半導体製造では、欠陥があると廃棄や埋没費用が発生する可能性があります。欠陥が検出されないと、デバイスの機能に悪影響を及ぼし、エンド ユーザーの障害を引き起こす可能性があります。欠陥は、多額の金銭的損失や評判の低下につながる可能性があります。欠陥を最小限に抑えるために使用される統計モデルを可能な限り正確にすることは価値があります。標準最小二乗回帰は、欠陥の問題を解決するために使用される半導体プロセスの統計モデルを構築するための主な方法です。しかし、それはそれでよいのでしょうか。応答変数として使用される欠陥数などの品質指標は、標準最小二乗回帰モデルが成功するために満たさなければならない仮定に違反することがよくあります。代わりに何を使用すればよいでしょうか。
ダイ（チップ）またはウェーハ上の欠陥を数えることは、半導体製造における標準的な品質要件です。たとえば、化学機械平坦化プロセス（CMP）における腐食や傷などの異常を数えることは、非常に一般的です。
欠陥数の品質メトリクスは、化学蒸着プロセス (CVD) で使用されるフィルムの厚さなどの連続的な品質メトリクスとは物理的にも実際的にも異なります。欠陥は 0 以上の整数値としてカウントされ、報告されます。多くの種類の欠陥では、以下の左側の歪んだ右側分布グラフのように、ほとんどの観測値が 0 または 0 に近いことが予想されます。異なる欠陥数レベルは、異なる故障メカニズムと関連している場合もあります。逆に、連続的な測定値は、右側の正規分布グラフのように、ターゲットの両側で適度に対称であることが予想されます。連続的なメトリクスの形状とスケールは、通常、1 つの物理現象のみの結果です。「中心が最適」タイプのプロセス変数の場合、右側の分布は、プロセスが安定しており、ターゲットどおりに実行されていることを示します。
欠陥数応答の統計モデルが効果的であるためには、ゼロから多数の欠陥をカウントする可能性のあるプロセス シナリオを記述または予測できなければなりません。連続応答の統計モデルは、プロセス ターゲットの周囲に変動をもたらすプロセス シナリオを記述または予測できなければなりません。これらのプロセス品質メトリックの物理的および実際的な側面とモデルの期待値の違いを考えると、モデルを生成するために使用される方法は異なるべきではないでしょうか。標準的な最小二乗回帰アプローチを使用すると、欠陥数応答が不正確になる可能性があることが判明しました。
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CMPプロセス図
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CMPスクラッチ欠陥
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出典: 化学機械平坦化 (CMP) におけるスクラッチ形成とそのメカニズム、Friction、Kwon 他、2013 年。
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プロセス エンジニアが CMP ツールから発生するスクラッチ欠陥の数を減らすという任務を負っているシナリオを考えてみましょう。まず、スクラッチ欠陥の原因となるプロセス変数を理解するのに役立つ統計モデルを生成する目的で、1 か月分の観察プロセス データを収集します。経験から、スラリーの種類、研磨パッドの種類、スラリーの流量、研磨時間係数のデータが含まれます。
当社のプロセス エンジニアは、モデルの最初の試みとして、JMP の「モデルの適合」標準最小二乗法を使用しました。次に、予測プロファイラーを使用して、欠陥を最小化する要因設定の組み合わせを決定しましたが、モデルの結果は平均欠陥数がマイナスであることがわかりました。
CMP の例では、標準最小二乗法が数学的には可能ですが、負の欠陥推定は明らかに現実的ではありません。予測値による実測値と予測値による残差のプロットを見ると、この方法に問題がある理由がわかります。
どちらのプロットでも、欠陥数が少ない場合にパターンが存在します。このパターンは、欠陥数が少ない場合、モデルのパフォーマンスが良くないことを示しています。欠陥数が多い場合と同様に、実測値と予測値のプロットの対角線の両側にランダムな散布が見られ、残差と予測値のプロットでは残差がゼロ付近にランダムに散布されると予想されます。これは、ほとんどの観測値がゼロまたはゼロに近いためと考えられます。欠陥ゼロを予測するモデル精度は、最適化にとって重要です。欠陥数が 1 つまたは 2 つでもダイが故障する可能性があるため、欠陥数が少ない場合のモデル精度はプロセス エンジニアにとって重要です。また、モデルには欠陥数の推定値をゼロ以上に制限するものはありません。標準の最小二乗回帰は平均への回帰に基づいており、欠陥数などの分布を考えると、平均は中心値の適切な尺度ではないことがよくあります。
標準的な最小二乗回帰は、これらの欠陥に関して CMP プロセスをモデル化するのに最適なアプローチではありません。では、何が最適なのでしょうか。非正規分布や偏った欠陥分布に対処するのに役立つ回帰分析のタイプはあるのでしょうか。答えは間違いなく「はい」です。
CMP シナリオでは、プロセス エンジニアは、JMP Pro の一般化回帰適合モデル パーソナリティで使用できる分布オプションについて学習します。一般化回帰は、多目的の線形モデリング ツールです。分布オプションが多様であるだけでなく、変数選択手法や打ち切りデータを処理するオプションもあるため、標準の最小二乗法が不十分な多くのモデリング状況で役立ちます。プロセス エンジニアは、ポアソン分布と負の二項分布が、欠陥数タイプのデータをモデリングするのに効果的であることが多いことを学びます。また、これらの分布のゼロ膨張バージョン (例: ZI ポアソン) は、欠陥ゼロの観測が多数ある状況ではより効果的であることも学びます。
参照用のベースラインを取得するために、当社のプロセス エンジニアは正規分布から始めて、次に Lasso 推定法を使用してポアソン分布、ZI ポアソン分布、負の二項分布、ZI 負の二項分布との適合を試みます。
小サンプルサイズ調整済み赤池情報量基準 (AICc) で判断すると、正規応答標準最小二乗モデルを除くすべてのモデルのパフォーマンスは同様です。AICc 統計は、異なる方法を使用して適合されたモデルの相対的な品質を比較するためによく使用されます。一般的な経験則として、2 つのモデル間の AICc の差が 2 以上の場合、より小さい AICc を持つモデルが強く推奨されると言えます[1] 。Lasso 推定法では、標準最小二乗法と比較してモデル パラメータの数が削減されています。同様の AICc 統計を考えると、パラメータが最も少ないモデルの方が優れていると判断されることがよくあります。モデル選択でさらに重要なのは、どのモデルがデータを生成するプロセスの特性または何らかの過去の前例と一致するかを理解することです。当社のプロセス エンジニアは、調査対象の CMP ツールではスクラッチ欠陥が頻繁に発生しないことを知っており、ゼロ インフレが期待されます。当社のプロセス エンジニアは、AICc、パラメータの数、およびプロセス理解に基づいて、自信を持って ZI ポアソン Lasso モデルを選択できるようになりました。
収縮を考慮した新しい ZI ポアソン モデルの結果は、はるかに現実的に見えます。このモデルは、負の平均欠陥を推定しません。
また、欠陥数が少ない場合、実測値と予測値、残差値と予測値のプロットのパターンも小さくなります。実測値と予測値のプロットでは、対角線の両側の点がより均等にバランスが取れており、残差プロットでは、ゼロの上と下がより均等になっています。
適切なモデルが手に入ったことで、当社のプロセス エンジニアは CMP プロセスの欠陥問題の解決に一歩近づきました。
まとめると、標準最小二乗回帰には限界があります。この方法をあらゆる分析状況に広く適用すると、CMP の例の場合のように、不正確になる可能性があります。より良いアプローチは、CMP プロセス データに効果的なモデルを浮かび上がらせた JMP Pro の一般化回帰プラットフォームのように、データの特性に適応できる柔軟なモデリング ツールを使用することです。一般化回帰プラットフォームは、正規応答分布と非検閲データの最小二乗モデルも生成するため、比較に使用でき、手元の状況に最適な場合に使用できます。
一般化回帰の詳細については、Clay Barker の開発者向けチュートリアル「 一般化回帰を使用した観測データの分析」および「一般化回帰を使用した計画実験の分析」を参照してください。
[1]ラッセル・B・ミラー『最大尤度推定と推論』 （ワイリー、2011年）
