Hintergrund
Die Langlebigkeit eines Produkts ist offensichtlich sowohl für Endverbraucher als auch für Hersteller ein wichtiges Qualitätsmerkmal. Für Endverbraucher ist die Langlebigkeit eines Mobiltelefons besonders wichtig. Wenn ein Telefon beispielsweise auf einen harten Gegenstand fällt, kann der Bildschirm brechen oder sogar zerspringen, wodurch das Telefon unbrauchbar wird. Um die Haltbarkeit dieser Bildschirme zu beurteilen, hat der Hersteller eine Reihe von Bildschirmen einer Reihe von Tests unterzogen, die die typische Abnutzung durch Benutzer simulieren sollen, wie etwa das Fallenlassen des Telefons auf eine Betonoberfläche.
Materialwissenschaftler eines Bildschirmherstellers haben mit zwei neuen Formulierungen von Alumosilikatglas experimentiert. Die beiden Formulierungen wurden durch Modifikation der Materialzusammensetzung und des Aushärtungsprozesses erstellt. Der Einfachheit halber bezeichnen wir diese beiden Rezepte als Bildschirmtypen A und B.
Zum Testen wurde eine Stichprobe von 10 Bildschirmen jedes Typs entwickelt. Jeder Bildschirm ist auf demselben Mobiltelefonmodell installiert. Anschließend wurden die Telefone kontrolliert aus einer Höhe von 1 Meter auf eine Betonoberfläche fallen gelassen. Dabei wurden die binären Variablen „Erfolg“ (kein Schaden) und „Misserfolg“ (Schaden am Bildschirm) erfasst.
Eines der Ziele des Unternehmens besteht darin, sicherzustellen, dass 97 % der produzierten Bildschirme einen Sturz aus einer Höhe von einem Meter unbeschadet überstehen (d. h. die Gesamterfolgsquote).
Aufgabe
Das Ingenieurteam hofft, anhand der Daten zwei Hauptfragen beantworten zu können:
- Gibt es genügend statistische Beweise, um zu dem Schluss zu kommen, dass jeder Bildschirmtyp eine Erfolgsquote von mindestens 97 % hat, wenn er aus einer Höhe von 1,0 m fällt?
- Gibt es statistische Belege dafür, dass ein Bildschirmtyp eine bessere Erfolgsquote hat als der andere?
Daten
Die Daten werden in einem Ergebnis- / Häufigkeitstabellenformat gespeichert.
Bildschirm Zwei Bildschirmtypen ( A , B )
Ergebnisse Zwei Ergebnisse (Erfolg, Misserfolg)
Die Häufigkeit gibt die Anzahl der erfolgreichen oder fehlgeschlagenen Telefone an
analysieren
Konfidenzintervall für einen Bevölkerungsanteil
Wir fassen die Daten zunächst grafisch anhand der Verteilungsplattform zusammen. Abbildung 1 zeigt die Balkendiagramme sowie die Anzahl und Anteile der einzelnen Ergebnisse für die beiden Bildschirmtypen.
Abbildung 1 Verteilung
Wählen Sie zum Erstellen „Analysieren > Verteilung“ aus. Wählen Sie „Ergebnis“ als Y- Variable, „Häufigkeit“ als Häufigkeitsvariable und „Bildschirm“ als Basisvariable aus.
Bei allen 10 Telefonen mit Bildschirmtyp A ( 100 % ) wurde kein Bildschirmschaden festgestellt, während bei einem von 10 Telefonen mit Bildschirmtyp B ( 10 % ) ein Schaden auftrat. Da dies nur das Ergebnis eines Tests mit 20 Telefonen ist, sollten wir nicht sofort den Schluss ziehen, dass Bildschirm A im Allgemeinen besser ist als Bildschirm B , sondern lieber eine eher formale statistische Analyse durchführen.
Denn diese Ergebnisse könnten bei einem solchen Test auftreten, wenn die Gesamterfolgsrate beider Bildschirmtypen tatsächlich gleich wäre. Unsere Analyse wird es uns ermöglichen, diese Möglichkeit zu quantifizieren. Darüber hinaus können wir die Gesamterfolgsrate für jeden Screen-Typ sowie ein Maß für die statistische Unsicherheit schätzen.
Wir beginnen diese Analyse, indem wir zunächst eine Schätzung des 95 % -Konfidenzintervalls für die Gesamterfolgsrate für jeden Bildschirmtyp berechnen. Ein Konfidenzintervall schätzt einen Populationsparameter, indem es einen Bereich möglicher Werte für einen Parameter basierend auf nur einer Stichprobe angibt.
Abbildung 2 zeigt die auf diesen Daten basierenden Konfidenzintervalle.
Abbildung 2 Verteilung und Konfidenzintervall
Um eines zu erstellen, wählen Sie für jeden Bildschirmtyp ein Konfidenzintervall von 0,95 aus dem roten Dreieck neben dem Balkendiagramm aus.
Die Interpretation dieser Bereiche ist wie folgt: Wir sind zu 95 % sicher, dass die Gesamterfolgsrate für Bildschirmtyp A nach einem Sturz aus 1 Meter Höhe zwischen 72,2 % und 100 % liegt, und wir sind zu 95 % sicher, dass die Gesamterfolgsrate für Bildschirmtyp B nach einem Sturz aus 1 Meter Höhe zwischen 59,6 % und 98,2 % liegt. Konfidenzintervalle quantifizieren die statistische Unsicherheit einer Schätzung. Aufgrund der geringen Stichprobengröße ( 10 Telefone pro Bildschirmtyp) ist die Unsicherheit recht groß, was sich in der Breite der Konfidenzintervalle widerspiegelt ( 100 – 72,7 = 27,3 für Bildschirmtyp A und 98,2 – 59,6 = 38,6 für Bildschirmtyp B ).
Technischer Hinweis: Die in Abbildung 2 dargestellten Konfidenzintervalle und die im nächsten Abschnitt durchgeführten Hypothesentests basieren auf statistischen Verfahren, die die Binomialverteilung verwenden. Eine weitere gängige Methode zur Schätzung von Bevölkerungsanteilen basiert auf der Normalverteilung. Die Ergebnisse dieser Technik können von den hier gezeigten abweichen.
Um die erforderliche Gesamterfolgsrate von 97 % bei einem Konfidenzniveau von 95 % statistisch zu belegen, muss die Untergrenze des Konfidenzintervalls über 97 % liegen, was bedeutet, dass jeder mögliche Wert unserer Schätzung der Erfolgsrate über 97 % liegen muss. In unseren Daten liegt die Untergrenze für Sieb A bei 72,2 % und für Sieb B bei 59,6 % . Offensichtlich haben wir keine statistischen Beweise dafür erbracht, dass die Erfolgsquote über 97 % liegt. Tatsächlich zeigen die Fehlermargen dieser Konfidenzintervalle, dass es unmöglich ist, diese Erfolgsquote mit einem Konfidenzniveau von 95 % auf der Grundlage des Tests von nur 10 Telefonen nachzuweisen. Selbst bei einem perfekten Ergebnis für Screeningtyp A können wir die Gesamterfolgsrate auf höchstens 72,7 % schätzen. Wir müssen genügend Telefone testen, um ein Konfidenzintervall mit einer geringeren Fehlerspanne zu erstellen, beispielsweise ein Konfidenzintervall von 97,5 % bis 100 % .
Hypothesentests für einen Anteil
Da das Konfidenzintervall darauf hinweist, dass das gewünschte Kriterium einer Gesamterfolgsrate von 97 % nicht erfüllt ist, ist es nicht erforderlich, einen Hypothesentest durchzuführen, da dieser zum gleichen Ergebnis führen würde. Wir werden weiterhin Hypothesentests durchführen, um zu zeigen, wie wir vorgehen und die Ausgabe interpretieren.
Wir können die Hypothese von Interesse wie folgt formulieren:
H 0 : P A ≤ 0,97
HA : PA >0,97
H 0 : P B ≤ 0,97
H 0 : P B >0,97
Hier sind die Gesamterfolgsraten für jeden Bildschirmtyp.
Abbildung 3 zeigt die Ergebnisse der Hypothesentests, die der Verteilungsausgabe hinzugefügt wurden.
Abbildung 3 Verteilung und Hypothesentests
Wählen Sie zum Erstellen die Testwahrscheinlichkeit aus dem roten Dreieck neben dem Balkendiagramm für jeden Bildschirmtyp aus. Geben Sie als angenommene Erfolgswahrscheinlichkeit 0,97 ein. Die Wahrscheinlichkeit, einen Wert auszuwählen, der größer als der hypothetische Wert ist (exakter einseitiger Binomialtest).
Die p -Werte für beide Tests sind groß ( 0,7374 für Screen A und 0,9655 für Screen B ), was darauf hinweist, dass es, wie wir bereits festgestellt haben, keinen statistischen Beweis dafür gibt, dass die gewünschte Erfolgsrate von 97 % erreicht wird, wobei wir das Signifikanzniveau von 0,05 gewählt haben.
Wichtig ist, dass unsere Schlussfolgerungen nicht dahingehend interpretiert werden sollten, dass die vorliegende Analyse einen statistischen Beweis dafür liefert, dass Bildschirme den Standards nicht entsprechen. Im Gegensatz dazu haben wir keine statistischen Beweise vorgelegt, die darauf schließen lassen, dass dies der Fall ist. Wenn wir mehr Bildschirme testen würden, könnten wir vielleicht die notwendigen Beweise erbringen.
Konfidenzintervalle und Hypothesentests für den Unterschied zwischen zwei Anteilen
Ein weiteres Ziel des Falltests besteht darin, zu beurteilen, ob es statistische Belege dafür gibt, dass die Erfolgsraten der beiden Bildschirmtypen unterschiedlich sind. Beachten Sie, wie groß die Überschneidungen bei den Konfidenzintervallen sind: [72,2 % – 100 %] für Screening A und [59,6 % – 98,2 %] für Screening B. Daraus können wir ersehen, dass es nicht genügend statistische Beweise gibt, um auf einen Unterschied zwischen den Erfolgsraten der beiden Screening-Typen zu schließen. Auch dies kann auf die geringe Anzahl getesteter Bildschirme zurückzuführen sein. Das Testen mehrerer Bildschirme könnte die notwendigen statistischen Beweise liefern, um einen Unterschied nachzuweisen.
Dennoch werden wir die Arten statistischer Analysen demonstrieren, die typischerweise beim Vergleich zweier Bevölkerungsanteile durchgeführt werden, da Sie in der Übung aufgefordert werden, diese Analysen mit einer größeren Anzahl getesteter Telefone durchzuführen. Es werden fünf verschiedene statistische Techniken demonstriert:
- Kontingenztabellenanalyse
- Hypothesentests für Anteile bei zwei Stichproben
- Konfidenzintervallschätzung für die Differenz zweier Anteile
- Konfidenzintervallschätzungen für das relative Risiko
Jede Analyse kommt zum gleichen Schluss: Es liegen nicht genügend statistische Beweise vor, um zu dem Schluss zu kommen, dass es einen Unterschied in den Erfolgsraten zwischen den beiden Screening-Typen gibt. Die ersten drei Hypothesentests können wie folgt geschrieben werden:
H 0 : P A =P B
HA : PA ≠ PB
oder gleichwertig
H 0 : P A -P B =0
H A : P A -P B ≠ 0
Wobei PA und PB die Gesamterfolgsraten der Screening-Typen A und B sind.
Abbildung 4 ist das Ergebnis der Kontingenztabellenanalyse.
Um dies zu erstellen, wählen Sie „Analysieren“ > „Y an X anpassen“. Geben Sie das Ergebnis in Y , die Antwort, den Bildschirm in X , den Faktor und die Frequenz in die Frequenz ein. Klicken Sie mit der rechten Maustaste auf das Mosaikdiagramm und wählen Sie unter „Zellenbeschriftungen“ die Option „Prozentbeschriftungen“ aus. Die roten Dreiecke in der Ausgabe der Kontingenztabelle bieten Auswahlmöglichkeiten für die in den Tabellenzellen angezeigten Informationen.
Das Likelihood-Verhältnis und die P -Werte nach Pearson lagen bei 0,2303 bzw. 0,3049 , was erwartungsgemäß keinen ausreichenden statistischen Beweis lieferte, um auf einen Unterschied in der Gesamterfolgsrate zwischen den beiden Screening-Typen hinzuweisen.
Abbildung 5 enthält die Ergebnisse des Zweistichproben-Proportionstests, der eine weitere Möglichkeit zum Testen der Hypothese darstellt. Wenn mehr als zwei Kategorien vorhanden sind (z. B. Bildschirmtyp C , D usw.), kann der Chi-Quadrat-Test in der Kontingenztabellenanalyse verwendet werden, während nur der Zwei-Stichproben-Proportionalitätstest verfügbar ist, wenn es wie hier nur zwei Gruppen gibt.
Wählen Sie zum Erstellen „Zwei-Stichproben-Proportionstest“ aus dem oberen roten Dreieck aus.
Wie erwartet war der P -Wert für diese statistische Analysetechnik hoch ( 0,5338 ), was darauf hindeutet, dass es keinen statistischen Beweis für einen Unterschied in den Erfolgsraten zwischen den beiden Screening-Typen gab . Beachten Sie auch, dass das Konfidenzintervall für PA – PB (die Differenz der Gesamterfolgsraten) [-.018, 0,346] beträgt. Dies wird wie folgt interpretiert: Wir können mit 95-prozentiger Sicherheit schätzen, dass die Gesamterfolgsrate für Bildschirmtyp A um 0,18 Einheiten kleiner ist als die Gesamterfolgsrate für Bildschirmtyp B , bis zu 0,346 Einheiten. Das heißt, wir schätzen, dass die Gesamterfolgsrate des Screen-Typs A kleiner oder größer sein kann als die Gesamterfolgsrate des Screen- Typs B. Wenn das Intervall vollständig größer als 0 oder kleiner als 0 ist, liegt ein statistisch signifikanter Beweis auf dem gewählten Konfidenzniveau vor. Dieses Konfidenzintervall zeigt, dass 0 ein angemessener Wert für PA - PB ist. Mit anderen Worten, es gab keinen Unterschied bei den Erfolgsraten.
Konfidenzintervall für relatives Risiko
Eine vierte Möglichkeit zur Durchführung einer Vergleichsanalyse mit zwei Stichproben besteht in der Untersuchung des Verhältnisses der Erfolgsraten, das als relative Risiken bezeichnet wird. Der Rahmen für die Hypothesenprüfung dieses Verhältnisses kann wie folgt geschrieben werden: wobei PA und PB die Gesamterfolgsraten der Screentypen A bzw. B sind.
H 0 : P A /P B =1
H A : P A /P B ≠ 1
Bei diesem Ansatz wird der Parameter, der von Interesse ist, als prozentuale Erhöhung oder Verringerung zwischen zwei Erfolgsraten und nicht als Differenz zwischen ihnen ausgedrückt. Dies ist eine nützliche Möglichkeit, den Unterschied zwischen zwei Skalen zu beschreiben.
Abbildung 6 zeigt die Ergebnisse dieser Analyse.
Um dies zu erstellen, wählen Sie „Relatives Risiko“ aus dem roten Dreieck oben aus. Wählen Sie das gewünschte Antwortergebnis und die Kategorie im Zähler aus.
Das Konfidenzintervall [0,904; 1,366] wird wie folgt interpretiert: Wir können mit 95-prozentiger Sicherheit schätzen, dass die Gesamterfolgsrate von Screening-Typ A zwischen 90,4 % und 136,6 % der Gesamterfolgsrate von Screening-Typ A liegt. Das heißt, die Gesamterfolgsrate von Screening-Typ A kann niedriger oder höher als die Gesamterfolgsrate von Screening-Typ B sein . Statistisch signifikante Beweise liegen auf dem gewählten Konfidenzniveau nur dann vor, wenn die Schätzung des Konfidenzintervalls für das relative Risiko vollständig größer als 1 oder kleiner als 1 ist. Dieses Konfidenzintervall zeigt, dass 1 ein angemessener Wert für P A / P B ist. Mit anderen Worten, es gab keinen Unterschied bei den Erfolgsraten.
Statistische Erkenntnisse
Unsere Analyse ergab, dass die Daten keine statistischen Belege für die erforderliche Gesamterfolgsrate von 97 % enthielten. Wir konnten auch keine statistischen Beweise dafür erbringen, dass es zwischen den beiden Screenings einen Unterschied in der Gesamterfolgsrate gibt. Wie bereits erwähnt, sollten wir nicht zu dem Schluss kommen, dass unsere Analyse statistische Beweise dafür erbracht hat, dass die Screenings nicht die erforderlichen Erfolgsraten erreichen. vielmehr haben wir keine statistischen Beweise vorgelegt, die darauf schließen lassen, dass dies der Fall ist. Auch hier gilt, dass wir keine statistischen Beweise dafür erbracht haben, dass die beiden Bildschirmtypen die gleiche Erfolgsrate aufweisen. Wir haben lediglich keine statistischen Beweise dafür erbracht, dass sie unterschiedlich sind. Weitere Tests könnten diesen Beweis möglicherweise erbringen.
Der Fall in diesem Artikel stammt aus „ Haltbarkeit von Handy-Bildschirmen – Teil 1 | JMP “
