos aditivos lineales, que ignoran la interacción mezcla-proceso, y los modelos no lineales ofrecen alternativas viables al modelo linealizado y ofrecen ventajas significativas en cuanto al número de términos a estimar.
- Cuando los experimentadores consideran la opción de modelos aditivos lineales o no lineales, una estrategia secuencial que comienza con diseños fraccionales ofrece el potencial de reducir significativamente la cantidad total de experimentación requerida para desarrollar un modelo útil.
- Si los modelos lineales aditivos y no lineales no se ajustan adecuadamente a los diseños fraccionales originales, los experimentadores pueden ejecutar el diseño cruzado completo restante y ajustar el modelo linealizado. En este sentido, los experimentadores tienen mucho que ganar y muy poco que perder al considerar una estrategia secuencial.
- Un punto adicional que no debe pasarse por alto es que los modelos con pocos o ningún grado de libertad para el error residual pueden ajustarse bien a los datos de muestra, pero es riesgoso utilizarlos para hacer predicciones fuera de los datos de muestra.
La estrategia que sugerimos se ilustró en la Figura 1. Al ejecutar inicialmente el diseño fraccional, podemos reducir significativamente la cantidad de experimentación necesaria para ajustar un modelo adecuado. Los diferentes diseños fraccionales y el número de coeficientes en los distintos modelos se resumen en la Tabla 8 para su comparación.
TABLA 8 Tamaño de los diseños completos y fraccionales y número de coeficientes en los modelos
Conjunto de datos | - No. Ejecuta diseño completo
| - No. Ejecuta diseño fraccional
| Reducción | - N.º de coeficientes del modelo linealizado
- N.º de coeficientes del modelo aditivo lineal
- N.º de coeficientes del modelo no lineal
|
Cornell | 56 | 32 | 43% | 56 | 14 | 14 |
Prescott | 90 | 39 | 57% | 42 | 12 | 12 |
Wang y otros. | 40 | 28 | 30% | 28 | 11 | 11 |
Sugerimos ejecutar los modelos lineales aditivos y no lineales con los datos fraccionales. Si el modelo no lineal se ajusta considerablemente mejor, esto indicaría una interacción significativa entre las variables de la mezcla y del proceso. Por supuesto, no hay garantía de que el modelo lineal aditivo o no lineal se ajuste correctamente. En particular, con altos grados de interacción entre las variables de la mezcla y del proceso, probablemente se necesitarán modelos linealizados.
Si los experimentadores no están satisfechos con los modelos generados a partir del diseño fraccional, tienen la opción de ejecutar la otra fracción (la fracción no ejecutada inicialmente) para completar el diseño completo. Esta opción debería formar parte de la estrategia adoptada al inicio del estudio. Este enfoque permitiría la estimación del modelo linealizado completo. Se requeriría un grado de libertad para bloquear eficazmente el diseño a lo largo del tiempo, entre la primera y la segunda fracción. De lo contrario, este enfoque no presenta ninguna desventaja real, suponiendo que sea posible experimentar secuencialmente. Reconocemos nuevamente que la teoría que sustenta los modelos no lineales no está tan desarrollada como la de los modelos lineales.
El paso de adecuación del modelo en la Figura 1 no debe limitarse, por supuesto, a la evaluación del RMSE. Este paso de decisión pretende incluir una evaluación completa de la adecuación del modelo, incluyendo un análisis minucioso de los residuos, la evaluación de posibles valores atípicos, la comparación con el conocimiento actual del dominio sobre este problema, etc. Se asume dicha evaluación del modelo linealizado, por lo que no la hemos incluido como otro paso en la Figura 1. Nuestro objetivo en esta figura es mostrar cómo evaluar los diferentes modelos de forma secuencial, en lugar de describir los detalles de la construcción de un modelo estadístico sólido, como se describe en Box et al. (2005), por ejemplo.
El lector puede notar que en este artículo no investigamos el potencial de los diseños asistidos por computadora para seleccionar una fracción óptima que se ajuste al diseño no lineal. Creemos que la investigación sobre la aplicación de diseños computacionales a modelos no lineales en problemas de procesos mixtos podría arrojar resultados incluso mejores que los que presentamos. Dejamos esto para futuras investigaciones.
Se ha desarrollado, probado e ilustrado una estrategia viable
Consideramos el problema de diseñar experimentos y ajustar modelos con variables de mezcla y de proceso, que se consideran susceptibles de interactuar entre sí. Un enfoque común para estos problemas consiste en ejecutar un diseño de mezcla completo cruzado con un diseño factorial completo en las variables de proceso. Este diseño permite estimar todos los coeficientes de un modelo linealizado, un modelo creado al cruzar todos los términos del modelo de mezcla con los del modelo de proceso. Sin embargo, tanto los modelos como los diseños necesarios para estimarlos tienden a ser bastante grandes. Por ejemplo, en el ejemplo de elaboración de pan de Prescott, se utilizó un diseño de 90 ejecuciones. El diseño de la hamburguesa de pescado de Cornell requirió 56 ejecuciones.
Consideramos el caso en el que los experimentadores desean un buen modelo, quizás no el óptimo, y desean obtenerlo con mucha menos experimentación que 90 o 56 ejecuciones. En estas situaciones, argumentamos que una estrategia de ingeniería estadística que utiliza experimentación secuencial, diseños fraccionales mucho más pequeños inicialmente y la consideración de modelos lineales aditivos o no lineales, proporciona un mejor enfoque general. En resumen, no afirmamos que el modelo no lineal sea probablemente superior al modelo linealizado en términos de RMSE o RMSE de predicción. Tampoco afirmamos que los diseños fraccionales contengan tanta información como los diseños cruzados completos. En este sentido, no proponemos un diseño específico per se, ni un modelo específico per se.
En lugar de ello, proponemos una estrategia para abordar dichos problemas que, en general, consideramos superior a los enfoques sugeridos en la literatura actual. En este sentido, nuestra estrategia propuesta es un enfoque de ingeniería estadística. Con base en los resultados aquí mostrados, concluimos que este enfoque es superior porque ofrece el potencial de ahorrar tiempo y esfuerzo experimental significativos, a la vez que prácticamente no presenta inconvenientes, suponiendo que un enfoque secuencial sea viable. En particular, los modelos no lineales son bastante fáciles de estimar con software estadístico moderno, como R, JMP, Minitab o SAS; por lo tanto, el software no debería ser un obstáculo para la consideración de modelos no lineales. Además, creemos que enfoques similares podrían tener un uso más general en otras aplicaciones de superficies de respuesta, más allá de los modelos de variables de mezcla/proceso, pero este es un tema para futuras investigaciones.
Referencias
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Box, GEP, Hunter, JS, y Hunter, WG (2005). Estadística para experimentadores , 2.ª edición, John Wiley and Sons, Hoboken, NJ.
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