Roger W. Hoerl, PhD, Brate-Peschel 통계학 조교수, Union College
Ronald D. Snee, PhD, Snee Associates 사장
비선형 모델을 사용한 효율적인 혼합/공정 실험
2015년 9월
로널드 D. 스니, 스니 어소시에이츠, 뉴어크, 델라웨어
Roger W. Hoerl, Union College, Schenectady, NY
Gabriella Bucci, Out of Door Academy, 플로리다주 사라소타
저작권: Ronald D. Snee, Roger W. Hoerl, Gabriella Bucci 2015
참고: 이 논문은 현재 "공정 변수를 사용한 혼합 실험에 대한 통계적 엔지니어링 접근 방식"이라는 제목으로 편집 검토 중입니다.
추상적인:혼합 구성 요소와 공정 변수 모두를 실험하는 것, 특히 이 두 변수 집합 간에 상호 작용이 있을 가능성이 있는 경우에 대해 논의합니다. 실제 혼합/공정 문제를 해결하는 맥락에서 설계 및 분석 문제를 모두 고려합니다. 주어진 데이터 집합에 대한 최상의 설계 또는 최상의 모델을 찾는 것과는 달리 이러한 문제를 해결하기 위한 전략에 중점을 둡니다. 이런 의미에서 통계적 엔지니어링 프레임워크가 사용됩니다. 특히, 더 큰 선형화된 모델과 달리 간결한 비선형 모델을 적합시킬 가능성을 고려할 때 실험 설계의 크기를 줄일 수 있는 상당한 기회가 있음을 알게 됩니다. 실제로 어떤 유형의 모델이 결과 데이터에 가장 적합한지 아는 것은 어렵습니다. 따라서 통합적이고 순차적인 설계 및 분석 전략이 권장됩니다. 두 개의 게시된 데이터 집합과 하나의 새로운 데이터 집합을 사용하여 일부 경우 비선형 모델 또는 상호 작용을 무시하는 선형 모델을 사용하면 실험을 50% 정도 줄일 수 있음을 알게 되었습니다. 다른 경우에는 비선형 모델로는 충분하지 않을 수 있습니다. 따라서 우리는 이러한 접근 방식이 성공할 가능성이 높은 시점에 대한 지침을 제공하고 이러한 문제에 대한 전반적인 전략을 제안합니다.
키워드:혼합물, 혼합물 모델, 혼합물 실험, 비선형 모델
소개
혼합 문제(성분 비율이 1.0이 되어야 함)는 식품, 제약, 화학 제품 개발 등 많은 산업과 응용 분야에서 발생합니다. 많은 혼합 응용 분야에서 최종 반응에 영향을 미치는 것은 제형뿐만 아니라 공정 변수도 있습니다. 예를 들어, 블렌디드 와인을 생산할 때 최종 맛과 기타 중요한 특성은 사용된 포도 품종의 비율뿐만 아니라 재배 기간의 기후 조건, 포도 수확 시기, 발효 과정의 다양한 단계에서의 온도, 사용된 숙성 통 유형 등과 같은 공정 변수에 따라 달라집니다.
어떤 경우에는 혼합물 구성 요소와 공정 변수가 상호 작용하지 않습니다. 와인 예에서 이는 발효 및 기타 처리가 사용된 포도 품종을 고려하지 않고도 최적화될 수 있음을 의미합니다. 이 시나리오는 혼합물 모델과 공정 변수 모델을 결합한 첨가 모델을 활용하게 합니다. 다른 경우에는 이 첨가 시나리오가 적용되지 않습니다. 최상의 처리 조건이 사용된 품종에 따라 달라질 수 있기 때문입니다. 이 경우 혼합물과 공정 변수 간에 상호 작용이 발생합니다. 상호 작용 시나리오는 혼합물과 공정 변수 간의 상호 작용을 설명하는 용어를 통합하는 모델로 이어집니다.
이러한 상호 작용이 예상될 때 일반적으로 사용되는 실험 설계는 상호 작용을 통합하는 선형 모델에서 용어의 수를 수용하기 위해 큰 경향이 있습니다(Cornell 2002, 2011). 물론 주제 지식이나 이전 실험을 통해 최종 모델 형태가 무엇인지 알고 있다면 해당 특정 모델을 추정하기 위해 최적 또는 최적에 가까운 실험을 설계할 수 있습니다. 실험자가 상호 작용을 의심하지만 설계를 실행하고 후속 데이터를 얻기 전에 최종 모델 형태를 지정하는 데 자신감이 없는 보다 일반적인 상황을 고려합니다. 따라서 우리의 초점은 주어진 모델에 대한 최적 설계나 주어진 데이터 세트에 대한 최적 모델에 있지 않습니다. 오히려 우리는 이러한 문제를 공격하기 위한 전략에 초점을 맞추고, 대안적 설계, 대안적 모델을 고려하고, 실제로 문제를 해결하는 데 있어 효율성의 필요성을 고려합니다.
이런 의미에서, 우리는 통계적 공학적 접근 방식(Hoerl과 Snee 2010, Anderson-Cook과 Lu 2012)을 취해 비즈니스, 산업, 연구 또는 정부에서 발생하는 혼합/공정 응용 프로그램을 다루는 가장 효과적이고 효율적인 접근 방식을 파악합니다. 특히, 우리는 매개변수에서 비선형적인 모델을 진지하게 고려하면 매개변수에서 선형적인 기존 모델에 대한 효율적인 대안을 제공할 수 있다는 것을 발견했습니다. 비선형 모델을 맞추는 것은 선형 모델을 맞추는 것보다 어렵지만, R, JMP, Minitab 또는 SAS와 같은 최신 소프트웨어를 사용하면 사용자가 비선형 모델을 상당히 쉽게 추정하고 해석할 수 있습니다. 적어도 10~20년 전의 상용 소프트웨어와 비교했을 때 그렇습니다.
비선형 모델은 동일한 혼합물/공정 문제에 대해 추정할 매개변수가 적습니다. 예를 들어, 코넬의 생선 패티 응용 프로그램(Cornell 2002)에서 선형 모델에는 추정할 항이 56개 있는 반면 비선형 모델에는 14개였습니다. 따라서 비선형 모델이 실행 가능한 대안을 제공한다면 훨씬 더 공격적인 분수 설계 전략을 취해 초기 실험을 크게 줄일 수 있습니다. 계수의 표준 오차와 같은 비선형 모델의 기본 이론은 선형 모델보다 덜 개발되었으며 종종 점근적 또는 근사적 결과에 의존한다는 것을 인정합니다(Montgomery 2012).
다시 말해, 비선형 모델은 공정과 혼합 변수 간의 상호 작용을 수용하기 위해 더 적은 매개변수가 필요하기 때문에 훨씬 더 작은 분수 설계를 처음에 실행할 수 있습니다. 분명히 실험 비용이 무시할 수 없다고 가정하면 14개 항을 추정하는 데 56번의 실행이 필요하지 않습니다. 비선형 모델 또는 상호 작용이 없는 가산 선형 모델이 충분하다면 초기 설계로 문제를 해결할 수 있습니다.
비선형 모델을 고려함으로써 얻을 것은 많고 잃을 것은 거의 없습니다. 이러한 작은 모델이 충분한 정확도를 제공하지 못하는 경우, 순차적으로 추가 실험을 수행할 수 있습니다. 이런 방식으로 최상의 시나리오는 문제를 해결하는 데 필요한 실험 효과를 최대 50%까지 줄이는 것이고, 최악의 시나리오는 결국 상호 작용이 있는 일반적인 선형 모델에 필요한 모든 실험을 실행해야 한다는 것입니다. 이러한 전반적인 전략은 그림 1에 설명되어 있습니다. 주어진 모델에 대한 최상의 개별 설계나 주어진 데이터 세트에 대한 최상의 개별 모델에 집중하는 것보다 문제를 공격하는 데 가장 좋은 전반적인 접근 방식을 강조하는 것이 통계 공학의 핵심이라고 생각합니다.
이 기사의 나머지 부분은 다음과 같이 구성되어 있습니다. 먼저 상호 작용이 있는 변수를 포함한 공정 변수가 있는 혼합 실험에 사용되는 일반적인 모델과 설계를 검토합니다. 다음으로 통계 공학의 기본 사항을 검토하고 이 특정 문제에 어떻게 적용되는지 논의합니다. 그런 다음 이전에 발표된 두 데이터 세트와 새로운 데이터 세트 한 개를 소개합니다. 이러한 데이터 세트를 사용하여 데이터 적합 측면에서 선형 가산, 선형 상호 작용 및 비선형 모델을 비교합니다. 또한 비선형 모델의 계수에 대한 잠재적 해석을 알아봅니다. 다음으로 이러한 각 문제에 대한 분수 설계로 발견할 수 있는 가상 결과를 고려합니다. 즉, 분수 설계에 따라 실제 데이터의 하위 집합을 분석하고 다양한 모델을 적합하고 모델을 사용하여 모델에서 사용하지 않는 데이터를 예측합니다. 마지막으로 이 분석의 의미를 고려하고 상호 작용이 의심되는 혼합/공정 문제를 해결하기 위한 전략을 제안합니다.
혼합/공정 문제에 사용되는 일반적인 모델
공정 변수가 있는 혼합 문제에 적용되는 잠재적인 설계와 모델은 많이 있습니다. 여기서는 응용 프로그램에서 사용되는 가장 일반적인 모델과 설계, 특히 Scheff를 강조합니다.모델(Scheff1963, Cornell 2002), 포괄적인 검토를 제공하려고 하지 않고. 먼저 혼합 모델 자체를 고려한 다음, 상호 작용이 없는 프로세스 변수가 있는 혼합 모델, 그런 다음 상호 작용이 있는 혼합 모델을 고려합니다. 모델을 완료한 후, 이러한 모델의 적합성을 가능하게 하기 위해 일반적으로 실행되는 설계에 대해 논의합니다.
공식화 구성 요소의 합이 1.0이 되어 자유도 1이 손실된다는 제약 때문에 표준 선형 회귀 모델에서 상수 항을 간단히 삭제하는 것이 일반적입니다. 예를 들어, q개의 혼합 구성 요소에서 선형 Scheff모델은 다음과 같이 작성됩니다.
성분의 합이 1.0이기 때문에 가장 의미 있는 것은 계수의 절대값이 아니라 계수 간의 관계입니다. 예를 들어, b 1 =10, b 2 =20, b 3 =30이고 성분이 3개인 경우 x 1은 반응에 부정적인 영향을 미친다고 말할 수 있습니다. x 1을 늘리려면 x 2 또는 x 3 을 같은 양만큼 줄여야 하기 때문입니다. 따라서 x 1을 늘리는 순 영향은 E(y)를 줄이는 것입니다. 혼합 계수 해석에 대한 자세한 내용은 Cornell(2002)에서 찾을 수 있습니다.
이 논문에서 제시된 모든 모델에 대해 평균 0, 표준 편차를 갖는 독립적이고 동일하게 분포된 정규 분포인 가산적 임의 오차 항을 가정합니다.. 오류 항목은 모든 통계 모델에서 분명히 중요하지만, 이는 현재 기사의 핵심 요점이 아니므로 앞으로 이 오류 항목에 대해서는 거의 언급하지 않겠습니다.
고려할 수 있는 다른 혼합 모델이 있는데, 예를 들어 "슬랙 변수" 모델은 혼합 제약을 피하기 위해 혼합 재료 중 하나를 제거하고 상수 항을 다시 모델에 추가합니다. 곡률이 있는 경우 선형 항과 구성 요소 간의 모든 가능한 교차곱 항을 통합하는 2차 셰프 모델을 맞추는 것이 일반적입니다.
각 구성 요소를 다른 모든 구성 요소의 합에서 뺀 것으로 볼 수 있기 때문에 일반적으로 교차곱 항을 전통적인 의미의 상호 작용을 모델링하는 것으로 간주하지 않고 일반적으로 비선형 블렌딩을 모델링합니다. 추가 비선형 블렌딩이 있고 충분한 자유도가 있는 경우 특수 3차 셰프 모델을 적합시킬 수 있습니다.
이것은 모든 3차 항을 포함하지 않고 오히려 2차 모델과 3개 항 사이의 모든 가능한 교차곱을 더한 의미에서 "특별한" 3차로 간주됩니다. 예를 들어, 특수 3차는 항 x 2 를 포함하지 않습니다. 완전한 3차 셰프 모델은 다음과 같습니다.
여기서 d ij는 이진 과잉 또는 "시너지즘"(Cornell 2011 p. 31)의 3차 계수입니다. 모델에 프로세스 변수가 있는 경우 혼합 변수에 대해 x i , 프로세스 변수에 대해 z i , 혼합 계수에 대해 b i , 프로세스 변수 계수에 대해 a i를 사용합니다. d 아이제이 항은 고려하지 않습니다. 또한 혼합 성분만 있는 모델에는 일반 용어 f(x)를 사용하고 프로세스 변수만 있는 모델에는 g(z)를 사용합니다. 둘 다 통합한 결합 모델은 c(x,z)로 작성합니다.
다시 말해서, 프로세스 변수와 혼합 성분과 프로세스 변수의 조합에 적용할 수 있는 잠재적인 모델이 많이 있습니다. 여기서는 애플리케이션에서 가장 일반적으로 적용되는 표준 설계에 초점을 맞춥니다. 선형 프로세스 변수 모델은 다음과 같습니다.
,
여기서 우리는 r개의 독립 변수를 가지고 있습니다. 2차(완전한 2차) 프로세스 변수 모델은 다음과 같습니다.
이중 합산에는 i=j가 포함되므로 전체 2차 모델은 모델에 제곱(2차) 항을 포함합니다. 분명히 이러한 모델을 맞추려면 설계에 두 개 이상의 수준이 필요합니다. 2단계 설계에서는 요인 모델(선형 항과 2차 상호 작용은 있지만 2차(제곱) 항은 없음)을 사용할 수 있습니다.
물론, 완전 요인 설계를 사용하면 고차 상호작용도 추정할 수 있습니다.
혼합물과 공정 변수가 모두 있는 상황에서 주요 고려 사항은 혼합물과 공정 변수 간의 상호 작용이 예상되는 정도입니다. 혼합물과 공정 변수가 서로 상호 작용하지 않는다는 이론이나 경험이 있는 경우 혼합물과 공정 모델을 별도로 적용할 수 있습니다. 즉, 전체 모델은 다음과 같습니다.
c(x,z) = f(x) + g(z) (1)
우리는 방정식 1을 선형 가산 모델이라고 부릅니다. 이 경우 f(x)는 혼합물 구성 요소에 적합한 것으로 발견된 모델이고 g(z)는 공정 변수에 적합한 것으로 발견된 모델입니다. 그러나 많은 상황에서 혼합물 구성 요소와 공정 변수는 상호 작용합니다. 즉, 케이크를 굽는 가장 좋은 시간과 온도는 케이크의 재료에 따라 달라질 수 있습니다. 레드 와인은 일반적으로 화이트 와인만큼 차갑게 제공되지 않습니다. 이러한 경우 Cornell(2002, 2011)과 Prescott(2004)과 같은 많은 저자는 혼합물과 공정 변수 모델을 더하는 대신 곱하는 것을 제안합니다. 즉, 혼합물-공정 상호 작용을 수용하기 위해 다음 모델을 사용할 수 있습니다.
c(x,z) = f(x)*g(z) (2)
이 곱셈 모델은 매개변수(b i 및 a i )에서 선형이 아니므로 최소 제곱 솔루션은 닫힌 형태나 표준 선형 회귀 소프트웨어로 얻을 수 없습니다. 이 문제를 해결하는 한 가지 방법은 f(x)*g(z)의 개별 항을 곱하는 것입니다. 세 개의 혼합 변수와 두 개의 공정 변수가 있는 경우를 생각해 보겠습니다. 단순화를 위해 이러한 모델이 다음과 같은 형태가 될 것이라고 가정합니다.
f(x) = b1 x 1 + b2 x 2 + b3 x3 + b12 x 1 x 2 + b13 x 1 x 3 + b23 x 2 x 3 + b123 x 1 x 2 x 3 이고,
g(z) = a 0 + a 1 z 1 + a 2 z 2 + a 12 z 1 z 2 ,
이는 특수 3차 혼합 모델과 요인 프로세스 변수 모델이 될 것입니다. 따라서 f(x)는 추정할 항이 7개이고 g(z)는 4개입니다. f(x)의 각 항을 g(z)의 각 항으로 곱하면 선형화된 회귀 모델에서 28개의 항이 생성됩니다. 이 모델을 선형화된 것으로 부르는 이유는 방정식 2가 실제로 비선형 모델이기 때문입니다. 모든 항을 곱하면 28개의 항으로 이루어진 선형 모델이 생성됩니다. 즉, 다음과 같습니다.
c(x,z) = f(x) * g(z) = b1x1*a0+b1x1 * a1z1+b1x1*a2z2+b1x1*a12z1z2 ( 3)
+ b 2 x 2 *a 0 + b 2 x 2 *a 1 z 1 + b 2 x 2 *a 2 z 2 + b 2 x 2 *a 12 z 1 z 2
+ .............+ b 123 x 1 x 2 x 3 *a 12 z 1 z 2
방정식 3은 b 1 a 0을 하나의 매개변수로, b 1 a 1을 다른 매개변수로 간주하는 경우 매개변수에서 선형적입니다. 따라서 방정식 3은 방정식 1과 마찬가지로 표준 선형 회귀 소프트웨어로 추정할 수 있습니다. 물론 최소 제곱 추정치를 얻을 때 방정식 3에서 "b 1 a 0 "으로 나열된 x 1 에 대한 추정 매개변수는 확률 0으로 방정식 2에서 f(x)의 x 1 에 대한 추정 계수와 같을 것입니다(1) 방정식 2에서 추정된 g(z) 절편을 곱합니다.0), 이러한 개별 용어가 비선형 최소 제곱에서 직접 추정된 경우. 즉, 방정식 3의 최소 제곱 추정치는 방정식 2의 비선형 최소 제곱 추정치를 결정하는 데 사용할 수 없습니다.
나중에 다시 살펴볼 중요한 요점은 방정식 2와 방정식 3을 비교하는 것입니다. 방정식 2는 매개변수에서 비선형인 모델입니다. 방정식 2를 그대로 추정하면 f(x)의 경우 7개, g(z)의 경우 4개로 총 11개의 매개변수만 추정하면 됩니다. 실제로는 방정식 2가 실제로 과도하게 지정되어 있기 때문에 매개변수가 10개만 필요합니다. 이 방정식에 대한 고유한 최소 제곱 솔루션이 없습니다. f(z)에 임의의 0이 아닌 상수(예: m)를 곱하고 g(z)를 m으로 나누면 m과 1/m이 상쇄되어 c(x,z)의 값이 변경되지 않는다는 점을 고려하면 이를 즉시 알 수 있습니다. f(x)의 각 계수에 곱할 수 있는 이러한 상수 m은 무한히 많으며 각각 동일한 잔여 제곱 합을 생성하므로 방정식 2에 대한 고유한 최소 제곱 솔루션이 없습니다. 0 = 1.0으로 설정하여 이러한 과도한 지정을 해결합니다. 이것이 과도한 사양을 해결하는 최선이거나 유일한 방법이라고 주장하는 것은 아니지만, 곧 살펴보겠지만 다른 계수의 해석에는 도움이 됩니다.
물론 핵심은 방정식 2를 비선형 최소제곱 문제로 직접 추정할 수 있다면 추정된 매개변수에 대해 10개의 자유도만 필요하고 선형화된 버전에 필요한 28개가 필요하지 않다는 것입니다. 이는 상호 작용이 예상될 때 실험 설계에 명백한 영향을 미칩니다. 물론 상호 작용이 예상되지 않으면 선형 가산 모델인 방정식 1을 추정할 수 있습니다. 이 방정식은 또한 과도하게 지정되어 있는데, a 0 항이 필요하지 않고 실제로 추정할 수 없기 때문입니다. 절편이 이미 혼합 모델 f(x)에 통합되어 있기 때문입니다. 절편을 삭제함으로써 비선형 모델에서와 마찬가지로 추정할 매개변수가 다시 10개가 됩니다.
혼합/공정 문제에 사용되는 일반적인 실험 설계
설계와 모델은 분명히 서로 밀접하게 관련되어 있습니다. 즉, 우리는 일반적으로 실험을 설계할 때 특정 모델을 염두에 두고 있으며, 정확한 형태에 대해 확신하지 못하더라도 말입니다. 혼합 실험에서는 선형 셰프 추정에 적합한 모델이 있습니다.모델과 물론, 2차나 특수 3차 모델을 추정하는 데 적합한 더 큰 설계도 있습니다.
심플렉스 설계는 일반적으로 혼합 실험에 활용됩니다. 이는 일반적으로 q개의 구성 요소가 있을 때 q-1차원으로 표현됩니다. 예를 들어, 구성 요소가 세 개 있는 경우 혼합 제약으로 인해 자유도가 두 개뿐이므로 설계를 그림 2와 같이 두 차원으로 표시할 수 있습니다. 세 구성 요소가 모두 표현되는 것은 각각 축이 있기 때문입니다. 제약이 없는 혼합 문제에서 각 구성 요소는 0에서 1.0까지 다양할 수 있으므로 전체 심플렉스는 각 축에서 0에서 1로 이동합니다. 0점은 심플렉스의 밑변으로 표현되고 1.0은 밑변 반대쪽 심플렉스 지점에 있습니다. x 1 = 1.0이면 x 2 = x 3 = 0이므로 이 점은 x 2 및 x 3 축의 밑변에 해당합니다. 이러한 점은 명백한 이유로 "순수 혼합"이라고 합니다. 순수 혼합 및 심플렉스 설계로 실행되는 다른 일반적인 점은 그림 2에 나와 있습니다.
요인 설계의 중심점에 해당하는 중심은 심플렉스의 중앙에 있는 지점 1/3, 1/3, 1/3에 해당한다는 점을 지적합니다. 심플렉스 설계에서 실행되는 다른 일반적인 지점은 50-50 블렌드라고 하는 것으로, 두 구성 요소의 비율이 .5이고 세 번째 구성 요소의 비율이 0입니다. 이러한 50-50 블렌드는 심플렉스의 각 밑면을 따라 중간 지점에 해당합니다. 심플렉스 설계에서 자주 사용되는 또 다른 일반적인 지점은 "체크포인트"로, 일반적으로 중심과 순수 블렌드 사이의 중간에 배치됩니다. 3개 구성 요소 심플렉스의 경우 이는 x 1 의 경우 2/3, 1/6, 1/6, x 2 의 경우 1/6, 1/6, 2/3, 1/6, x 3 의 경우 1/6, 1/6, 2/3에 있습니다. 이러한 체크포인트를 통해 모델이 심플렉스의 중심과 경계 이상에서 데이터에 맞는지 확인할 수 있습니다. 다시 말해, 체크포인트를 잘 맞추면 심플렉스 내에서 보간하는 것이 비교적 안전하다는 것을 알 수 있습니다.
Cornell(2002)에서 설명한 대로, 전체 심플렉스에 균일하게 점을 배치하는 보다 정교한 심플렉스-격자 설계도 실제로 사용됩니다. 4개 구성 요소를 넘는 실험에서는 이러한 설계를 설명하기 어렵지만 요인 설계의 경우와 마찬가지로 동일한 유형의 설계를 형성할 수 있습니다. 물론 종종 제형 성분 수준에 제약이 있을 것입니다. 예를 들어, 100% 식초로 구성된 샐러드 드레싱을 원하는 소비자는 거의 없습니다. 그러한 경우 원래 구성 요소를 변환한 의사 구성 요소(Cornell 2002)를 만들거나 제약 조건에 의해 생성된 비정상 설계 공간에서 컴퓨터 지원 설계를 활용할 수 있습니다. 이러한 설계는 현재 기사의 초점이 아닙니다. 또한 독자는 프로세스 변수에 사용되는 표준 요인 설계에 익숙하다고 가정합니다.
공정 변수가 있는 혼합 설계에서 일반적으로 일부 하이브리드 설계가 사용되어 혼합 효과와 모델, 그리고 공정 효과와 모델을 추정할 수 있습니다. 실험자가 상호 작용을 의심하는 경우 방정식 2의 선형화된 버전에서 모든 항을 추정할 수 있는 기능이 종종 필요합니다. 즉, 선택한 실험 설계는 혼합 모델의 각 항을 공정 모델의 각 항과 곱하여 얻은 모든 효과를 추정할 수 있어야 합니다. 위에서 언급한 예에서 방정식 3의 모든 28개 항을 추정할 수 있는 설계가 필요합니다.
이러한 설계는 일반적으로 요인 설계 또는 부분 요인 설계를 혼합 설계와 교차시킵니다. 예를 들어, 코넬의 생선 패티 실험(Cornell 2002)은 순수 블렌드, 중심 및 50-50 블렌드를 포함하는 3성분 심플렉스 설계와 3개 공정 변수의 2 3 요인 설계를 교차시켰습니다. 이 설계는 그림 3에 나와 있습니다. 2 3 요인 설계의 모든 지점에서 전체 심플렉스 설계가 실행되었다는 점에 유의하세요. 물론 또는 이를 심플렉스의 각 지점에서 전체 요인 설계로 표현할 수도 있습니다. 심플렉스 설계에는 7개 지점이 있고 요인 설계에는 8개 지점이 있었기 때문에 전체 설계는 56개 지점이었으며 분할 플로팅을 피하기 위해 무작위 순서로 실행되었습니다(Cornell 2002, 2011).
상호 작용이 예상되지 않는 경우 물론 설계를 훨씬 더 작게 할 수 있습니다.예를 들어, 코넬 생선 패티 예에서 특수 3차 혼합 모델은 7개 항(3개 선형 혼합 항, 3개 2-요인 교차곱, 특수 3차 3-요인 교차곱)을 갖고, 완전 요인 모델은 8개 항(1개 절편, 3개 주효과, 3개 2-요인 상호 작용, 1개 3-요인 상호 작용)을 갖습니다.혼합 모델 f(x)에 절편이 포함되므로 g(z)에서 절편을 삭제하여 상호 작용이 없는 선형 가산 모델에서 추정할 수 있는 7 + 8 - 1 = 14개 항을 남길 수 있습니다.즉, c(x,z) = f(x) + g(z).분명히 훨씬 더 작은 분수 설계를 실행할 수 있거나 모델에 상호 작용이 없으므로 혼합 및 공정 변수를 독립적으로 조사할 수 있습니다.
공정 변수가 있는 혼합 모델에서 통계 공학의 역할
Hoerl과 Snee(2010)는 통계 공학을 "통계적 개념, 방법 및 도구를 가장 잘 활용하고 정보 기술 및 기타 과학과 통합하여 개선된 결과를 생성하는 방법에 대한 연구"로 정의했습니다. 반대로 통계 과학은 개별 통계적 방법의 기본 이론과 응용 프로그램을 연구하고 발전시키는 것으로 볼 수 있습니다. 주요 차이점은 통계 과학이 도구 자체에 대한 기본 지식과 응용 프로그램을 발전시키는 데 중점을 둔다는 것입니다. 반면 통계 공학은 기존 방법과 도구, 즉 기존 통계 과학을 사용하여 이러한 도구를 종종 비통계적 도구와 창의적으로 연결하고 통합하여 더 큰 영향을 미치는 방법에 중점을 둡니다. 더 큰 영향을 달성하기 위해 기존 과학을 창의적으로 활용하는 것은 모든 엔지니어링 분야의 본질입니다.
분명히 통계 과학과 통계 공학은 통계 분야가 성장하고 사회에 미치는 영향을 강화하는 데 필요합니다. 우리는 균형 잡힌 접근 방식이 필요하지만 현재 이 직업의 초점은 통계 과학에 치우쳐 있는 경향이 있다고 주장합니다(Snee and Hoerl 2011). 특히, 우리는 크고 복잡하며 구조화되지 않은 문제, 즉 어떤 도구로도 해결할 수 없는 문제를 공격하는 방법에 대한 기본 이론을 개발하는 데 더 많은 중점을 두어야 한다고 생각합니다. 이러한 문제는 분명히 여러 통계적 방법을 창의적으로 통합하고 정보 기술이나 다른 과학을 창의적으로 사용해야 합니다. 분명히 공학적 접근 방식이 필요합니다. 통계 공학 분야에 대한 추가 배경 정보는 Quality Engineering on Statistical Engineering(Anderson-Cook and Lu 2012)의 특별판을 참조하세요.
우리는 공정 변수로 혼합 문제를 공격할 때 설계 선택과 모델 선택이 함께 이루어진다는 것을 알았습니다. 즉, 우리가 추정할 수 있는 모델은 설계에 의해 결정되고 적절한 설계는 우리가 추정하고자 하는 모델에 따라 달라집니다. 또한, 특정 모델을 미리 알고 있다면 그 모델을 추정하기 위한 최적의 설계를 구성할 수 있습니다. 그러나 많은 실제 상황에서 우리의 주제 지식은 제한적이며 최종 모델이 무엇인지 확신할 수 없습니다. 일반적으로 이는 Box et al. (2005), Montgomery (2012) 및 기타 많은 사람들이 강조한 것처럼 설계 및 분석에 대한 반복적 접근 방식으로 이어집니다.
이러한 상황에서 핵심 질문은 혼합물과 공정 변수 간의 상호 작용을 예상하지만 확실하지 않을 때 문제에 가장 잘 접근하는 방법입니다. 이는 주어진 모델에 대한 최적의 설계가 무엇인지 묻는 것과는 매우 다르며, 주어진 데이터 집합에 맞는 최적의 모델이 무엇인지 묻는 것과도 다릅니다. 후자는 개별 도구의 이론과 실제를 다루기 때문에 통계 과학에 더 가까운 질문입니다. 또한 객관적인 기준에 따라 "올바른" 답을 분석적으로 결정할 수 있습니다. 그러나 복잡한 문제를 해결하는 방법에 대한 질문은 주어진 것이 거의 없고 성공에 대한 합의된 객관적 척도가 없기 때문에 통계 과학 질문이 아닙니다. 다시 말해, 문제는 구조화되지 않았습니다.
우리는 이 전략 문제가 통계 공학에 더 적합하다고 주장합니다. 더 나은 결과를 얻기 위해서는 설계와 분석을 모두 순차적인 방식으로 통합하는 전반적인 접근 방식이 필요하기 때문입니다. 여러 도구를 통합하는 것이 핵심입니다. 이 경우 "더 나은 결과"는 통계적 기준에 기반하거나, 시간과 비용을 포함한 실험적 노력을 절약하는 것, 또는 둘 다에 기반할 수 있습니다. 다시 말해, 최상의 통계적 솔루션을 찾는 것이 아니라 최상의 비즈니스 솔루션을 찾는 것에 기반할 수 있습니다. 이는 지정된 조건에서 최상의 설계나 최상의 모델을 얻는 것보다 더 복잡하고 덜 구조화된 문제입니다. 따라서 통계 공학적 관점은 공정 변수가 있는 혼합 문제에 대한 연구와 권장 전략을 안내합니다.
디자인 및 분석의 세 가지 사례 연구
Cornell(2002)은 숭어, 양머리, 도미의 세 종류의 생선 패티에 대한 실험 데이터를 제시했습니다. 또한 각 패티는 다른 베이킹 온도, 베이킹 시간, 튀김 시간(패티는 구운 것과 튀긴 것 모두)에서 조리되었습니다. 관심 있는 반응은 결과 패티의 질감이었습니다. 사용된 설계는 순수 블렌드, 50-50 블렌드, 중심을 포함한 혼합 변수에서 7회 실행 심플렉스였습니다. 공정 변수의 경우 8회 실행 2 3이 실행되었습니다. Cornell은 표 1에 나열되고 그림 3에 설명된 대로 혼합 설계와 공정 설계를 교차시켰습니다. 이 설계는 총 7*8 = 56회 실행됩니다. Cornell은 다음과 같은 선형화된 모델을 적합시켰습니다.
f(x) = b1 x 1 + b2 x 2 + b3 x3 + b12 x 1 x 2 + b13 x 1 x 3 + b23 x 2 x 3 + b123 x 1 x 2 x 3 ,
g(z) = a 0 + a 1 z 1 + a 2 z 2 + a 3 z 3 + a 12 z 1 z 2 + a 13 z 1 z 3 + a 23 z 2 z 3 + a 123 z 1 z 2 z 3 , 그리고
x와 z는 같다.
표 1 코넬의 생선 패티 질감 데이터
혼합하다 | 튀김 시간 |
25 | 40 |
오븐 시간 |
25 | 40 | 25 | 40 |
오븐 온도 |
325 | 425 | 325 | 425 | 325 | 425 | 325 | 425 |
숭어 | 양머리 | 의사 | 조직 |
1 | 0 | 0 | - 1.84
- 2.86
- 3.01
- 4.13
- 1.65
- 2.32
- 3.04
- 4.13
|
0 | 1 | 0 | - 0.67
- 1.10
- 1.21
- 1.67
- 0.58
- 0.97
- 1.16
- 1.30
|
0 | 0 | 1 | - 1.51
- 1.60
- 2.32
- 2.57
- 1.21
- 2.12
- 2.00
- 2.75
- 0.5
- 0.5
|
0 | - 1.29
- 1.53
- 1.93
- 2.26
- 1.18
- 1.45
- 1.85
- 2.06
- 0.5
|
0 | - 0.5
- 1.42
- 1.81
- 2.57
- 3.15
- 1.45
- 1.93
- 2.39
- 2.82
|
0 | - 0.5
- 0.5
- 1.16
- 1.50
- 1.83
- 2.22
- 1.07
- 1.28
- 1.60
- 2.10
|
1/3 | 1/3 | 1/3 | - 1.59
- 1.68
- 1.94
- 2.60
- 1.41
- 1.54
- 2.05
- 2.32
|
f(x)에 7개 항이 있고 g(z)에 8개 항이 있으므로, 개별 항을 곱하여 선형화된 모델을 만들면 c(x,z)에 7*8 = 56개 항이 있습니다. 설계에서 56회 실행으로 실험 오차를 추정할 자유도가 분명히 남아 있지 않아 평균 제곱근 오차(RMSE)가 0이 되었고 오차 항(e)의 표준 편차, 즉 표준 오차를 추정할 수 없었습니다. 또한 모델 부적절성의 증거에 대한 잔차를 평가하거나 적합성 부족 검정을 수행할 기회가 없었습니다. 따라서 코넬은 반복 측정 간 변동(실제 반복이 아님)을 표준 오차 추정치로 사용했습니다. 분명히 이 실행 내 변동은 실행 간 변동 소스를 추정할 수 없으므로 실제 반복에서 추정한 것과 동일한 표준 오차 추정치 또는 잔차 자유도에서 추정한 것과 동일한 표준 오차 추정치로 간주할 수 없습니다.
모델을 비교하기 위해 Lenth의 PSE(가성 표준 오차) 방법(Lenth 1989)을 적용하여 Cornell 모델의 표준 오차를 추정했습니다. Lenth의 방법은 먼저 실제처럼 보이는 효과를 결정한 다음, 얻은 자유도를 사용하여 나머지 변수를 제거하여 표준 오차를 추정합니다. 이는 모델에서 적절한 항을 제거하는 데 의존한다는 점에서 가성 표준 오차입니다.
Prescott(2004)은 노르웨이산 Tjalve, Folke, 미국산 Hard Red Spring의 세 가지 밀가루를 사용하여 빵 덩어리 부피를 테스트했습니다. 또한 두 가지 공정 변수인 발효 시간과 혼합 시간이 있었습니다. 세 가지 밀가루 수준에 제약이 있었습니다: .25 x11, 0 x2.75, 그리고 0 x3.75, 여기서 Tjalve는 x 1 , Folke는 x 2 , Hard Red Spring은 x 3 입니다. 심플렉스 혼합 공간에 적용하면 축소된 공간에서 더 작은 전체 심플렉스가 생성됩니다. 의사 구성 요소(Cornell 2002)로 변환하면 표준 심플렉스 설계를 계속 활용할 수 있습니다. 모델 비교 목적으로 일반성을 잃지 않고 Prescott 혼합 설계의 의사 구성 요소 버전을 사용합니다. Prescott은 혼합 변수에 10회 실행 심플렉스 격자 설계를 사용했고, 공정 설계에 3 2 , 즉 두 변수의 3단계 요인을 사용했습니다. 물론 이 설계에는 9회 실행이 있습니다.
혼합 설계와 공정 설계를 다시 교차하여 Prescott은 표 2에 나열되어 있고 그림 4에 나와 있는 10*9 = 90 런 설계를 만들었습니다. 혼합 모델 f(x)의 경우 Prescott은 Cornell이 사용한 것과 동일한 7개 항을 갖는 특수 3차 모델을 고려했고 공정 모델 g(z)의 경우 6개 항을 갖는 완전한 2차 모델을 고려했습니다.
g(z) = a 0 + a 1 z 1 + a 2 z 2 + a 12 z 1 z 2 +
표 2 Prescott's Loaf Volume 데이터
가상 구성요소 혼합물 | 교정 시간(분) |
35 | - 47.5
| 60 |
혼합 시간(분) |
5 | 15 | 25 | 5 | 15 | 25 | 5 | 15 | 25 |
티알베 | 사람들 | 하드 레드 스프링 | 덩어리 볼륨 |
.25 | .75 | 0 | - 378.89
- 396.67
- 392.22
- 445.56
- 452.22
- 487.78
- 457.22
- 500.56
- 472.78
|
.50 | .50 | 0 | - 388.89
- 423.33
- 416.11
- 460.00
- 488.89
- 475.78
- 472.78
- 478.00
- 506.11
|
.75 | .25 | 0 | - 426.11
- 483.33
- 389.44
- 474.44
- 514.44
- 462.78
- 506.67
- 591.67
- 522.22
- 1.0
|
0 | 0 | - 386.11
- 459.11
- 423.33
- 458.33
- 506.11
- 514.44
- 545.56
- 522.22
- 551.11
|
.25 | .50 | .25 | - 417.78
- 437.22
- 444.56
- 484.44
- 490.00
- 495.00
- 497.78
- 531.11
- 577.78
|
.50 | .25 | .25 | - 389.44
- 447.22
- 415.00
- 490.89
- 528.89
- 507.78
- 517.78
- 567.22
- 538.33
|
.75 | 0 | .25 | - 448.33
- 459.44
- 455.56
- 436.00
- 535.00
- 552.22
- 507.44
- 578.89
- 590.00
|
.25 | .25 | .50 | - 413.89
- 485.56
- 462.22
- 483.89
- 529.44
- 540.00
- 565.00
- 598.89
- 580.56
|
.50 | 0 | .50 | - 415.56
- 514.44
- 437.78
- 493.89
- 583.33
- 578.89
- 524.44
- 649.44
- 640.00
|
.25 | 0 | .75 | - 432.78
- 498.33
- 517.22
- 474.44
- 568.33
- 579.44
- 541.11
- 638.89
- 638.89
|
이차 항은 추정 가능한데, 이는 공정 설계가 3단계 설계였기 때문입니다. Prescott은 여러 선형화된 상호 작용 모델을 실행했습니다. 즉, c(x,z) = f(x)*g(z) 형태의 모델로 총 7*6 = 42개의 항이 있습니다. 90번 실행하면 전체 42항 모델을 추정할 수 있는 충분한 자유도가 있었고, 여전히 표준 오차를 추정할 수 있는 자유도가 남았습니다. 여러 모델을 고려한 후, Prescott이 이 데이터에 대해 제안한 최종 모델은 다음과 같은 형태의 축소 모델이었습니다.
y = 522.8x 1 + 448.1x 2 + 599.3x 3 + 13.0x 1 z 1 + 1.7x 2 z 1 + 54.3x 3 z 1 + 56.3x 1 z 2 + 37.2x 2 z 2
+ 73.8x 3 z 2 – 39.4x 1+ 3.7x 2– 46.0x 3– 10.2x 1+ 28.4x 2+ 1.0x 3
x i 의 교차곱이나 z 1 과 z 2 의 상호 작용을 포함하는 용어와 같이 일부 용어가 모델에서 제외되었다는 점에 유의하십시오. 사실, 가능한 42개 용어 중 15개만 이 최종 모델에 포함되었습니다. 선형화된 모델과 비선형 모델을 비교할 때 이 지점으로 돌아갑니다.
Wang 외 연구진(2013)은 2013년 Rutgers 대학에서 제1 저자가 가르친 통계 과목의 수업 프로젝트의 일환으로 혼합물/공정 실험 설계를 실행했습니다. 이 실험에는 물, 우유, 오렌지 주스의 세 가지 혼합물 변수와 설탕 첨가(0g 또는 2g)와 사용된 우유 종류(2% 또는 전유)의 두 가지 공정 변수가 포함됩니다. 반응은 혼합물에서 생성된 얼음의 녹는 시간(분)이었습니다. 혼합물 설계는 순수 성분, 50-50 블렌드, 체크포인트, 중심을 사용한 10회 실행 심플렉스 설계였으며, 이는 유사 성분 형태였습니다. 이는 그림 2에 나와 있는 설계입니다. 공정 설계의 경우 Wang은 4회 실행으로 2 2 요인 분석을 실행했습니다. 10*4 = 40회 실행을 사용한 교차 설계와 결과 반응은 표 3에 나와 있으며, 그림 5에 나와 있습니다.
표 3 Wang et al. 용융 시간 데이터
혼합물 | 우유 종류 |
2% | 전체 |
설탕 |
0g | 2g | 0g | 2g |
물 | 우유 | 주스 | 녹는 시간 |
1/6 | 1/6 | 2/3 | - 29.43
- 24.31
- 34.94
- 32.97
|
0 | - 0.5
- 0.5
- 37.36
- 32.89
- 45.69
- 39.06
- 0.5
- 0.5
|
0 | - 33.32
- 28.34
- 41.78
- 35.84
|
1 | 0 | 0 | - 19.13
- 17.73
- 23.7
- 22.16
|
2/3 | 1/6 | 1/6 | - 24.11
- 22.49
- 29.76
- 25.43
|
1/3 | 1/3 | 1/3 | - 32.08
- 26.29
- 36.97
- 30.13
|
0 | 0 | 1 | - 30.41
- 23.25
- 31.92
- 29.45
- 0.5
|
0 | - 0.5
- 21.86
- 22.88
- 27.09
- 26.21
|
1/6 | 2/3 | 1/6 | - 37.35
- 28.43
- 42.92
- 39.95
|
0 | 1 | 0 | - 48.64
- 33.00
- 45.08
- 47.35
|
Wang 등(2013)은 f(x)에 대해 7항 특수 3차식을 사용하고, g(z)에 대해 4항 요인 과정 모델을 사용하여 선형화된 모델을 적합시켰는데, 여기에는 절편, 두 개의 주효과, 2-요인 상호 작용이 있습니다. 따라서 모든 항을 곱하면 c(x,z)는 방정식 3에 주어진 28항 선형화된 모델입니다. 40번의 실행과 28개의 항을 추정하면 표준 오차를 추정하기 위한 자유도가 12개 남았습니다.
선형 및 비선형 모델 및 결과
이러한 각 설계 및 데이터 세트의 경우, 선형 가산 모델, c(x,z) = f(x) + g(z)와 같이 혼합물과 공정 변수 간의 상호 작용을 추정할 용어가 없는 훨씬 더 작은 모델과 비선형 모델도 고려할 수 있습니다. 비선형 모델을 추정하려면 용어를 곱하지 않고 c(x,z) = f(x)*g(z)에 대한 최소 제곱 솔루션을 직접 찾습니다. 이전에 언급했듯이 이 모델은 매개변수에서 비선형입니다. 예를 들어, 두 개의 혼합물 변수와 하나의 공정 변수가 있는 단순한 경우:
c(x,z) = ( b1x1+b2x2 + b12x1x2 )* (a0 + a1z) (4 )
이러한 5개 계수 각각을 추정하고자 한다고 가정하면 방정식 4를 5개 계수를 갖는 비선형 방정식으로 간주하고 비선형 최소 제곱법을 사용하여 해를 찾을 수 있습니다.앞서 언급했듯이 실제로는 방정식 4가 과결정되어 고유한 최소 제곱 해가 없기 때문에 추정할 계수가 4개뿐입니다.임의로 0 = 1.0을 설정하면 일반적으로 다른 매개변수에서 고유한 최소 제곱 해를 얻을 수 있습니다.0에 대해 다른 0 이 아닌 값을 사용해도 R 2 , 표준 오차 등과 같은 모델 메트릭은 변경되지 않습니다.물론 비선형 최소 제곱법의 경우 고유한 해는 보장되지 않습니다.
비선형 모델을 맞추기 위해 표준 MacBook Pro 노트북에서 실행되는 JMP Pro 10의 비선형 회귀 알고리즘을 사용합니다. 이전에 언급했듯이 비선형 모델을 실행하는 것은 선형 모델보다 어렵지만 최신 소프트웨어를 사용하면 확실히 가능하며 이러한 유형의 문제에 적합한 옵션이라고 제안합니다. 이 세 가지 데이터 세트에 선형 가산 및 비선형 모델을 맞춰 얻은 결과를 논의하기 전에 비선형 모델의 계수 해석에 대해 간략히 논의합니다. 선형 가산 모델은 요리사 (1963), Cornell(2002) 및 기타 여러 문헌에서 혼합 용어의 해석이 광범위하게 논의되었으므로 논의하지 않습니다.
방정식 4의 비선형 모델에서 항을 추정한 후에는 해석을 돕기 위해 추정된 항을 곱할 수 있습니다. 이는 계수를 추정하기 전에 항을 곱하여 얻은 모델과는 매우 다른 모델을 생성한다는 점에 유의하세요. 계수를 추정하면 선형화된 모델이 생성됩니다. 또한 다른 값 대신 0 = 1로 설정하기로 한 결정은 모델 해석을 더 간단하게 만듭니다. 방정식 4의 비선형 접근 방식에서 추정된 항을 곱하면 다음을 얻습니다.
= ( 1 x 1 + 2 x 2 + 12 x 1 x 2 )*(1 + 1 z)
= ( x 1 + x 2 + 12 x 1 x 2 ) + ( x 1 + x 2 + 12 x 1 x 2 )* 1 z (5)
일반성을 잃지 않고 z가 평균 0으로 조정되었다고 가정할 수 있습니다. 따라서 z가 평균값일 때 방정식 5는 순수 혼합 모델 f(x)인 왼쪽 부분으로 단순화됩니다. 따라서 혼합 계수를 프로세스 변수의 중간 지점에서 추정한 블렌딩으로 해석하거나, 또는 전체 설계에 걸친 평균 블렌딩으로 해석할 수 있습니다. 이 해석은 z와 상호 작용이 있든 없든 유지됩니다. 1 의 해석은 더 복잡합니다. 방정식 5에서 z가 나타나는 유일한 장소는 상호 작용 집합을 통한 것입니다.
이는 비선형 모델이 혼합 변수와 z의 상호 작용에서 z의 주효과를 고유하게 추정할 수 없음을 의미합니다. 이는 z의 주효과와 x i 와의 상호 작용을 통합하는 데 사용할 수 있는 유일한 계수가 1 이기 때문입니다. f(x)를 절편이 있는 여유 변수 모델로 다시 작성할 수 있지만 z의 주효과와 혼합 변수와의 상호 작용을 모두 통합할 수 있는 자유도는 여전히 1개뿐입니다. 이를 비선형 접근 방식의 단점으로 보고 실제 결과는 큰 공정 변수 주효과와 혼합 변수와 공정 변수 간의 심각한 상호 작용을 모두 갖는 표면을 맞추는 데 어려움이 있을 것이라고 추측합니다.
우리는 이 해석을 그의 생선 패티 실험에서 나온 7항 특수 입방 혼합 모델과 8항 공정 변수 모델과 같은 더 큰 비선형 모델로 확장할 수 있습니다. c(x,z) = f(x)*g(z)를 비선형 모델로 직접 추정하면 7 + 8 – 1 = 14개의 계수를 추정하게 됩니다. 0 = 1로 설정했다는 점을 기억하세요. 비선형 최소 제곱법을 사용하여 이 14개 계수를 푼 후, 해석을 돕기 위해 항을 곱할 수 있습니다. 그렇게 하면 다음이 생성됩니다.
(x)*(1 + 1z1 + 2z2 + 3z3 + 12z1z2 + 13z1z3 + 23z2z3 + 123z1z2z3 ),
이는 1 곱하기 (x)에 1 z 1 곱하기 (x)에 2 z 2 곱하기 (x) 등을 더한 것입니다. 즉, (x)*1을 제외한 모델의 다른 모든 항은 i 곱하기 하나 이상의 z i 곱하기 (x)를 포함합니다. 따라서 z i 의 주효과 중 어느 것도 혼합 변수(및 그 상호 작용)와 그 z i 의 상호 작용에서 고유하게 추정할 수 없으며, 이는 방정식 5의 상황과 유사합니다. 마찬가지로 z 1 z 2 와 같은 z i 간의 상호 작용은 이 항과 혼합 항 간의 상호 작용에서 고유하게 추정할 수 없습니다.
실용적인 관점에서, 예를 들어 z 1 및 x 1 z 1 에 대한 개별 계수를 추정할 수 없는 것은 설계의 해결 측면에서 z 1 z 2 z 3 및 x 1 x 2 x 3 z 1 z 2 z 3 와 같은 상호 작용에 대한 개별 계수를 추정할 수 없는 것보다 더 큰 문제입니다(Box et al. 2005). 즉, 실무자는 6요인 상호 작용의 실제적 중요성에 대해 거의 관심을 갖지 않을 것입니다.
선형 가산 모델 c(x,z) = f(x) + g(z)와 비선형 모델 c(x,z) = f(x)*g(z)를 이전에 논의한 세 가지 데이터 집합에 적용하면 표 4에 나와 있는 결과를 얻습니다.Cornell 및 Wang 데이터 집합의 경우 부분 집합 선택을 시도하지 않고 완전한 모델을 적용합니다.Prescott 데이터의 경우 선형 가산 및 비선형 모델 모두에 대해 Prescott이 최종 선형화 모델에 포함하도록 선택한 f(x) 및 g(z)의 항만 통합합니다.특히 f(x)의 경우 x 1 , x 2 및 x 3 만 사용합니다.g(z)의 경우 z 1 , z 2 , 및 를 포함합니다.이런 의미에서 Cornell 및 Wang 비교는 부분 집합 선택이 없는 "사과와 사과"이고, Prescott 비교는 Prescott이 부분 집합 선택을 적용한 "사과와 사과"입니다.
우리가 사용하는 수치적 기준은 추정 표준 오차 또는 평균 제곱근 오차(RMSE)입니다. 분명히 모델의 "양호함"을 결정할 수 있는 단일 지표는 없습니다. 실제로 적절한 모델을 개발하려면 여러 수치적 기준을 살펴보고, 잔차 플롯을 평가하고, 결과를 견고한 주제 이론과 비교하는 등의 작업이 필요합니다. 독자는 우리가 모델 구축에서 RMSE에만 집중하는 것을 권장한다고 추론해서는 안 됩니다. 그러나 모델 비교의 목적을 위해 추정 표준 오차를 모델이 데이터에 얼마나 적합한지 측정하는 편리한 객관적 기준으로 사용합니다.
표 4에서 우리는 두 가지 경우에 선형화된 모델이 가장 작은 추정 표준 오차를 제공하고, 코넬 데이터에 대해 거의 가장 작다는 것을 알 수 있습니다. 이는 선형 가산 모델이 어떠한 상호 작용도 수용하지 않고 비선형 모델이 이전에 언급한 한계를 가지고 있기 때문에 놀라운 일이 아닙니다. 우리는 이 세 가지 분석에서 충분한 자유도가 있다면 선형화된 모델이 이 기준을 적용하는 이 세 가지 모델을 기반으로 선호되는 접근 방식이라는 결론을 내립니다.
표 4 선형화, 선형 가산 및 비선형 모델의 RMSE
코넬 데이터 프레스콧 데이터 돈 데이터
선형화 0 .17* 21.0 1.36
선형가산 0 .24 24.3 2.38
비선형 0 .16 23.1 2.05
*오류에 대한 df가 없으므로 Lenth의 방법을 사용하여 계산되었습니다.
그러나 자세히 살펴보면 두 데이터 세트인 Cornell 데이터와 Prescott 데이터의 경우 모델 간 차이가 예상만큼 크지 않고, 사실 비선형 모델 RMSE가 Cornell 데이터의 선형화된 모델 RMSE보다 약간 작습니다. 오차를 추정할 자유도가 없기 때문에 선형화된 모델 RMSE는 Lenth의 방법을 사용하여 계산됩니다. 이러한 모델에서 추정된 계수 수의 차이 크기를 감안할 때 비선형 접근 방식의 성능은 인상적입니다. Cornell 모델의 경우 14(선형 가산 또는 비선형) 대 56(선형화), Prescott의 전체 모델의 경우 12 대 42(Prescott의 축소된 모델 항만 사용하는 경우 7 대 15), Wang 모델의 경우 10 대 28입니다. 비선형 및 선형 가산 모델은 훨씬 더 간결합니다.
선형 첨가 및 비선형 접근 방식이 Wang 데이터에 적합하지 않은 이유에 대한 한 가지 가능한 설명은 이 데이터와 혼합 및 공정 변수 간에 매우 유의한 상호 작용이 있기 때문입니다. 예를 들어, 우유*설탕*우유 종류(x 2 z 1 z 2 ) 및 우유*주스*설탕*우유 종류(x 2 x 3 z 1 z 2 )에 대한 선형화된 모델의 항은 모두 .01 수준에서 통계적으로 유의합니다. 물*우유*설탕*우유 종류(x 1 x 2 z 1 z 2 )에 대한 항은 .01 수준에서 거의 유의합니다(p 값 = .0101). 저희의 경험상, 4가지 요인 상호 작용이 그렇게 매우 유의한 경우는 매우 드뭅니다. 공정 및 혼합 변수 간의 상호 작용에 대한 항을 포함하지 않는 선형 모델은 분명히 이러한 상호 작용을 효과적으로 모델링할 수 없습니다. 비선형 모델은 단순히 좋은 근사치를 제공할 만큼 충분한 항이 없습니다. 이처럼 고차 상호작용이 많기 때문에 선형화된 접근 방식이 필요할 가능성이 높습니다.
표 4에서 보이는 비교적 낮은 차이를 감안할 때, 초기 실험의 양을 줄임으로써 상당한 시간과 비용을 절약할 수 있을 것으로 보입니다. 물론, 모든 항을 사용하여 Prescott 비선형 모델에서 12개 항을 추정하는 데 90회 실행이 필요하지 않고, Cornell 비선형 모델에서 14개 항을 추정하는 데 56회 실행이 필요하지 않습니다. 이 질문에 답하기 위해, 우리는 이러한 각 모델이 실제로 실행된 설계의 일부에 어떻게 맞는지 평가합니다.
분수 설계를 사용한 결과
우리가 논의한 각 설계는 혼합 설계와 공정 설계를 교차하여 생성되었습니다.따라서 총 실행 횟수는 n 1 *n 2 였으며, 여기서 n 1은 혼합 설계의 횟수이고 n 2는 공정 설계의 횟수입니다.코넬의 생선 패티 설계의 경우 7*8 = 56이었습니다.위에서 비선형 모델에 대해 표시된 결과를 감안할 때, 논리적으로 물어볼 수 있는 질문은 56회 실행이 실제로 모두 필요했는지, 아니면 코넬이 훨씬 더 작은 설계를 실행하고 거의 동일한 결과를 얻을 수 있었는지 여부입니다.코넬(2002)이 56회 실행 설계를 실행한 것에 대한 정당화 중 하나는 선형화된 모델의 모든 계수를 추정해야 할 필요성이었습니다.
Cornell(2002)은 또한 실험자가 전체 설계를 실행할 수 없는 경우 혼합 공간의 각 지점에서 공정 설계의 일부를 실행하여 분수 설계를 만들 수 있다고 언급했습니다. 가능한 한 많은 항을 추정할 수 있도록 하기 위해 Cornell은 혼합 설계의 다른 지점에서 실행되는 공정 설계의 일부를 전환할 것을 제안했습니다. 예를 들어, 세 개의 공정 변수의 경우 혼합 설계 지점의 약 절반에서 z 1 z 2 z 3 = 1의 절반 분수를 실행하고 다른 절반에서 z 1 z 2 z 3 = -1을 실행할 수 있습니다. Cornell은 가능하다면 혼합 공간의 중심에서 전체 공정 설계를 실행할 것을 추가로 권장했습니다. 그는 이 분수 설계를 실행하면 실험자가 전체 선형화 모델을 추정할 수 없고 이러한 항의 하위 집합을 추정하는 것으로 제한될 것이라고 언급했습니다.
생선 패티의 경우, 혼합 설계는 7개 지점을 가지고, 공정 설계는 8개 지점을 가지고 있습니다.중심점에서 8개 지점을 모두 실행한 다음, 다른 모든 지점에서 4개(절반 분율)를 실행하면 32개 지점의 분수 설계가 됩니다.이것은 선형화된 생선 패티 모델의 모든 항을 추정하기에는 충분한 지점이 아니지만, 비선형 또는 선형 가산 모델의 14개 항을 추정하기에는 충분합니다.그림 6에서는 순수 블렌드에서 실행된 z 1 z 2 z 3 = 1과 50-50 블렌드에서 실행된 z 1 z 2 z 3 = -1인 분수 설계를 보여줍니다.그래픽 해석을 용이하게 하고, 그림 3과 비교할 수 있도록, 위에서 언급한 대로 구성 방법이기는 하지만, 공정 설계의 각 지점에서 실행된 혼합 지점을 다시 보여줍니다.
비선형 모델이 축소된 데이터 집합에 얼마나 잘 맞는지 확인하는 것 외에도 모델을 더 잘 평가하기 위한 자연스러운 보류 샘플도 있습니다. 즉, 비선형 모델을 추정하는 데 32개의 실행만 사용됩니다. 따라서 모델 항을 추정한 후 이 모델을 사용하여 이 모델을 추정하는 데 사용되지 않은 24개의 실행을 예측할 수 있습니다. 이러한 보류 샘플은 일반적으로 추정된 모델을 평가하는 데 더 유효한 기준으로 간주됩니다. 모델은 이 데이터를 보지 못했고 피팅 프로세스 중에 영향을 받을 수 없기 때문입니다. 표 5는 그림 6에 표시된 부분 설계에 선형 가산 및 비선형 모델을 모두 먼저 피팅한 결과와 보류 데이터를 예측할 때의 예측 표준 오차(RMSE)를 보여줍니다. 코넬의 모델은 부분 설계로 추정하기에는 항이 너무 많았기 때문에 선형화된 모델은 옵션이 아닙니다.
분명히, 순수 블렌드와 50-50 블렌드에서 실행된 분수 설계를 임의로 역전할 수 있습니다. 따라서 완전성을 위해 그림 6에 표시된 설계를 분수 설계 1로 간주하고, 분수 설계 2를 순수 블렌드에서 z 1 z 2 z 3 = -1로 실행하고, 50-50 블렌드에서 z 1 z 2 z 3 = 1로 실행하는 것으로 정의합니다. 다시 말하지만, 전체 8개 공정 설계 지점은 중심에서 실행됩니다.
표 5 Cornell 분할 설계를 사용한 예측 결과
*오류에 대한 df가 없으므로 Lenth의 방법을 사용하여 계산되었습니다.
표 5에서 두 분수 설계 모두에서 비선형 모델이 "훈련" 데이터에 잘 맞고 보류 데이터에 상당히 잘 맞는다는 점에 유의하십시오. 예측 RMSE는 두 분수 설계 모두에서 0.22로 원래 0.16 RMSE보다 높지만 원래 56회 실행 중 32회만 사용하여 43% 감소한 것을 고려하면 합리적입니다. 선형 가산 모델도 전체 데이터 세트에 대한 적합도에서 일관되게 수행됩니다. 이전에 언급했듯이 유일한 목표가 모델 적합도를 극대화하는 것이라면 선형화된 모델을 사용한 완전 교차 설계가 선호됩니다. 그러나 시간과 비용이 중요한 고려 사항인 경우 예측 정확도는 낮지만 실험적 노력이 훨씬 적은 비선형 모델을 고려해야 합니다.
Prescott의 혼합 설계는 각 순수 블렌드 사이에 두 개의 모서리 지점과 중심을 갖는 심플렉스 격자였습니다.이것은 3 2 공정 설계와 교차되었습니다.이러한 조합은 휴리스틱한 의미에서 균형을 이룰 분수 설계를 결정하는 데 더 많은 과제를 제시합니다.다양한 옵션을 고려한 후, 우리는 분수 설계 1을 중심에서의 전체 3 2 , 순수 블렌드에서 z 1 z 2 = 0인 지점, z 1 = z 2 = 0인 지점과 다음 세 모서리 지점에서 z 1 z 2 = +/-1인 지점으로 정의합니다: (2/3, 1/3, 0), (0, 2/3, 1/3), 및 (1/3, 0, 2/3).이것은 그림 7에 표시된 39 런 분수 설계(9 + 5*3 + 5*3)를 초래합니다.분수 설계는 원래 90 런 설계보다 포인트가 절반도 적습니다. 분수 설계 2는 중심에서 전체 3 2를 다시 실행하여 얻었지만, 순수 블렌드에서 실행한 프로세스 지점과 3개의 모서리 지점에서 실행한 프로세스 지점을 반대로 했습니다.
Prescott 분수 설계에 대한 예측 결과는 표 6에 나와 있습니다. Prescott 선형화 모델의 경우 Prescott이 유지한 15개 항만 최종 모델에 사용되었으므로 분수 설계로 이 모델을 추정할 수 있습니다. 이를 통해 선형화 모델을 선형 가산 및 비선형 모델과 분수 데이터로 비교할 수 있습니다. 물론 Prescott이 6개 항의 요인 프로세스 설계로 7개 항의 전체 특수 3차 혼합 모델을 실행했다면 모든 항을 추정하는 데 필요한 42개 자유도를 얻을 수 없습니다.
표 6에서 선형화된 모델은 훈련 데이터를 사용하는 분수 설계에서 매우 좋은 성과를 거두는 것을 볼 수 있습니다. 사실, 두 설계 모두의 RMSE는 전체 데이터 세트에서 얻은 RMSE보다 낮습니다. 이는 Prescott이 전체 데이터 세트에서 선형화된 모델에 필요한 매개변수를 결정했다는 사실로 부분적으로 설명할 수 있습니다. 이런 의미에서 우리는 분수 데이터에 선형화된 모델을 적용할 때 전체 데이터 세트의 정보를 사용하고 있습니다. 그러나 이 39개 데이터 포인트로 전체 선형화된 모델의 모든 항을 추정할 수는 없습니다. 그러나 선형화된 모델은 보류 데이터를 예측하는 데 훨씬 더 나쁜 성과를 거두는 점에 유의하십시오. 사실, 두 분수 설계 모두에서 선형화된 예측 RMSE는 선형 및 비선형 모델보다 큽니다.
다시 말해, 선형 가산 및 비선형 모델은 두 설계 모두에서 훈련 세트의 RMSE에 상당히 가까운 예측 RMSE를 제공합니다. 코넬의 데이터와 마찬가지로, 분수 설계로 선형 가산 또는 비선형 모델을 맞추는 것이 전체 90회 실행 설계를 실행하는 것에 대한 실행 가능한 대안을 제공한다는 것을 알 수 있습니다.
표 6 Prescott 분할 설계를 사용한 예측 결과
왕의 원래 설계는 50-50 에지 포인트와 체크포인트가 있는 10런 심플렉스였으며, 2 2 프로세스 설계와 교차하여 10*4 = 40런이 되었습니다. 중심점과 순수 블렌드에서 전체 2 2를 실행하고, 50-50 에지 포인트에서 절반 분수 z 1 z 2 = 1을 실행하고, 체크포인트에서 절반 분수 z 1 z 2 = -1을 실행하여 분수 설계 1을 얻었습니다. 그림 8에서 볼 수 있듯이 4*4 + 2*3 + 2*3 = 28런이 됩니다. 분수 설계 2는 50-50 에지 포인트와 체크포인트에서 분수 실행을 역전하여 얻었습니다.
이러한 분수 설계를 사용하여 예측 RMSE 측면에서 선형화, 선형 가산 및 비선형 모델을 다시 비교합니다. Wang이 실행한 선형화 모델은 28개의 매개변수를 가지고 있기 때문에 오차를 추정할 수 있는 자유도가 남아 있지 않지만 이 전체 모델을 추정할 수 있습니다. 따라서 비교 목적으로 선형화 모델의 RMSE 대신 Lenth의 의사 표준 오차를 다시 사용합니다. 이러한 비교 결과는 표 7에 나와 있습니다.
표 7 Wang 분할 설계를 사용한 예측 결과
*오류에 대한 df가 없으므로 Lenth의 방법을 사용하여 계산되었습니다.
아마도 표 7에서 가장 주목할 만한 것은 선형화된 모델의 예측이 좋지 않다는 것입니다. 이는 대부분 분수 설계에서 오차를 추정하는 자유도가 0이기 때문일 가능성이 큽니다. 우리의 관점에서, 이것으로부터 얻은 주요 교훈은 오차에 대한 자유도가 없거나 거의 없는 회귀 모델을 사용하여 새 데이터를 예측하는 데 위험이 있다는 것입니다. 모델 평가 및 검증은 어려운 작업입니다. 오차에 대한 자유도가 거의 없거나 전혀 없는 상태에서 이를 수행하면 예측이 좋지 않을 가능성이 큽니다. 선형 가산 및 비선형 모델은 더 나은 성능을 보이며, 샘플 외부 예측 측면에서 서로 거의 동일합니다. 선형 가산 모델이나 비선형 모델 모두 전체 데이터 세트에서 선형화된 모델에 가까운 RMSE를 생성하지 않았다는 점에 유의하십시오. 그러나 샘플 외부를 예측할 때는 둘 다 선형화된 모델보다 더 나은 성능을 보였습니다. 다시 말하지만, 이는 분수 설계에서 실행되는 선형 가산 및 비선형 모델이 실제로 고려할 수 있는 실행 가능한 대안이라는 증거를 제공한다고 주장합니다.
우리는 무엇을 배웠는가?
우리는 두 개의 공개된 혼합 공정 데이터 세트와 하나의 새로운 데이터 세트를 사용하여 선형화, 선형 가산 및 비선형 모델을 비교했습니다. 나아가, 우리는 원래 데이터 세트에 맞는 것뿐만 아니라 전체 교차(혼합 시간 공정) 설계 대신 실행될 수 있는 잠재적인 분수 설계에 맞는 것에서도 이러한 접근 방식을 비교했습니다. 우리는 우리의 목적이 절대적인 의미에서 최적의 설계 또는 최상의 모델을 찾는 것이 아니라는 것을 반복합니다. 오히려 우리는 잠재적인 상호 작용에 직면하여 혼합 공정 문제를 공격하기 위한 최상의 전략을 결정하기 위한 통계적 엔지니어링 접근 방식을 제안합니다. 이러한 전략은 분수 설계와 순차적 접근 방식의 실질적인 이점을 고려할 것입니다.
간단히 말해, 우리는 이러한 비교를 통해 다음과 같은 사실을 배웠다고 주장합니다.
- 충분한 자유도가 있는 경우, 혼합 모델의 항과 공정 모델의 항을 곱하여 얻은 선형화된 모델이 데이터에 가장 잘 적합할 가능성이 높으며, 표본 밖 데이터에 대한 가장 좋은 예측을 제공할 수 있습니다.
- 혼합-공정 상호 작용을 무시하는 선형 가산 모형과 비선형 모형은 선형화된 모형에 실행 가능한 대안을 제공하며, 추정할 수 있는 항목의 수 측면에서 상당한 이점을 제공합니다.
- 실험자가 선형 가산 모형이나 비선형 모형 중에서 선택할 때, 부분 설계로 시작하는 순차적 전략은 유용한 모형을 개발하는 데 필요한 총 실험량을 크게 줄일 수 있는 잠재력을 제공합니다.
- 선형 가산 및 비선형 모델이 원래 분수 설계에 충분히 맞지 않으면 실험자는 나머지 전체 교차 설계를 실행하고 선형화된 모델을 맞출 수 있습니다. 이런 의미에서 실험자는 순차적 전략을 고려함으로써 얻을 것이 많고 잃을 것이 거의 없습니다.
- 간과해서는 안 될 또 다른 사항은 잔여 오차에 대한 자유도가 거의 없거나 전혀 없는 모델은 표본 데이터에 잘 맞을 수 있지만, 표본 데이터를 벗어난 데이터를 사용하여 예측하는 것은 위험하다는 것입니다.
우리가 제안하는 전략은 그림 1에 설명되어 있습니다. 처음에 분수 설계를 실행함으로써 적절한 모델을 맞추는 데 필요한 실험의 양을 상당히 줄일 수 있는 잠재력이 있습니다. 다양한 분수 설계와 다양한 모델의 계수 수는 비교를 위해 표 8에 요약되어 있습니다.
표 8 전체 및 부분 설계의 크기와 모델의 계수 수
데이터 세트 | - 아니요. 전체 디자인을 실행합니다.
| - 아니요. 분수 설계를 실행합니다.
| 절감 | - 아니요. 선형화된 모델 계수
- 아니요. 선형 가산 모델 계수
- 아니요. 비선형 모델 계수
|
코넬 | 56 | 32 | 43% | 56 | 14 | 14 |
프레스콧 | 90 | 39 | 57% | 42 | 12 | 12 |
왕 등 | 40 | 28 | 30% | 28 | 11 | 11 |
분수 데이터에 선형 가산 및 비선형 모델을 모두 실행하는 것이 좋습니다. 비선형 모델이 눈에 띄게 더 잘 맞는다면, 이는 혼합물과 공정 변수 사이에 주목할 만한 상호 작용을 나타냅니다. 물론 선형 가산 또는 비선형 모델이 잘 맞는다는 보장은 없습니다. 특히 혼합물과 공정 변수 사이에 높은 수준의 상호 작용이 있는 경우 선형화된 모델이 필요할 가능성이 큽니다.
실험자가 분수 설계에서 생성된 모델에 만족하지 못하는 경우, 다른 분수(처음에는 실행되지 않은 분수)를 실행하여 전체 설계를 완료할 수 있습니다. 이 옵션은 연구 시작 시 채택한 전략의 일부가 되어야 합니다. 이 접근 방식은 전체 선형화된 모델을 추정할 수 있게 합니다. 첫 번째 분수와 두 번째 분수 사이에서 시간이 지남에 따라 설계를 효과적으로 차단하려면 자유도 1개가 필요합니다. 그렇지 않으면 순차적으로 실험할 수 있다고 가정할 때 이 접근 방식에는 실질적인 단점이 없습니다. 우리는 비선형 모델의 기본 이론이 선형 모델만큼 발달되지 않았다는 것을 다시 한번 인정합니다.
물론, 그림 1의 모델 적절성 단계는 RMSE를 평가하는 데 국한되어서는 안 됩니다. 이 결정 단계는 잔차에 대한 신중한 검토, 잠재적 이상치 평가, 이 문제에 대한 현재 도메인 지식과의 비교 등을 포함하여 모델 적절성에 대한 완전한 평가를 포함하도록 의도되었습니다. 선형화된 모델에 대한 이러한 평가는 가정되므로 그림 1에 다른 단계로 포함하지 않았습니다. 이 그림에서 우리의 목표는 예를 들어 Box et al. (2005)에서 논의된 것처럼 건전한 통계적 모델 구축의 세부 사항을 설명하는 것과는 달리 순차적으로 다른 모델을 평가하는 방법을 보여주는 것입니다.
독자는 이 글에서 우리가 비선형 설계에 맞는 최적의 분수를 선택하기 위해 컴퓨터 지원 설계의 잠재력을 조사하지 않는다는 점에 유의할 수 있습니다. 우리는 혼합 공정 문제에서 비선형 모델에 대한 컴퓨터 설계의 적용에 대한 연구가 우리가 제시하는 것보다 더 나은 결과를 제공할 수 있다고 믿습니다. 우리는 이를 미래 연구에 맡깁니다.
실행 가능한 전략이 개발, 테스트 및 설명되었습니다.
우리는 혼합 및 공정 변수가 모두 있는 실험 설계 및 모델 적합의 문제를 고려합니다. 이 둘은 서로 상호 작용할 가능성이 있는 것으로 간주됩니다. 이러한 문제에 대한 일반적인 접근 방식은 공정 변수에서 완전 요인 설계와 교차된 완전 혼합 설계를 실행하는 것입니다. 이러한 설계는 선형화된 모델에서 모든 계수를 추정할 수 있게 합니다. 이 모델은 혼합 모델의 모든 항을 공정 모델의 모든 항과 교차하여 만들어집니다. 그러나 모델과 이를 추정하는 데 필요한 설계는 모두 상당히 큰 경향이 있습니다. 예를 들어, Prescott의 빵 제조 예에서는 90회 실행 설계가 사용되었습니다. Cornell의 생선 패티 설계에는 56회 실행이 필요했습니다.
실험자가 최적의 모델이 아닌 좋은 모델을 원하고 90회 또는 56회 실행보다 훨씬 적은 실험으로 그러한 모델을 얻고자 하는 경우를 고려합니다. 이러한 상황에서 순차적 실험, 처음에 훨씬 작은 분수 설계, 선형 가산 또는 비선형 모델을 고려하는 통계적 엔지니어링 전략이 더 나은 전반적인 접근 방식을 제공한다고 주장합니다. 반복하자면, 비선형 모델이 RMSE 또는 예측 RMSE 측면에서 선형화된 모델보다 우수할 가능성이 있다고 주장하지 않습니다. 분수 설계가 완전 교차 설계만큼 많은 정보를 포함한다고 주장하지도 않습니다. 이런 의미에서 우리는 그 자체로 특정 설계를 제안하지 않으며 그 자체로 특정 모델을 제안하지도 않습니다.
오히려 우리는 현재 문헌에서 제안된 접근 방식보다 전반적으로 우수하다고 믿는 이러한 문제를 공격하기 위한 전략을 제안합니다. 이런 의미에서 우리가 제안하는 전략은 통계 공학적 접근 방식입니다. 여기에 표시된 결과를 바탕으로, 이 접근 방식이 순차적 접근 방식이 가능하다고 가정할 때 실질적으로 단점이 없으면서도 상당한 실험 시간과 노력을 절약할 수 있는 잠재력을 제공하기 때문에 우수하다고 결론지었습니다. 특히 비선형 모델은 R, JMP, Minitab 또는 SAS와 같은 최신 통계 소프트웨어로 추정하기가 매우 간단하므로 소프트웨어가 비선형 모델을 고려하는 데 방해가 될 필요가 없습니다. 또한 우리는 유사한 접근 방식이 혼합물/공정 변수 모델을 넘어 다른 반응 표면 응용 프로그램에서 보다 일반적으로 사용될 수 있다고 믿지만 이는 향후 연구 주제입니다.
참고문헌
Anderson-Cook, CM 및 Lu, L. (게스트 편집자)(2012). "통계 엔지니어링에 대한 특별호", 품질 엔지니어링 , 24(2).
Box, GEP, Hunter, JS, and Hunter, WG (2005). 실험자를 위한 통계 , 2 판, John Wiley and Sons, Hoboken, NJ.
Cornell, JA (2002). 혼합물 실험: 혼합물 데이터의 설계, 모델 및 분석 , 3 판, John Wiley and Sons, Hoboken, NY.
Cornell, JA (2011). 혼합물 실험에 대한 입문서 , John Wiley and Sons, Hoboken, NJ.
Hoerl, RW 및 Snee, RD(2010). "품질 개선의 통계적 사고와 방법: 미래를 바라보기", 품질 엔지니어링 , 22(3): 119-139.
Lenth, RV(1989). "복제되지 않은 요인분석의 빠르고 쉬운 분석", 기술측정학 , 31(4): 469-473.
Montgomery, DC (2012). 실험 설계 및 분석 , 8판, John Wiley and Sons, Hoboken, NJ.
Prescott, P. (2004). "공정 변수와의 상호작용을 포함한 혼합 실험 모델링." 품질 기술 및 양적 관리, 1(1): 87-103.
요리사, H. (1963). “혼합물을 사용한 실험을 위한 심플렉스-중심 설계”, Royal Statistical Society 저널 B , 25(2): 235–263.
Snee, RD 및 Hoerl, RW(2011). " 적절한 혼합; 통계 엔지니어링과 응용 통계의 올바른 혼합", 품질 진행 , 6월: 46-49.
왕, L., 쉬,제이,Wu, S., 및 Zhang, K. (2013). 자체 제작 얼음 조각의 녹는 속도에 대한 연구, 미공개 프로젝트 보고서.
