在半导体制造中，缺陷会导致废品和沉没成本。如果未检测到，它们会对设备功能产生不利影响并导致最终用户故障。缺陷可能导致巨大的经济损失和声誉受损。使用于减少缺陷的统计模型尽可能准确是有价值的。标准最小二乘回归通常是用于构建用于解决缺陷问题的半导体工艺统计模型的首选方法。但它应该是吗？用作响应变量的质量指标（如缺陷计数）通常违反了标准最小二乘回归模型成功所必须满足的假设。应该用什么来代替？
计算芯片或晶圆上的缺陷数量是半导体制造中的一项标准质量要求。例如，计算化学机械平面化工艺 (CMP) 中的腐蚀和划痕等异常情况非常常见。
缺陷计数质量指标与用于化学气相沉积工艺 (CVD) 的连续质量指标（如薄膜厚度）在物理和实践上均有不同。缺陷计数和报告为从零开始的整数值。对于许多类型的缺陷，我们预计大多数观测值为零或接近零，如下图左侧的倾斜右侧分布图所示。不同的缺陷计数水平也可能与不同的故障机制相关。相反，我们预计连续测量值在目标两侧合理对称，如右侧的正态分布图所示。连续指标的形状和尺度通常仅由一种物理现象决定。对于“中心为最佳”类型的过程变量，右侧的分布将表明过程稳定且按目标运行。
为了有效，缺陷计数响应的统计模型必须能够描述或预测可能产生零到多个计数缺陷的工艺场景。具有连续响应的统计模型必须能够描述或预测导致工艺目标变化的工艺场景。鉴于这些工艺质量指标的物理和实际方面及其模型期望的差异，用于生成模型的方法不应该有所不同吗？事实证明，使用标准最小二乘回归方法可能会导致缺陷计数响应不准确。
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CMP 工艺流程图
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CMP 划痕缺陷
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来源：化学机械平坦化 (CMP) 中的划痕形成及其机理，Friction，Kwon 等人，2013 年。
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设想这样一个场景：工艺工程师的任务是减少 CMP 工具产生的划痕缺陷数量。首先，他们收集一个月的观察工艺数据，目的是生成一个统计模型，帮助了解哪些工艺变量可能导致划痕缺陷。根据经验，这些数据包括浆料类型、抛光垫类型、浆料流速和抛光时间因素数据。
我们的工艺工程师使用 JMP 中的“拟合模型标准最小二乘”功能首次尝试建立模型。然后使用预测刻画器确定了最小化缺陷的因子设置组合，结果却发现模型结果为负的平均缺陷数。
尽管标准最小二乘法在数学上对于 CMP 示例是可行的，但负缺陷估计显然是不现实的。我们可以通过查看实际值与预测值以及残差与预测值的关系图来了解该方法存在问题的原因。
在这两个图中，缺陷数较少时都存在一种模式。该模式表明，该模型在缺陷数较少时表现不佳。我们预计在实际预测图中对角线两侧会出现随机散点，在残差预测图中残差会随机散点在零附近——就像我们在缺陷数较高时一样。这可能是因为我们的大多数观测值为零或接近于零。预测零缺陷的模型精度对于优化非常重要。低缺陷数下的模型精度对我们的工艺工程师来说很重要，因为即使一两个缺陷也可能导致芯片报废。模型中也没有任何内容将缺陷数估计值限制为零或更大。标准最小二乘回归建立在回归均值的基础上，给定缺陷数等分布，均值通常不是衡量中心值的良好指标。
标准最小二乘回归根本不是针对这些缺陷对 CMP 工艺进行建模的最佳方法。那么，什么是最佳方法呢？是否有一种回归分析可以帮助处理非正态和倾斜的缺陷分布？答案肯定是肯定的。
对于 CMP 场景，我们的工艺工程师了解了 JMP Pro 中广义回归拟合模型特性中可用的分布选项。广义回归是一种多用途线性建模工具。它不仅有各种分布选项，还有用于处理删失数据的变量选择技术和选项，这使得它在标准最小二乘法可能不足的许多建模情况下非常有用。我们的工艺工程师了解到泊松分布和负二项分布通常可以有效地对缺陷计数类型的数据进行建模。他们还了解到，这些分布的零膨胀版本（例如 ZI Poisson）在存在许多零缺陷观测值的情况下可能会更好地发挥作用。
为了获得参考基线，我们的流程工程师从正态分布开始，然后尝试使用套索估计方法拟合泊松、ZI 泊松、负二项和 ZI 负二项分布。
根据针对小样本量 (AICc) 调整的赤池信息准则判断，除正态响应标准最小二乘模型外，所有模型的表现都相似。AICc 统计量通常用于比较使用不同方法拟合的模型的相对质量。一般经验法则是，如果两个模型之间的 AICc 差异为 2 或更多，则可以说，具有较小 AICc 的模型是首选[1] 。与标准最小二乘相比，套索估计法减少了模型参数的数量。给定类似的 AICc 统计数据，通常认为参数最少的模型更好。对于模型选择，更重要的是了解哪种模型与生成数据的工艺特征或某些历史先例相匹配。我们的工艺工程师知道，对于所研究的 CMP 工具来说，划痕缺陷并不常见，因此预计会出现零膨胀。我们的工艺工程师现在能够根据 AICc、参数数量和工艺理解自信地选择 ZI Poisson 套索模型。
新的 ZI Poisson 模型的结果看起来更加真实。该模型不估计负平均缺陷。
对于缺陷数量较少的情况，实际与预测值和残差与预测值的图的模式也较少。实际与预测值的图中对角线两侧的点更加均衡，残差图中零点以上和以下的点更加均衡。
有了合理的模型，我们的工艺工程师就离解决CMP工艺缺陷问题更近了一步。
总之，标准最小二乘回归有局限性。将该方法广泛地应用于每种分析情况可能会导致不准确，就像 CMP 示例一样。更好的方法是使用灵活的建模工具，这些工具可以适应数据的特征，例如 JMP Pro 中的广义回归平台，它为 CMP 过程数据提供了一个有效的模型。广义回归平台还将为正态响应分布和非删失数据生成最小二乘模型，使其可用于比较，并在最适合当前情况时使用。
有关广义回归的更多信息，请参阅 Clay Barker 的开发人员教程《 使用广义回归分析观测数据》和《使用广义回归分析设计实验》 。
[1] Russell B. Millar，最大似然估计与推断（Wiley，2011）
