Sfondo
La durabilità del prodotto è ovviamente un attributo qualitativo importante sia per gli utenti finali che per i produttori. Per gli utenti finali, la durevolezza di un telefono cellulare è particolarmente importante. Ad esempio, se un telefono cade su un oggetto duro, lo schermo potrebbe rompersi o addirittura rompersi, rendendo il telefono inutilizzabile. Per valutare la durevolezza di questi schermi, il produttore ha sottoposto un lotto di schermi a una serie di test progettati per simulare la tipica usura degli utenti, come la caduta del telefono su una superficie di cemento.
Gli scienziati dei materiali di un produttore di schermi hanno sperimentato due nuove formulazioni di vetro alluminosilicato. Le due formulazioni sono state create modificando la composizione del materiale e il processo di polimerizzazione. Per semplicità, faremo riferimento a queste due ricette come tipi di schermata A e B.
Per effettuare i test è stato sviluppato un campione di 10 schermi di ogni tipologia. Ogni schermo è installato sullo stesso modello di telefono cellulare. I telefoni sono stati poi lasciati cadere da un'altezza di 1 metro su una superficie di cemento in modo controllato. Sono state registrate le variabili binarie “successo” (nessun danno) e “fallimento” (danni allo schermo).
Uno degli obiettivi dell'azienda è garantire che il 97% degli schermi prodotti possa resistere a una caduta da un'altezza di un metro senza danni (vale a dire il tasso di successo complessivo).
Compito
Il team di ingegneri spera di rispondere a due domande principali attraverso i dati:
- Esistono prove statistiche sufficienti per concludere che ogni tipo di schermo ha una percentuale di successo di almeno il 97% se lasciato cadere da un'altezza di 1,0 m?
- Esistono prove statistiche che concludono che un tipo di schermo ha un tasso di successo maggiore dell'altro?
dati
I dati vengono memorizzati in un formato tabella risultati / frequenza.
Schermo Due tipi di schermo ( A , B )
Risultati Due risultati (successo, fallimento)
La frequenza determina il numero di telefoni che hanno successo o falliscono
analizzare
Intervallo di confidenza per una proporzione di popolazione
Per prima cosa riassumiamo graficamente i dati utilizzando la piattaforma di distribuzione. La figura 1 mostra i grafici a barre, nonché i conteggi e le proporzioni di ciascun risultato per i due tipi di schermo.
Figura 1 Distribuzione
Per creare, seleziona Analizza > Distribuzione. Selezionare Risultato come variabile Y , Frequenza come variabile Frequenza e Schermo come variabile Base.
Tutti e 10 i telefoni con schermo di tipo A ( 100% ) non hanno subito danni allo schermo, mentre uno su 10 con schermo di tipo B ( 10% ) ha subito danni. Poiché questo è solo il risultato di un test su 20 telefoni, non dovremmo concludere immediatamente che lo schermo A sia generalmente migliore dello schermo B , ma piuttosto effettuare un'analisi statistica più formale.
Perché questi risultati potrebbero verificarsi in un test del genere se, di fatto, il tasso di successo complessivo tra i due tipi di schermo fosse lo stesso. La nostra analisi ci consentirà di quantificare questa possibilità. Saremo inoltre in grado di stimare il tasso di successo complessivo per ogni tipo di schermo, insieme a una misura di incertezza statistica.
Inizieremo questa analisi calcolando innanzitutto una stima dell'intervallo di confidenza del 95% per il tasso di successo complessivo per ciascun tipo di screening. Un intervallo di confidenza stima un parametro della popolazione fornendo un intervallo di possibili valori per un parametro basato su un solo campione.
La figura 2 mostra gli intervalli di confidenza basati su questi dati.
Figura 2 Distribuzione e intervallo di confidenza
Per crearne uno, seleziona un intervallo di confidenza pari a 0,95 dal triangolo rosso accanto al grafico a barre per ciascun tipo di schermata.
L'interpretazione di questi intervalli è la seguente: siamo sicuri al 95% che il tasso di successo complessivo per lo schermo di tipo A dopo una caduta da 1 metro sia compreso tra il 72,2% e il 100% , e siamo sicuri al 95% che il tasso di successo complessivo per lo schermo di tipo B dopo una caduta da 1 metro sia compreso tra il 59,6% e il 98,2% . Gli intervalli di confidenza quantificano l'incertezza statistica in una stima. A causa delle piccole dimensioni del campione ( 10 telefoni per tipo di schermo), l'incertezza è piuttosto ampia, il che si riflette nell'ampiezza degli intervalli di confidenza ( 100 – 72,7 = 27,3 per il tipo di schermo A e 98,2 – 59,6 = 38,6 per il tipo di schermo B ).
Nota tecnica: gli intervalli di confidenza mostrati nella Figura 2 e i test di ipotesi eseguiti nella sezione successiva si basano su procedure statistiche che utilizzano la distribuzione binomiale. Un altro metodo comune per stimare le proporzioni della popolazione si basa sulla distribuzione normale. I risultati ottenuti utilizzando questa tecnica varieranno da quelli mostrati qui.
Per dimostrare statisticamente il tasso di successo complessivo richiesto del 97% con un livello di confidenza del 95% , il limite inferiore dell'intervallo di confidenza deve superare il 97% , il che significa che ogni possibile valore della nostra stima del tasso di successo deve essere maggiore del 97% . Nei nostri dati, il limite inferiore per lo schermo A è del 72,2% e per lo schermo B è del 59,6% . Chiaramente, non abbiamo prodotto prove statistiche per dimostrare un tasso di successo superiore al 97% . In effetti, i margini di errore in questi intervalli di confidenza rivelano che è impossibile dimostrare questo livello di successo con un livello di confidenza del 95% basato sul test di soli 10 telefoni. Anche con un risultato perfetto per lo schermo di tipo A , possiamo stimare che il tasso di successo complessivo sia al massimo del 72,7% . Dobbiamo testare un numero sufficiente di telefoni per produrre un intervallo di confidenza con un margine di errore più piccolo, ad esempio un intervallo di confidenza del 97,5% - 100% .
Test di ipotesi per una proporzione
Poiché l'intervallo di confidenza indica che il criterio desiderato di un tasso di successo complessivo del 97% non è soddisfatto, non è necessario eseguire un test di ipotesi poiché porterebbe alla stessa conclusione. Continueremo a testare le ipotesi per mostrare come procedere e interpretare i risultati.
Possiamo formulare l'ipotesi di interesse come:
H0: PA≤0,97
A : P >0,97
H 0 : P B ≤ 0,97
H0 : PB >0,97
Ecco i tassi di successo complessivi per ogni tipo di schermo.
La figura 3 mostra i risultati dei test di ipotesi aggiunti all'output della distribuzione.
Figura 3 Distribuzione e test di ipotesi
Per creare, seleziona la probabilità del test dal triangolo rosso accanto al grafico a barre per ciascun tipo di schermata. Inserisci 0,97 come probabilità di successo ipotizzata. La probabilità di selezionare un valore maggiore del valore ipotizzato (test binomiale esatto unilaterale).
I valori p per entrambi i test sono elevati ( 0,7374 per Screen A e 0,9655 per Screen B ), indicando che, come abbiamo già determinato, non vi è alcuna prova statistica che venga raggiunto il tasso di successo desiderato del 97% , con un livello di significatività di 0,05 da noi scelto.
È importante sottolineare che le nostre conclusioni non devono essere interpretate come se la presente analisi fornisse prove statistiche del fatto che gli schermi non soddisfano gli standard. Al contrario, non abbiamo prodotto alcuna prova statistica per concludere che ciò sia vero. Forse se venissero testati più schermi saremmo in grado di generare le prove necessarie.
Intervalli di confidenza e test di ipotesi per la differenza tra due proporzioni
Un altro obiettivo del test di caduta è valutare se vi siano prove statistiche per concludere che i tassi di successo dei due tipi di schermo sono diversi. Si noti quanta sovrapposizione c'è negli intervalli di confidenza: [72,2% - 100%] per lo Screen A e [59,6% - 98,2%] per lo Screen B. Da ciò possiamo vedere che non ci sono prove statistiche sufficienti per concludere che ci sia una differenza tra i tassi di successo dei due tipi di screen. Anche in questo caso, ciò potrebbe essere dovuto al numero limitato di schermi testati; testando più schermi si potrebbero ottenere le prove statistiche necessarie per dimostrare una differenza.
Tuttavia, illustreremo i tipi di analisi statistiche che vengono solitamente eseguite quando si confrontano due proporzioni della popolazione, perché l'esercizio ti chiederà di eseguire queste analisi utilizzando un numero maggiore di telefoni testati. Verranno illustrate cinque diverse tecniche statistiche:
- Analisi della tabella di contingenza
- Test di ipotesi per proporzioni a due campioni
- Stima dell'intervallo di confidenza per la differenza di due proporzioni
- Stime dell'intervallo di confidenza per il rischio relativo
Ogni analisi giungerà alla stessa conclusione: non ci sono prove statistiche sufficienti per concludere che ci sia una differenza nei tassi di successo tra i due tipi di screening. I primi tre test di ipotesi possono essere scritti come:
H0 : PA = PB
HA : PA ≠ PB
o equivalentemente
H0 : PA - PB =0
HA: PA-PB≠0
Dove PA e PB rappresentano rispettivamente i tassi di successo complessivi dei tipi di screening A e B.
La figura 4 è il risultato dell'analisi della tabella di contingenza.
Per crearlo, seleziona Analizza > Adatta Y per X. Inserisci il risultato in Y , risposta, lo schermo in X , fattore e la frequenza in frequenza. Fare clic con il pulsante destro del mouse sul grafico Mosaico e selezionare Etichette percentuali in Etichette celle. I triangoli rossi nell'output della tabella di contingenza forniscono opzioni per le informazioni visualizzate nelle celle della tabella.
Il rapporto di verosimiglianza e i valori p di Pearson hanno mostrato rispettivamente 0,2303 e 0,3049 , il che, come previsto, non ha fornito prove statistiche sufficienti a suggerire una differenza nei tassi di successo complessivi tra i due tipi di screening.
La Figura 5 contiene i risultati del test della proporzione a due campioni, che rappresenta un altro modo per verificare l'ipotesi. Se sono presenti più di due categorie (ad esempio, tipo di schermo C , D , ecc.), è possibile utilizzare il test del chi quadrato nell'analisi della tabella di contingenza, mentre quando sono presenti solo due gruppi, come nel caso presente, è disponibile solo il test della proporzione a due campioni.
Per crearlo, seleziona Test delle proporzioni a due campioni dal triangolo rosso in alto.
Come previsto, il valore p per questa tecnica di analisi statistica era ampio ( 0,5338 ), indicando che non vi erano prove statistiche di una differenza nei tassi di successo tra i due tipi di screening . Si noti inoltre che l'intervallo di confidenza per PA - PB (la differenza nei tassi di successo complessivi) è [-.018, 0.346] . Ciò viene interpretato come: possiamo stimare con il 95% di confidenza che il tasso di successo complessivo per lo schermo di tipo A è di 0,18 unità inferiore al tasso di successo complessivo per lo schermo di tipo B , fino a 0,346 unità. Vale a dire, stimiamo che il tasso di successo complessivo dello schermo di tipo A possa essere inferiore o superiore al tasso di successo complessivo dello schermo di tipo B. Se l'intervallo è completamente maggiore di 0 o minore di 0 , vi è una prova statisticamente significativa al livello di confidenza scelto. Questo intervallo di confidenza mostra che 0 è un valore ragionevole per PA - PB . In altre parole, non c'era alcuna differenza nei tassi di successo.
Intervallo di confidenza per il rischio relativo
Un quarto modo per condurre un'analisi comparativa a due campioni è quello di esaminare il rapporto dei tassi di successo, denominato rischio relativo. Il framework di verifica delle ipotesi per questo rapporto può essere scritto come: dove PA e PB sono rispettivamente i tassi di successo complessivi dei tipi di screening A e B.
H0 : PA / PB =1
HA: PA/PB≠1
Questo approccio esprime il parametro di interesse come la percentuale di aumento o diminuzione tra due tassi di successo, anziché come la differenza tra di essi. Questo è un modo utile per descrivere la differenza tra due scale.
La figura 6 mostra i risultati di questa analisi.
Per crearlo, seleziona Rischio relativo dal triangolo rosso in alto. Selezionare il risultato della risposta desiderato e la categoria nel numeratore.
L'intervallo di confidenza [0,904, 1,366] è interpretato come: Possiamo stimare con il 95% di confidenza che il tasso di successo complessivo dello schermo di tipo A è compreso tra il 90,4% e il 136,6% del tasso di successo complessivo dello schermo di tipo A. Vale a dire, il tasso di successo complessivo dello schermo di tipo A può essere inferiore al tasso di successo complessivo dello schermo di tipo B , oppure può essere superiore al tasso di successo complessivo dello schermo di tipo B. Esistono prove statisticamente significative al livello di confidenza scelto solo se la stima dell'intervallo di confidenza del rischio relativo è completamente maggiore di 1 o minore di 1 . Questo intervallo di confidenza mostra che 1 è un valore ragionevole per P A / P B. In altre parole, non c'è stata alcuna differenza nei tassi di successo.
Approfondimenti statistici
La nostra analisi ha evidenziato che nei dati non erano presenti prove statistiche che dimostrassero il tasso di successo complessivo richiesto del 97% . Inoltre, non abbiamo prodotto alcuna prova statistica per concludere che ci fosse una differenza nei tassi di successo complessivi tra i due screening. Come affermato in precedenza, non dobbiamo concludere che la nostra analisi abbia prodotto prove statistiche del fatto che gli schermi non raggiungano i tassi di successo richiesti; piuttosto, non abbiamo prodotto prove statistiche per concludere che lo siano. Ancora una volta, non abbiamo prodotto prove statistiche per concludere che i due tipi di schermo abbiano lo stesso tasso di successo, ma non abbiamo prodotto prove statistiche per affermare che siano diversi. Ulteriori test potrebbero fornire questa prova.
Il caso in questo articolo è tratto da " Resistenza dello schermo del telefono cellulare - Parte 1 | JMP "
