Nella produzione di semiconduttori, i difetti possono causare scarti e costi irrecuperabili. Se non vengono rilevati, possono avere un impatto negativo sulla funzionalità del dispositivo e causare guasti all'utente finale. I difetti possono causare grandi perdite finanziarie e danni alla reputazione. È utile rendere i modelli statistici utilizzati per ridurre al minimo i difetti il più accurati possibile. La regressione dei minimi quadrati standard è spesso il metodo di riferimento per costruire i modelli statistici dei processi dei semiconduttori utilizzati per risolvere i problemi di difetti. Ma dovrebbe esserlo? Le misure di qualità come i conteggi dei difetti, che vengono utilizzati come variabili di risposta, spesso violano le ipotesi che devono essere soddisfatte affinché i modelli di regressione dei minimi quadrati standard abbiano successo. Cosa dovrebbe essere utilizzato al loro posto?
Il conteggio dei difetti su un die (chip) o wafer è un requisito di qualità standard nella produzione di semiconduttori. Ad esempio, il conteggio di anomalie come corrosione e graffi in un processo di planarizzazione chimico-meccanica (CMP) è piuttosto comune.
Una metrica di qualità del conteggio dei difetti differisce da una metrica di qualità continua, come lo spessore del film, utilizzata per un processo di deposizione chimica da vapore (CVD) sia fisicamente che praticamente. I difetti vengono contati e segnalati come valori interi da zero in su. Per molti tipi di difetti, ci aspettiamo che la maggior parte delle osservazioni sia pari a zero o quasi zero, come il grafico di distribuzione a destra distorto sulla sinistra in basso. Diversi livelli di conteggio dei difetti possono anche essere associati a diversi meccanismi di guasto. Al contrario, ci aspettiamo che le misurazioni continue siano ragionevolmente simmetriche su entrambi i lati di un target, come quello del grafico di distribuzione normale sulla destra. La forma e la scala di una metrica continua sono in genere il risultato di un solo fenomeno fisico. Per un tipo di variabile di processo "il centro è il migliore", la distribuzione sulla destra sarebbe indicativa di un processo stabile e in esecuzione sul target.
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Per essere efficace, un modello statistico di una risposta al conteggio dei difetti deve essere in grado di descrivere o prevedere scenari di processo che possono generare da zero a molti difetti contati. Un modello statistico con una risposta continua deve essere in grado di descrivere o prevedere scenari di processo che portano a variazioni attorno a un target di processo. Date le differenze negli aspetti fisici e pratici di queste metriche di qualità del processo e delle loro aspettative di modello, i metodi utilizzati per generare i modelli non dovrebbero essere diversi? Si scopre che l'utilizzo di un approccio di regressione dei minimi quadrati standard può portare a imprecisioni per le risposte al conteggio dei difetti.
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Diagramma del processo CMP
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Difetti di graffio CMP
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Fonte: Formazione di graffi e relativo meccanismo nella planarizzazione chimico-meccanica (CMP), Friction, Kwon et. al., 2013.
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Consideriamo uno scenario in cui un ingegnere di processo è incaricato di ridurre il numero di difetti di graffio derivanti da uno strumento CMP. Per iniziare, raccolgono un mese di dati di processo osservativi con l'intenzione di generare un modello statistico per aiutare a comprendere quali variabili di processo potrebbero portare a difetti di graffio. Traendo spunto dall'esperienza, includono tipo di slurry, tipo di tampone di lucidatura, portata di slurry e dati del fattore tempo di lucidatura.
Il nostro ingegnere di processo usa la personalità Fit Model Standard Least Squares in JMP per un primo tentativo di modello. Quindi, usando il profiler di previsione, viene determinata una combinazione di impostazioni di fattori che riducono al minimo i difetti, solo per scoprire che il risultato del modello è un conteggio medio negativo dei difetti.
Anche se i minimi quadrati standard sono matematicamente possibili per l'esempio CMP, una stima negativa del difetto non è chiaramente realistica. Possiamo farci un'idea del perché c'è un problema con il metodo osservando i grafici effettivo per previsto e residuo per previsto.
In entrambi i grafici, esiste un modello per conteggi di difetti inferiori. Il modello mostra che il modello non funziona bene per conteggi di difetti inferiori. Ci aspettiamo di vedere una dispersione casuale su entrambi i lati della diagonale nel grafico effettivo per previsto e una dispersione casuale di residui pari a zero nel grafico residuo per previsto, come faremmo per conteggi di difetti superiori. Ciò è probabilmente dovuto al fatto che la maggior parte delle nostre osservazioni è pari a zero o quasi zero. L'accuratezza del modello nel prevedere zero difetti è importante per l'ottimizzazione. L'accuratezza del modello a bassi conteggi di difetti è importante per il nostro ingegnere di processo, poiché anche uno o due difetti possono uccidere uno stampo. Inoltre, non c'è nulla nel modello che limiti le stime del conteggio dei difetti a zero e oltre. La regressione standard dei minimi quadrati è basata sulla regressione alla media e, date distribuzioni come i conteggi dei difetti, la media spesso non è una buona misura del valore centrale.
La regressione standard dei minimi quadrati non è semplicemente il miglior approccio per modellare il processo CMP rispetto a questi difetti. Quindi, cos'è? Esiste un tipo di analisi di regressione che può aiutare a gestire distribuzioni di difetti non normali e distorte? La risposta è sicuramente sì.
Per lo scenario CMP, il nostro ingegnere di processo apprende le opzioni di distribuzione disponibili nella personalità del modello di adattamento della regressione generalizzata in JMP Pro. La regressione generalizzata è uno strumento di modellazione lineare multiuso. Non solo ci sono una varietà di opzioni di distribuzione, ma anche tecniche di selezione delle variabili e opzioni per gestire i dati censurati, rendendolo utile in molte situazioni di modellazione in cui i minimi quadrati standard potrebbero non essere sufficienti. Il nostro ingegnere di processo apprende che le distribuzioni di Poisson e binomiale negativa sono spesso efficaci per modellare i dati di tipo conteggio difetti. Apprendono anche che le versioni con inflazione zero di queste distribuzioni, ad esempio ZI Poisson, potrebbero funzionare meglio in circostanze in cui ci sono molte osservazioni con difetti zero.
Per ottenere una linea di base di riferimento, il nostro ingegnere di processo inizia con una distribuzione normale, quindi tenta di adattare le distribuzioni di Poisson, ZI Poisson, binomiale negativa e ZI binomiale negativa utilizzando un metodo di stima lazo.
A giudicare dal criterio informativo di Akaike aggiustato per piccole dimensioni del campione (AICc), tutti i modelli, eccetto il modello dei minimi quadrati standard a risposta normale, hanno prestazioni simili. La statistica AICc è spesso utilizzata per confrontare la qualità relativa dei modelli che sono adattati utilizzando metodi diversi. Come regola generale, se la differenza in AICc tra due modelli è 2 o più, allora si può dire che il modello con l'AICc più piccolo è fortemente preferito [1] . Il metodo di stima lazo ha ridotto il numero di parametri del modello rispetto ai minimi quadrati standard. Date statistiche AICc simili, il modello con il minor numero di parametri è spesso ritenuto migliore. Ancora più importante per la selezione del modello è comprendere quale modello corrisponde alle caratteristiche del processo che genera i dati o a qualche precedente storico. Il nostro ingegnere di processo sa che i difetti di graffio non si verificano spesso per lo strumento CMP in esame, quindi è prevista un'inflazione pari a zero. Il nostro ingegnere di processo è ora in grado di selezionare con sicurezza il modello lazo ZI Poisson in base ad AICc, numero di parametri e comprensione del processo.
I risultati per il nuovo modello ZI Poisson con restringimento sembrano molto più realistici. Il modello non stima difetti medi negativi.
C'è anche meno di un pattern nei grafici effettivo per previsto e residuo per previsto per conteggi di difetti inferiori. I punti sono bilanciati in modo più uniforme su entrambi i lati della diagonale nel grafico effettivo per previsto e più uniforme sopra e sotto lo zero nel grafico residuo.
Grazie a un modello ragionevole in mano, il nostro ingegnere di processo è un passo più vicino alla risoluzione del problema di difetto del processo CMP.
In sintesi, la regressione standard dei minimi quadrati ha dei limiti. Applicare il metodo in modo ampio a ogni situazione di analisi può portare a imprecisioni, come nel caso dell'esempio CMP. Un approccio migliore è quello di utilizzare strumenti di modellazione flessibili che possono essere adattati alle caratteristiche dei dati come la piattaforma di regressione generalizzata in JMP Pro che ha fatto emergere un modello efficace per i dati del processo CMP. La piattaforma di regressione generalizzata genererà anche un modello dei minimi quadrati per una distribuzione di risposta normale e dati non censurati, rendendolo disponibile per confronti e per essere utilizzato se è il migliore per la situazione in questione.
Per ulteriori informazioni sulla regressione generalizzata, fare riferimento ai tutorial per sviluppatori di Clay Barker, Utilizzo della regressione generalizzata per analizzare i dati di osservazione e Utilizzo della regressione generalizzata per analizzare gli esperimenti progettati .
[1] Russell B. Millar, Stima della massima verosimiglianza e inferenza (Wiley, 2011)
