在半導體製造中，缺陷可能導致廢品和沈沒成本。如果未偵測到，它們可能會對設備功能產生不利影響並導致最終用戶故障。缺陷可能導致巨大的經濟損失和聲譽受損。使用於減少缺陷的統計模型盡可能準確是有價值的。標準最小二乘迴歸通常是建立用於解決缺陷問題的半導體製程統計模型的首選方法。但應該如此嗎？用作反應變數的品質指標（例如缺陷數）通常違反標準最小平方法迴歸模型成功所必須滿足的假設。應該用什麼來代替？
計算晶片或晶圓上的缺陷數量是半導體製造中的一項標準品質要求。例如，在化學機械平坦化過程（CMP）中，計數腐蝕和刮痕等異常情況非常常見。
缺陷數品質指標與化學氣相沉積製程 (CVD) 所使用的連續質量指標（如薄膜厚度）在物理和實務上均有不同。缺陷被計數並報告為從零開始的整數值。對於許多類型的缺陷，我們預期大多數觀測值為零或接近零，就像下面左側的偏右分佈圖一樣。不同的缺陷計數水準也可能與不同的故障機制相關。相反，我們預期連續測量在目標的兩側合理對稱，就像右側的常態分佈圖一樣。連續度量的形狀和尺度通常僅由一種物理現象造成。對於「中心最好」類型的製程變量，右側的分佈將表示製程穩定且按目標運行。
為了有效，缺陷計數反應的統計模型必須能夠描述或預測可能產生零到多個計數缺陷的過程場景。具有連續響應的統計模型必須能夠描述或預測導致圍繞過程目標變化的過程場景。鑑於這些過程品質指標的物理和實際方面及其模型期望的差異，用於產生模型的方法不應該有所不同嗎？事實證明，使用標準最小二乘迴歸方法可能會導致缺陷計數反應不準確。
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CMP 製程流程圖
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CMP 刮痕缺陷
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來源：化學機械平坦化（CMP）中的划痕形成及其機制、摩擦、Kwon 等。等人，2013 年。
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考慮這樣一個場景，一位製程工程師的任務是減少 CMP 工具產生的刮痕缺陷的數量。首先，他們收集一個月的觀察過程數據，目的是產生一個統計模型，幫助了解哪些製程變數可能導致刮痕缺陷。根據經驗，它們包括漿料類型、拋光墊類型、漿料流速和拋光時間因素資料。
我們的製程工程師使用 JMP 中的擬合模型標準最小二乘法功能首次嘗試建立模型。然後使用預測分析器，確定最小化缺陷的因子設定組合，結果發現模型結果是負的平均缺陷數。
儘管對於 CMP 範例來說，標準最小二乘法在數學上是可行的，但負缺陷估計顯然是不切實際的。透過查看實際值與預測值以及殘差與預測值圖，我們可以了解該方法有問題的原因。
在兩個圖中，都存在缺陷數量較少的模式。該模式表明，該模型在缺陷數量較少的情況下表現不佳。我們期望在實際預測圖中看到對角線兩側的隨機散點，並且在殘差預測圖中看到殘差隨機散點約為零 - 就像我們對較高缺陷數量所做的那樣。這可能是因為我們的觀察結果大多是零或接近零。預測零缺陷的模型準確性對於最佳化非常重要。低缺陷數下的模型精度對我們的製程工程師來說非常重要，因為即使一兩個缺陷也可能導致晶片報廢。模型中也沒有任何內容將缺陷數量估計值限制為零或更大。標準最小二乘迴歸建立在迴歸平均值的基礎上，並且給定缺陷數量等分佈，平均值通常不是中心值的良好度量。
針對這些缺陷，標準最小平方法迴歸根本不是模擬 CMP 製程的最佳方法。那麼，是什麼呢？是否有一種迴歸分析可以幫助處理非常態和傾斜的缺陷分佈？答案肯定是肯定的。
對於 CMP 場景，我們的流程工程師了解了 JMP Pro 中廣義迴歸擬合模型特性中可用的分佈選項。廣義迴歸是一種多用途線性建模工具。不僅有多種分佈選項，而且還存在變數選擇技術和處理刪失資料的選項，這使得它在標準最小二乘法可能不足的許多建模情況下很有用。我們的製程工程師了解到，泊松分佈和負二項分佈通常可以有效地對缺陷計數類型資料進行建模。他們還了解到，這些分佈的零膨脹版本（例如 ZI Poisson）在存在許多零缺陷觀測值的情況下可能會發揮更好的作用。
為了獲得參考基線，我們的製程工程師從常態分佈開始，然後嘗試使用套索估計方法來擬合泊松、ZI 泊松、負二項和 ZI 負二項分佈。
根據小樣本調整的赤池資訊準則 (AICc) 來判斷，除常態反應標準最小平方法模型外，所有模型的表現都相似。 AICc 統計數據通常用於比較使用不同方法擬合的模型的相對質量。一般來說，如果兩個模型之間的 AICc 差異為 2 或更大，則可以說，AICc 較小的模型更受青睞[1] 。與標準最小平方法相比，套索估計法減少了模型參數的數量。給定相似的 AICc 統計數據，參數最少的模型通常被判斷為更好。對於模型選擇來說，更重要的是了解哪種模型符合產生資料的過程的特徵或某些歷史先例。我們的製程工程師知道，在所研究的 CMP 工具中，刮痕缺陷並不常出現，因此預期通貨膨脹為零。我們的製程工程師現在能夠根據 AICc、參數數量和製程理解自信地選擇 ZI 泊鬆套索模型。
具有收縮的新 ZI 泊松模型的結果看起來更真實。該模型沒有估計負平均缺陷。
對於較低的缺陷數量，實際預測值和殘差預測值圖中的模式也較少。在實際與預測圖中，對角線兩側的點較為均衡，而在殘差圖中，零點之上和之下的點較為均衡。
有了合理的模型，我們的製程工程師就離解決CMP製程缺陷問題更近了一步。
總而言之，標準最小平方法迴歸有其限制。將該方法廣泛應用於每種分析情況可能會導致不準確，就像 CMP 範例一樣。更好的方法是使用能夠適應資料特徵的靈活建模工具，例如 JMP Pro 中的廣義回歸平台，它為 CMP 流程資料提供了有效的模型。廣義迴歸平台也將為常態反應分佈和非刪失資料產生最小平方法模型，使其可用於比較，並在最適合當前情況時使用。
有關廣義回歸的更多信息，請參閱 Clay Barker 的開發人員教程《 使用廣義回歸分析觀測數據》和《使用廣義回歸分析設計實驗》 。
[1] Russell B. Millar，最大似然估計與推論（Wiley，2011）
