En la fabricación de semiconductores, los defectos pueden dar lugar a desechos y costos irrecuperables. Cuando no se detectan, pueden afectar negativamente la funcionalidad del dispositivo y provocar fallas para el usuario final. Los defectos pueden generar grandes pérdidas financieras y dañar la reputación. Es valioso hacer que los modelos estadísticos utilizados para minimizar los defectos sean lo más precisos posible. La regresión de mínimos cuadrados estándar suele ser el método de referencia para construir los modelos estadísticos de los procesos de semiconductores que se utilizan para resolver problemas de defectos. Pero, ¿debería serlo? Las medidas de calidad como los recuentos de defectos, que se utilizan como variables de respuesta, a menudo violan los supuestos que deben cumplirse para que los modelos de regresión de mínimos cuadrados estándar tengan éxito. ¿Qué se debería utilizar en su lugar?
El recuento de defectos en un chip o en obleas es un requisito de calidad estándar en la fabricación de semiconductores. Por ejemplo, el recuento de anomalías como corrosión y rayones en un proceso de planarización químico-mecánica (CMP) es bastante común.
Una métrica de calidad de recuento de defectos difiere de una métrica de calidad continua, como el espesor de película, utilizada para un proceso de deposición química en fase de vapor (CVD), tanto física como prácticamente. Los defectos se cuentan y se informan como valores enteros de cero en adelante. Para muchos tipos de defectos, esperamos que la mayoría de las observaciones sean cero o cercanas a cero, como el gráfico de distribución sesgado hacia la derecha que se muestra a la izquierda a continuación. Los diferentes niveles de recuento de defectos también pueden asociarse con diferentes mecanismos de falla. Por el contrario, esperamos que las mediciones continuas sean razonablemente simétricas en ambos lados de un objetivo, como el del gráfico de distribución normal que se muestra a la derecha. La forma y la escala de una métrica continua suelen ser el resultado de un solo fenómeno físico. Para una variable de proceso del tipo “el centro es lo mejor”, la distribución de la derecha sería indicativa de un proceso estable y que se ejecuta según lo previsto.
|
|
Para ser eficaz, un modelo estadístico de una respuesta de recuento de defectos debe ser capaz de describir o predecir escenarios de proceso que pueden generar desde cero hasta muchos defectos contados. Un modelo estadístico con una respuesta continua debe ser capaz de describir o predecir escenarios de proceso que conducen a variaciones en torno a un objetivo de proceso. Dadas las diferencias en los aspectos físicos y prácticos de estas métricas de calidad de proceso y sus expectativas de modelo, ¿no deberían ser diferentes los métodos utilizados para generar los modelos? Resulta que el uso de un enfoque de regresión de mínimos cuadrados estándar puede conducir a imprecisiones en las respuestas de recuento de defectos.
|
|
|
Diagrama de proceso CMP
|
Defectos de rayado de CMP
|
|
Fuente: Formación de rayones y su mecanismo en la planarización químico-mecánica (CMP), Fricción, Kwon et. al., 2013.
|
Consideremos un escenario en el que un ingeniero de procesos tiene la tarea de reducir la cantidad de defectos por rayado que surgen de una herramienta CMP. Para comenzar, recopila datos de proceso de observación de un mes con la intención de generar un modelo estadístico que ayude a comprender qué variables del proceso pueden estar generando defectos por rayado. Basándose en su experiencia, incluyen datos sobre el tipo de lechada, el tipo de almohadilla de pulido, el caudal de lechada y el factor de tiempo de pulido.
Nuestro ingeniero de procesos utiliza la personalidad de mínimos cuadrados estándar del modelo de ajuste en JMP para un primer intento de crear un modelo. Luego, utilizando el generador de perfiles de predicción, se determina una combinación de configuraciones de factores que minimizan los defectos, solo para descubrir que el resultado del modelo es un recuento de defectos promedio negativo.
Si bien los mínimos cuadrados estándar son matemáticamente posibles para el ejemplo de CMP, una estimación negativa del defecto claramente no es realista. Podemos hacernos una idea de por qué existe un problema con el método observando los gráficos de valores reales por valores predichos y de valores residuales por valores predichos.
En ambos gráficos, existe un patrón para recuentos de defectos más bajos. El patrón muestra que el modelo no funciona bien para recuentos de defectos más bajos. Esperamos ver una dispersión aleatoria en ambos lados de la diagonal en el gráfico de lo real por lo previsto y una dispersión aleatoria de residuos alrededor de cero en el gráfico de residuos por lo previsto, como lo haríamos para recuentos de defectos más altos. Esto probablemente se deba al hecho de que la mayoría de nuestras observaciones son cero o casi cero. La precisión del modelo para predecir cero defectos es importante para la optimización. La precisión del modelo en recuentos de defectos bajos es importante para nuestro ingeniero de procesos, ya que incluso uno o dos defectos pueden matar una matriz. Tampoco hay nada en el modelo que limite las estimaciones de recuento de defectos a cero o más. La regresión de mínimos cuadrados estándar se basa en la regresión a la media y, dadas las distribuciones, como los recuentos de defectos, la media a menudo no es una buena medida del valor central.
La regresión de mínimos cuadrados estándar simplemente no es el mejor enfoque para modelar el proceso CMP con respecto a estos defectos. Entonces, ¿cuál es? ¿Existe algún tipo de análisis de regresión que pueda ayudar a lidiar con distribuciones de defectos no normales y sesgadas? La respuesta es definitivamente sí.
Para el escenario CMP, nuestro ingeniero de procesos aprende sobre las opciones de distribución disponibles en la personalidad del Modelo de ajuste de regresión generalizada en JMP Pro. La regresión generalizada es una herramienta de modelado lineal multipropósito. No solo hay una variedad de opciones de distribución, sino también técnicas de selección de variables y opciones para tratar con datos censurados, lo que la hace útil en muchas situaciones de modelado donde los mínimos cuadrados estándar pueden resultar insuficientes. Nuestro ingeniero de procesos aprende que las distribuciones de Poisson y binomial negativa suelen ser efectivas para modelar datos de tipo recuento de defectos. También aprenden que las versiones infladas a cero de estas distribuciones, por ejemplo, ZI Poisson, pueden funcionar mejor en circunstancias donde hay muchas observaciones de cero defectos.
Para obtener una línea base de referencia, nuestro ingeniero de procesos comienza con una distribución normal y luego intenta ajustes con distribuciones de Poisson, Poisson ZI, binomial negativa y binomial negativa ZI utilizando un método de estimación de lazo.
A juzgar por el Criterio de Información de Akaike ajustado para un tamaño de muestra pequeño (AICc), todos los modelos, excepto el modelo de mínimos cuadrados estándar de respuesta normal, tienen un rendimiento similar. La estadística AICc se utiliza a menudo para comparar la calidad relativa de los modelos que se ajustan utilizando diferentes métodos. Como regla general, si la diferencia en AICc entre dos modelos es 2 o más, se puede decir que el modelo con el AICc más pequeño es claramente preferido [1] . El método de estimación de lazo ha reducido el número de parámetros del modelo en comparación con los mínimos cuadrados estándar. Dadas estadísticas AICc similares, el modelo con menos parámetros suele considerarse mejor. Aún más importante para la selección del modelo es comprender qué modelo coincide con las características del proceso que genera los datos o algún precedente histórico. Nuestro ingeniero de procesos sabe que los defectos de rayado no ocurren a menudo para la herramienta CMP en estudio, por lo que se espera una inflación cero. Nuestro ingeniero de procesos ahora puede seleccionar con confianza el modelo de lazo de Poisson ZI en función de AICc, el número de parámetros y la comprensión del proceso.
Los resultados del nuevo modelo ZI Poisson con contracción parecen mucho más realistas. El modelo no estima defectos promedio negativos.
También hay menos patrones en los gráficos de valores reales por valores predichos y de valores residuales por valores predichos para los recuentos de defectos más bajos. Los puntos están más equilibrados a ambos lados de la diagonal en el gráfico de valores reales por valores predichos y más equilibrados por encima y por debajo del cero en el gráfico de valores residuales.
Con un modelo razonable en la mano, nuestro ingeniero de procesos está un paso más cerca de resolver su problema de defectos en el proceso CMP.
En resumen, la regresión de mínimos cuadrados estándar tiene limitaciones. Aplicar el método de manera amplia a cada situación de análisis puede generar imprecisiones, como fue el caso con el ejemplo de CMP. Un mejor enfoque es utilizar herramientas de modelado flexibles que se puedan adaptar a las características de los datos, como la plataforma de regresión generalizada de JMP Pro, que generó un modelo eficaz para los datos del proceso de CMP. La plataforma de regresión generalizada también generará un modelo de mínimos cuadrados para una distribución de respuesta normal y datos no censurados, lo que lo pondrá a disposición para realizar comparaciones y utilizarlo si es lo mejor para la situación en cuestión.
Para obtener más información sobre la regresión generalizada, consulte los tutoriales para desarrolladores de Clay Barker, Uso de regresión generalizada para analizar datos de observación y Uso de regresión generalizada para analizar experimentos diseñados .
[1] Russell B. Millar, Estimación e inferencia de máxima verosimilitud (Wiley, 2011)
