반도체 제조에서 결함은 폐기물과 매몰 비용을 초래할 수 있습니다. 결함을 감지하지 못하면 장치 기능에 부정적인 영향을 미치고 최종 사용자 실패를 일으킬 수 있습니다. 결함은 큰 재정적 손실과 평판 손상으로 이어질 수 있습니다. 결함을 최소화하는 데 사용되는 통계적 모델을 최대한 정확하게 만드는 데는 가치가 있습니다. 표준 최소 제곱 회귀는 결함 문제를 해결하는 데 사용되는 반도체 공정의 통계적 모델을 구축하는 데 종종 사용되는 방법입니다. 하지만 그래야 할까요? 응답 변수로 사용되는 결함 수와 같은 품질 측정은 표준 최소 제곱 회귀 모델이 성공하려면 충족해야 하는 가정을 위반하는 경우가 많습니다. 대신 무엇을 사용해야 할까요?
다이(칩) 또는 웨이퍼의 결함을 세는 것은 반도체 제조에서 표준 품질 요구 사항입니다. 예를 들어, 화학 기계적 평탄화 공정(CMP)에서 부식 및 스크래치와 같은 이상을 세는 것은 매우 일반적입니다.
결함 수 품질 지표는 화학 기상 증착(CVD) 공정에 사용되는 필름 두께와 같은 연속 품질 지표와 물리적, 실제적으로 다릅니다. 결함은 0부터 정수 값으로 계산되고 보고됩니다. 많은 유형의 결함의 경우 대부분 관찰값이 아래 왼쪽의 오른쪽으로 기울어진 분포 그래프와 같이 0이거나 거의 0일 것으로 예상합니다. 결함 수 수준이 다르면 실패 메커니즘도 다를 수 있습니다. 반대로 연속 측정값은 오른쪽의 정규 분포 그래프와 같이 대상의 양쪽에서 상당히 대칭적일 것으로 예상합니다. 연속 지표의 모양과 규모는 일반적으로 단 하나의 물리적 현상의 결과입니다. "중앙이 가장 좋음" 유형의 프로세스 변수의 경우 오른쪽의 분포는 안정적이고 대상에서 실행되는 프로세스를 나타냅니다.
효과적이려면 결함 수 응답의 통계적 모델은 0개에서 여러 개의 계산된 결함을 생성할 수 있는 프로세스 시나리오를 설명하거나 예측할 수 있어야 합니다. 연속 응답이 있는 통계적 모델은 프로세스 대상을 중심으로 변동을 초래하는 프로세스 시나리오를 설명하거나 예측할 수 있어야 합니다. 이러한 프로세스 품질 지표의 물리적 및 실제적 측면과 모델 기대치의 차이를 감안할 때 모델을 생성하는 데 사용되는 방법도 달라야 하지 않을까요? 표준 최소 제곱 회귀 접근 방식을 사용하면 결함 수 응답에 부정확성이 발생할 수 있습니다.
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CMP 공정도
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CMP 스크래치 결함
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출처: 화학적 기계적 평탄화(CMP)에서 스크래치 형성 및 그 메커니즘, 마찰, 권 등, 2013.
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프로세스 엔지니어가 CMP 도구에서 발생하는 스크래치 결함 수를 줄이는 작업을 맡은 시나리오를 생각해 보세요. 우선, 그들은 스크래치 결함으로 이어질 수 있는 프로세스 변수를 이해하는 데 도움이 되는 통계적 모델을 생성하려는 의도로 한 달치의 관찰 프로세스 데이터를 수집합니다. 경험을 바탕으로 슬러리 유형, 연마 패드 유형, 슬러리 유량 및 연마 시간 계수 데이터를 포함합니다.
저희 프로세스 엔지니어는 JMP에서 Fit Model Standard Least Squares 개성을 사용하여 모델을 처음 시도합니다. 그런 다음 예측 프로파일러를 사용하여 결함을 최소화하는 요인 설정의 조합을 결정하지만 모델 결과가 음의 평균 결함 수임을 발견합니다.
표준 최소 제곱법이 CMP 예제에서 수학적으로 가능하더라도, 음의 결함 추정치는 분명히 현실적이지 않습니다. 실제 대 예측 플롯과 잔차 대 예측 플롯을 살펴보면 이 방법에 문제가 있는 이유를 알 수 있습니다.
두 플롯 모두 결함 수가 적을 때 패턴이 존재합니다. 이 패턴은 모델이 결함 수가 적을 때 성능이 좋지 않음을 보여줍니다. 실제 대 예측 플롯에서 대각선 양쪽에 무작위 분산이 있고, 잔차 대 예측 플롯에서 잔차의 무작위 분산이 0에 가까울 것으로 예상합니다. 결함 수가 많을 때와 마찬가지입니다. 이는 대부분 관찰 결과가 0이거나 거의 0이기 때문일 가능성이 큽니다. 결함이 0인 모델 정확도는 최적화에 중요합니다. 결함 수가 적을 때 모델 정확도는 공정 엔지니어에게 중요한데, 결함이 하나나 둘만 있어도 다이를 죽일 수 있기 때문입니다. 또한 모델에는 결함 수 추정치를 0 이상으로 제한하는 내용이 없습니다. 표준 최소 제곱 회귀는 평균으로의 회귀에 기반하며 결함 수와 같은 분포가 주어지면 평균은 종종 중심 값을 측정하는 데 적합하지 않습니다.
표준 최소 제곱 회귀는 이러한 결함과 관련하여 CMP 공정을 모델링하는 데 가장 좋은 접근 방식이 아닙니다. 그렇다면 무엇이 가장 좋은 접근 방식일까요? 비정상적이고 왜곡된 결함 분포를 처리하는 데 도움이 되는 회귀 분석 유형이 있을까요? 답은 확실히 '예'입니다.
CMP 시나리오의 경우, 프로세스 엔지니어는 JMP Pro의 Generalized Regression Fit Model personality에서 사용 가능한 분포 옵션에 대해 알아봅니다. Generalized regression은 다목적 선형 모델링 도구입니다. 다양한 분포 옵션뿐만 아니라 검열된 데이터를 처리하기 위한 변수 선택 기술과 옵션도 있어 표준 최소 제곱이 부족할 수 있는 많은 모델링 상황에서 유용합니다. 프로세스 엔지니어는 포아송 분포와 음이항 분포가 결함 수 유형 데이터를 모델링하는 데 종종 효과적이라는 것을 알아봅니다. 또한 이러한 분포의 0 인플레이션 버전(예: ZI 포아송)이 결함이 없는 관찰이 많은 상황에서 더 잘 작동할 수 있다는 것도 알아봅니다.
기준선을 얻기 위해 프로세스 엔지니어는 정규 분포에서 시작한 다음, 라소 추정법을 사용하여 포아송 분포, ZI 포아송 분포, 음이항 분포 및 ZI 음이항 분포에 대한 적합을 시도합니다.
작은 표본 크기에 맞게 조정된 아카이케 정보 기준(AICc)에 따르면, 정규 반응 표준 최소 제곱 모델을 제외한 모든 모델이 비슷한 성능을 보이고 있습니다. AICc 통계는 종종 다양한 방법을 사용하여 적합한 모델의 상대적 품질을 비교하는 데 사용됩니다. 일반적으로 두 모델 간의 AICc 차이가 2 이상인 경우 AICc가 작은 모델이 강력히 선호된다고 할 수 있습니다 [1] . 라소 추정 방법은 표준 최소 제곱법에 비해 모델 매개변수 수를 줄였습니다. 유사한 AICc 통계가 주어지면 매개변수가 가장 적은 모델이 종종 더 나은 것으로 판단됩니다. 모델 선택에 더 중요한 것은 데이터를 생성하는 프로세스의 특성이나 일부 과거 선례와 일치하는 모델을 이해하는 것입니다. 당사 프로세스 엔지니어는 연구 중인 CMP 도구의 경우 스크래치 결함이 자주 발생하지 않는다는 것을 알고 있으므로 인플레이션은 0으로 예상됩니다. 이제 당사의 공정 엔지니어는 AICc, 매개변수 수, 공정 이해도를 바탕으로 ZI 포아송 라소 모델을 자신 있게 선택할 수 있습니다.
수축이 있는 새로운 ZI 포아송 모델의 결과는 훨씬 더 현실적으로 보입니다. 이 모델은 음의 평균 결함을 추정하지 않습니다.
실제 대 예측 플롯과 잔여 대 예측 플롯에서 결함 수가 적을 때 패턴이 덜합니다. 실제 대 예측 플롯에서 대각선 양쪽에 점이 더 고르게 균형을 이루고 잔여 플롯에서 더 고르게 균형을 이루고 0이 됩니다.
합리적인 모델을 바탕으로 당사의 공정 엔지니어는 CMP 공정 결함 문제를 해결하는 데 한 걸음 더 다가갔습니다.
요약하자면, 표준 최소 제곱 회귀에는 한계가 있습니다. 이 방법을 모든 분석 상황에 광범위하게 적용하면 CMP 사례에서처럼 부정확할 수 있습니다. 더 나은 접근 방식은 JMP Pro의 일반화 회귀 플랫폼과 같이 CMP 프로세스 데이터에 대한 효과적인 모델을 표면화한 데이터의 특성에 맞게 조정할 수 있는 유연한 모델링 도구를 사용하는 것입니다. 일반화 회귀 플랫폼은 또한 정규 응답 분포와 검열되지 않은 데이터에 대한 최소 제곱 모델을 생성하여 비교에 사용할 수 있게 하고 해당 상황에 가장 적합한 경우 사용할 수 있도록 합니다.
일반화 회귀에 대한 자세한 내용은 Clay Barker의 개발자 튜토리얼 ' 일반화 회귀를 사용하여 관찰 데이터 분석' 및 '일반화 회귀를 사용하여 설계된 실험 분석'을 참조하세요.
[1] Russell B. Millar, 최대 우도 추정 및 추론(Maximum Likelihood Estimation and Inference) (Wiley, 2011)
