Arrière-plan
La durabilité du produit est évidemment un attribut de qualité important tant pour les utilisateurs finaux que pour les fabricants. Pour les utilisateurs finaux, la durabilité d’un téléphone mobile est particulièrement importante. Par exemple, si un téléphone tombe sur un objet dur, l’écran peut se fissurer ou même se briser, rendant le téléphone inutilisable. Pour évaluer la durabilité de ces écrans, le fabricant a soumis un lot d'écrans à une variété de tests conçus pour simuler l'usure typique des utilisateurs, comme la chute du téléphone sur une surface en béton.
Les scientifiques des matériaux d’un fabricant d’écrans ont expérimenté deux nouvelles formulations de verre aluminosilicate. Les deux formulations ont été créées en modifiant la composition du matériau et le processus de durcissement. Pour plus de simplicité, nous appellerons ces deux recettes types d’écran A et B.
Pour les tests, un échantillon de 10 écrans de chaque type a été développé. Chaque écran est installé sur le même modèle de téléphone mobile. Les téléphones ont ensuite été lâchés d’une hauteur d’ un mètre sur une surface en béton de manière contrôlée et cohérente. Les variables binaires « succès » (aucun dommage) et « échec » (dommage à l’écran) ont été enregistrées.
L’un des objectifs de l’entreprise est de garantir que 97 % des écrans produits puissent résister à une chute d’une hauteur d’un mètre sans dommage (c’est-à-dire le taux de réussite global).
Tâche
L'équipe d'ingénierie espère répondre à deux questions principales grâce aux données :
- Existe-t-il suffisamment de preuves statistiques pour conclure que chaque type d’écran a un taux de réussite d’au moins 97 % lorsqu’il est lâché d’une hauteur de 1,0 m ?
- Existe-t-il des preuves statistiques permettant de conclure qu’un type d’écran a un meilleur taux de réussite que l’autre ?
données
Les données sont stockées dans un format de tableau de résultats / fréquences.
Écran Deux types d'écran ( A , B )
Résultats Deux résultats (succès, échec)
La fréquence conduit au nombre de téléphones qui réussissent ou échouent
analyser
Intervalle de confiance pour une proportion de la population
Nous résumons d’abord les données graphiquement à l’aide de la plateforme de distribution. La figure 1 montre les graphiques à barres, ainsi que les nombres et les proportions de chaque résultat pour les deux types d’écran.
Figure 1 Distribution
Pour créer, sélectionnez Analyser > Distribution. Sélectionnez Résultat comme variable Y , Fréquence comme variable Fréquence et Écran comme variable Base.
Les 10 téléphones avec écran de type A ( 100 % ) n'ont subi aucun dommage, tandis qu'un téléphone sur 10 avec écran de type B ( 10 % ) a subi des dommages. Puisqu'il s'agit simplement du résultat d'un test de 20 téléphones, nous ne devrions pas conclure immédiatement que l'écran A est généralement meilleur que l'écran B , mais plutôt faire une analyse statistique plus formelle.
Parce que ces résultats pourraient se produire dans un tel test si, en fait, le taux de réussite global entre les deux types d’écran était le même. Notre analyse nous permettra de quantifier cette possibilité. Nous serons également en mesure d’estimer le taux de réussite global pour chaque type d’écran, ainsi qu’une mesure de l’incertitude statistique.
Nous commencerons cette analyse en calculant d’abord une estimation de l’intervalle de confiance à 95 % pour le taux de réussite global pour chaque type d’écran. Un intervalle de confiance estime un paramètre de population en fournissant une plage de valeurs possibles pour un paramètre basé sur un seul échantillon.
La figure 2 montre les intervalles de confiance basés sur ces données.
Figure 2 Distribution et intervalle de confiance
Pour en créer un, sélectionnez l’intervalle de confiance de 0,95 dans le triangle rouge à côté du graphique à barres pour chaque type d’écran.
L'interprétation de ces plages est la suivante : Nous sommes sûrs à 95 % que le taux de réussite global pour l'écran de type A après une chute de 1 mètre est compris entre 72,2 % et 100 % , et nous sommes sûrs à 95 % que le taux de réussite global pour l'écran de type B après une chute de 1 mètre est compris entre 59,6 % et 98,2 % . Les intervalles de confiance quantifient l’incertitude statistique d’une estimation. En raison de la petite taille de l’échantillon ( 10 téléphones par type d’écran), l’incertitude est assez grande, ce qui se reflète dans la largeur des intervalles de confiance ( 100 – 72,7 = 27,3 pour le type d’écran A et 98,2 – 59,6 = 38,6 pour le type d’écran B ).
Note technique : Les intervalles de confiance présentés dans la figure 2 et les tests d’hypothèse effectués dans la section suivante sont basés sur des procédures statistiques qui utilisent la distribution binomiale. Une autre méthode courante pour estimer les proportions de la population est basée sur la distribution normale. Les résultats obtenus en utilisant cette technique peuvent varier de ceux présentés ici.
Afin de prouver statistiquement le taux de réussite global requis de 97 % à un niveau de confiance de 95 % , la limite inférieure de l'intervalle de confiance doit dépasser 97 % , ce qui signifie que toute valeur possible de notre estimation du taux de réussite doit être supérieure à 97 % . Dans nos données, la limite inférieure pour l’écran A est de 72,2 % et pour l’écran B, elle est de 59,6 % . De toute évidence, nous n’avons pas produit de preuves statistiques pour démontrer un taux de réussite supérieur à 97 % . En fait, les marges d’erreur dans ces intervalles de confiance révèlent qu’il est impossible de démontrer ce niveau de taux de réussite avec un niveau de confiance de 95 % basé sur le test de seulement 10 téléphones. Même avec un résultat parfait pour le type d'écran A , nous ne pouvons estimer le taux de réussite global qu'à 72,7 % au maximum. Nous devons tester suffisamment de téléphones pour produire un intervalle de confiance avec une marge d’erreur plus petite, comme un intervalle de confiance de 97,5 % à 100 % .
Tests d'hypothèses pour une proportion
Étant donné que l’intervalle de confiance indique que le critère souhaité d’un taux de réussite global de 97 % n’est pas atteint, il n’est pas nécessaire d’effectuer un test d’hypothèse car il conduira à la même conclusion. Nous continuerons à effectuer des tests d’hypothèses pour montrer comment procéder et interpréter le résultat.
Nous pouvons formuler l’hypothèse d’intérêt comme :
H 0 : P A ≤ 0,97
H A : P A > 0,97
H 0 : P B ≤ 0,97
H 0 : P B > 0,97
Voici les taux de réussite globaux pour chaque type d’écran.
La figure 3 montre les résultats des tests d’hypothèse ajoutés à la sortie de distribution.
Figure 3 Distribution et tests d'hypothèses
Pour créer, sélectionnez la probabilité de test dans le triangle rouge à côté du graphique à barres pour chaque type d'écran. Entrez 0,97 comme probabilité hypothétique de succès. La probabilité de sélectionner une valeur supérieure à la valeur hypothétique (test binomial unilatéral exact).
Les valeurs p pour les deux tests sont élevées ( 0,7374 pour l'écran A et 0,9655 pour l'écran B ), indiquant, comme nous l'avons déjà déterminé, qu'il n'existe aucune preuve statistique que le taux de réussite souhaité de 97 % soit atteint, avec un niveau de signification de 0,05 que nous avons choisi.
Il est important de noter que nos conclusions ne doivent pas être interprétées comme si l’analyse actuelle produisait des preuves statistiques selon lesquelles les écrans ne répondent pas aux normes. En revanche, nous n’avons produit aucune preuve statistique permettant de conclure qu’ils le font. Peut-être que si davantage d’écrans étaient testés, nous serions en mesure de générer les preuves nécessaires.
Intervalles de confiance et tests d'hypothèses pour la différence entre deux proportions
Un autre objectif du test de chute est d’évaluer s’il existe des preuves statistiques permettant de conclure que les taux de réussite des deux types d’écran sont différents. Remarquez le chevauchement des intervalles de confiance : [72,2 % - 100 %] pour l'écran A et [59,6 % - 98,2 %] pour l'écran B. Nous pouvons constater qu'il n'y a pas suffisamment de preuves statistiques pour conclure qu'il existe une différence entre les taux de réussite des deux types d'écran. Encore une fois, cela peut être dû au petit nombre d’écrans testés ; tester davantage d’écrans pourrait produire les preuves statistiques nécessaires pour démontrer une différence.
Néanmoins, nous allons démontrer les types d’analyses statistiques qui sont généralement effectuées lors de la comparaison de deux proportions de population, car l’exercice vous demandera d’effectuer ces analyses en utilisant un plus grand nombre de téléphones testés. Cinq techniques statistiques différentes seront démontrées :
- Analyse du tableau de contingence
- Tests d'hypothèses pour les proportions à deux échantillons
- Estimation de l'intervalle de confiance pour la différence de deux proportions
- Estimations de l'intervalle de confiance pour le risque relatif
Chaque analyse aboutira à la même conclusion : il n’existe pas suffisamment de preuves statistiques pour conclure qu’il existe une différence dans les taux de réussite entre les deux types de dépistage. Les trois premiers tests d'hypothèses peuvent être écrits comme suit :
H 0 : P A = P B
HA : PA ≠ PB
ou de manière équivalente
H 0 : P A - P B = 0
H A : P A - P B ≠ 0
Où PA et PB sont les taux de réussite globaux des types de dépistage A et B respectivement.
La figure 4 est le résultat de l’analyse du tableau de contingence.
Pour créer ceci, sélectionnez Analyser > Ajuster Y par X. Placez le résultat dans Y , la réponse, l'écran dans X , le facteur et la fréquence dans fréquence. Cliquez avec le bouton droit sur le graphique en mosaïque et sélectionnez Étiquettes de pourcentage sous Étiquettes de cellule. Les triangles rouges dans la sortie du tableau de contingence fournissent des choix pour les informations affichées dans les cellules du tableau.
Le rapport de vraisemblance et les valeurs p de Pearson ont montré respectivement 0,2303 et 0,3049 , ce qui, comme prévu, n'a pas fourni de preuves statistiques suffisantes pour suggérer une différence dans les taux de réussite globaux entre les deux types de dépistage.
La figure 5 contient les résultats du test de proportion à deux échantillons, qui constitue une autre façon de tester l’hypothèse. S'il y a plus de deux catégories (par exemple, type d'écran C , D , etc.), le test du chi carré dans l'analyse du tableau de contingence peut être utilisé, alors que seul le test de proportion à deux échantillons est disponible lorsqu'il n'y a que deux groupes, comme c'est le cas ici.
Pour créer, sélectionnez Test des proportions à deux échantillons dans le triangle rouge supérieur.
Comme prévu, la valeur p pour cette technique d’analyse statistique était élevée ( 0,5338 ), indiquant qu’il n’y avait aucune preuve statistique d’une différence dans les taux de réussite entre les deux types de dépistage . Notez également que l'intervalle de confiance pour PA - PB (la différence dans les taux de réussite globaux) est [-0,018, 0,346] . Ceci est interprété comme suit : Nous pouvons estimer avec une confiance de 95 % que le taux de réussite global pour le type d'écran A est inférieur de 0,18 unité au taux de réussite global pour le type d'écran B , jusqu'à 0,346 unité. Autrement dit, nous estimons que le taux de réussite global du dépistage de type A peut être inférieur ou supérieur au taux de réussite global du dépistage de type B. Si l’intervalle est complètement supérieur à 0 ou inférieur à 0 , il existe une preuve statistiquement significative au niveau de confiance choisi. Cet intervalle de confiance montre que 0 est une valeur raisonnable pour PA - PB . En d’autres termes, il n’y avait aucune différence dans les taux de réussite.
Intervalle de confiance pour le risque relatif
Une quatrième façon de réaliser une analyse comparative à deux échantillons consiste à examiner le rapport des taux de réussite appelés risques relatifs. Le cadre de test d'hypothèse pour ce ratio peut être écrit comme suit : où PA et PB sont les taux de réussite globaux des types de dépistage A et B , respectivement.
H 0 : P A / P B = 1
H A : P A /P B ≠ 1
Cette approche exprime le paramètre d’intérêt comme le pourcentage d’augmentation ou de diminution entre deux taux de réussite plutôt que comme la différence entre eux. C’est une manière utile de décrire la différence entre deux échelles.
La figure 6 montre les résultats de cette analyse.
Pour créer cela, sélectionnez Risque relatif dans le triangle rouge en haut. Sélectionnez le résultat de réponse souhaité et la catégorie dans le numérateur.
L'intervalle de confiance [0,904, 1,366] est interprété comme : Nous pouvons estimer avec une confiance de 95 % que le taux de réussite global du dépistage de type A est compris entre 90,4 % et 136,6 % du taux de réussite global du dépistage de type A. Autrement dit, le taux de réussite global du dépistage de type A peut être inférieur au taux de réussite global du dépistage de type B , ou il peut être supérieur au taux de réussite global du dépistage de type B. Des preuves statistiquement significatives existent au niveau de confiance choisi uniquement si l'estimation de l'intervalle de confiance du risque relatif est complètement supérieure à 1 ou inférieure à 1 . Cet intervalle de confiance montre que 1 est une valeur raisonnable pour P A / P B. En d’autres termes, il n’y avait aucune différence dans les taux de réussite.
Informations statistiques
Notre analyse a montré qu’il n’y avait aucune preuve statistique dans les données pour démontrer le taux de réussite global requis de 97 % . Nous n’avons pas non plus produit de preuves statistiques permettant de conclure qu’il y avait une différence dans les taux de réussite globaux entre les deux examens. Comme indiqué précédemment, nous ne devons pas conclure que notre analyse a produit des preuves statistiques montrant que les dépistages n’atteignent pas les taux de réussite requis ; mais nous n’avons pas produit de preuves statistiques permettant de conclure qu’ils le font. Encore une fois, nous n’avons pas généré de preuves statistiques pour conclure que les deux types d’écran ont le même taux de réussite, nous n’avons tout simplement pas généré de preuves statistiques pour dire qu’ils sont différents. D’autres tests pourraient permettre de produire cette preuve.
L'étude de cas présentée dans cet article est tirée de « Durabilité des écrans de téléphones portables - Partie 1 | JMP »
