Bei der Halbleiterherstellung können Defekte zu Ausschuss und verlorenen Kosten führen. Werden sie nicht erkannt, können sie die Gerätefunktionalität beeinträchtigen und zu Ausfällen beim Endbenutzer führen. Defekte können zu großen finanziellen Verlusten und einem beschädigten Ruf führen. Es ist sinnvoll, die statistischen Modelle zur Minimierung von Defekten so genau wie möglich zu gestalten. Die Standard-Kleinstquadrate-Regression ist häufig die bevorzugte Methode zum Erstellen statistischer Modelle von Halbleiterprozessen zur Lösung von Defektproblemen. Aber sollte sie das auch sein? Qualitätsmaße wie Defektzählungen, die als Antwortvariablen verwendet werden, verstoßen häufig gegen Annahmen, die erfüllt sein müssen, damit Standard-Kleinstquadrate-Regressionsmodelle erfolgreich sind. Was sollte stattdessen verwendet werden?
Das Zählen von Defekten auf einem Chip oder Wafer ist eine Standardqualitätsanforderung bei der Halbleiterherstellung. Beispielsweise ist das Zählen von Anomalien wie Korrosion und Kratzern bei einem chemisch-mechanischen Planarisierungsprozess (CMP) recht üblich.
Eine Qualitätsmetrik für die Anzahl der Defekte unterscheidet sich sowohl physikalisch als auch praktisch von einer kontinuierlichen Qualitätsmetrik, wie z. B. der Filmdicke, die für einen chemischen Gasphasenabscheidungsprozess (CVD) verwendet wird. Defekte werden als ganzzahlige Werte von Null aufwärts gezählt und gemeldet. Für viele Arten von Defekten erwarten wir, dass die meisten Beobachtungen Null oder nahe Null sind, wie in der rechtsschiefen Verteilungsgrafik unten links. Unterschiedliche Defektanzahlniveaus können auch mit unterschiedlichen Fehlermechanismen verbunden sein. Umgekehrt erwarten wir, dass kontinuierliche Messungen auf beiden Seiten eines Ziels einigermaßen symmetrisch sind, wie in der Normalverteilungsgrafik rechts. Die Form und der Maßstab einer kontinuierlichen Metrik sind normalerweise das Ergebnis nur eines physikalischen Phänomens. Für eine Prozessvariable vom Typ „Mitte ist am besten“ würde die Verteilung auf der rechten Seite auf einen stabilen und planmäßig laufenden Prozess hinweisen.
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Um effektiv zu sein, muss ein statistisches Modell einer Defektzählantwort Prozessszenarien beschreiben oder vorhersagen können, die null bis viele gezählte Defekte erzeugen können. Ein statistisches Modell mit einer kontinuierlichen Antwort muss Prozessszenarien beschreiben oder vorhersagen können, die zu Abweichungen von einem Prozessziel führen. Angesichts der Unterschiede in den physikalischen und praktischen Aspekten dieser Prozessqualitätsmetriken und ihrer Modellerwartungen sollten die zur Generierung der Modelle verwendeten Methoden nicht unterschiedlich sein? Es stellt sich heraus, dass die Verwendung eines standardmäßigen Regressionsansatzes mit kleinsten Quadraten zu Ungenauigkeiten bei den Defektzählantworten führen kann.
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CMP-Prozessdiagramm
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CMP-Kratzdefekte
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Quelle: Kratzerbildung und ihr Mechanismus bei der chemisch-mechanischen Planarisierung (CMP), Friction, Kwon et. al., 2013.
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Stellen Sie sich ein Szenario vor, in dem ein Prozessingenieur die Aufgabe hat, die Anzahl der Kratzerfehler zu reduzieren, die von einem CMP-Werkzeug verursacht werden. Zunächst sammelt er einen Monat lang Prozessbeobachtungsdaten mit der Absicht, ein statistisches Modell zu erstellen, das dabei hilft, zu verstehen, welche Prozessvariablen zu Kratzerfehlern führen können. Basierend auf Erfahrungswerten bezieht er Daten zum Schlammtyp, Polierpadtyp, Schlammdurchflussrate und Polierzeitfaktor ein.
Unser Prozessingenieur verwendet für einen ersten Modellversuch die Funktion „Modell anpassen – Standard für kleinste Quadrate“ in JMP. Anschließend wird mithilfe des Vorhersageprofilers eine Kombination von Faktoreinstellungen ermittelt, die Defekte minimieren. Das Ergebnis des Modells ist jedoch eine negative durchschnittliche Defektanzahl.
Obwohl die Methode der kleinsten Quadrate für das CMP-Beispiel mathematisch möglich ist, ist eine negative Fehlerschätzung eindeutig nicht realistisch. Wir können uns ein Bild davon machen, warum es ein Problem mit der Methode gibt, indem wir uns die Diagramme „Tatsächliche Werte mal Vorhersage“ und „Residuen mal Vorhersage“ ansehen.
In beiden Diagrammen ist ein Muster für niedrigere Defektzahlen erkennbar. Das Muster zeigt, dass das Modell bei niedrigeren Defektzahlen keine gute Leistung erbringt. Wir erwarten im Diagramm „Istwert mal Vorhersage“ eine zufällige Streuung auf beiden Seiten der Diagonale und im Diagramm „Restwert mal Vorhersage“ eine zufällige Streuung der Residuen um null – wie dies auch bei höheren Defektzahlen der Fall wäre. Dies liegt wahrscheinlich daran, dass die meisten unserer Beobachtungen null oder nahe null sind. Die Modellgenauigkeit bei der Vorhersage von null Defekten ist für die Optimierung wichtig. Die Modellgenauigkeit bei niedrigen Defektzahlen ist für unseren Prozessingenieur wichtig, da schon ein oder zwei Defekte einen Chip zerstören können. Außerdem gibt es im Modell nichts, was die Schätzungen der Defektzahl auf null oder mehr begrenzt. Die Standard-Regression mit kleinsten Quadraten basiert auf der Regression zum Mittelwert und bei gegebenen Verteilungen wie Defektzahlen ist der Mittelwert häufig kein gutes Maß für den Zentralwert.
Die Standard-Regression mit kleinsten Quadraten ist einfach nicht der beste Ansatz, um den CMP-Prozess im Hinblick auf diese Defekte zu modellieren. Was ist also der beste Ansatz? Gibt es eine Art Regressionsanalyse, die bei der Behandlung nicht normaler und verzerrter Defektverteilungen helfen kann? Die Antwort ist ganz klar „Ja“.
Für das CMP-Szenario erfährt unser Prozessingenieur mehr über die Verteilungsoptionen, die in der Persönlichkeit „Generalized Regression Fit Model“ in JMP Pro verfügbar sind. Die verallgemeinerte Regression ist ein Mehrzweck-Linearmodellierungstool. Es gibt nicht nur eine Vielzahl von Verteilungsoptionen, sondern auch Variablenauswahltechniken und Optionen für den Umgang mit zensierten Daten, was es in vielen Modellierungssituationen nützlich macht, in denen Standard-Kleinstquadrate nicht ausreichen. Unser Prozessingenieur erfährt, dass die Poisson- und die negative Binomialverteilung häufig für die Modellierung von Daten vom Typ „Defektzählung“ effektiv sind. Er erfährt auch, dass Null-aufgeblähte Versionen dieser Verteilungen, z. B. ZI Poisson, unter Umständen besser funktionieren können, in denen es viele Null-Defekt-Beobachtungen gibt.
Um eine Basislinie als Referenz zu erhalten, beginnt unser Prozessingenieur mit einer Normalverteilung und versucht dann, mithilfe einer Lasso-Schätzmethode Anpassungen mit Poisson-, ZI-Poisson-, negativen Binomialverteilungen und ZI-negativen Binomialverteilungen vorzunehmen.
Gemessen am für kleine Stichprobengrößen angepassten Akaike-Informationskriterium (AICc) zeigen alle Modelle außer dem Normalantwort-Standard-Kleinstquadrate-Modell eine ähnliche Leistung. Die AICc-Statistik wird häufig verwendet, um die relative Qualität von Modellen zu vergleichen, die mit verschiedenen Methoden angepasst wurden. Als allgemeine Faustregel gilt: Wenn der Unterschied im AICc zwischen zwei Modellen 2 oder mehr beträgt, kann gesagt werden, dass das Modell mit dem kleineren AICc stark vorzuziehen ist [1] . Die Lasso-Schätzmethode hat die Anzahl der Modellparameter im Vergleich zu Standard-Kleinstquadraten reduziert. Bei ähnlichen AICc-Statistiken wird das Modell mit den wenigsten Parametern häufig als besser beurteilt. Noch wichtiger für die Modellauswahl ist ein Verständnis dafür, welches Modell den Merkmalen des Prozesses entspricht, der die Daten generiert, oder welches einem historischen Präzedenzfall entspricht. Unser Prozessingenieur weiß, dass Kratzdefekte bei dem untersuchten CMP-Werkzeug nicht oft auftreten, sodass eine Nullinflation zu erwarten ist. Unser Prozessingenieur kann nun das ZI-Poisson-Lasso-Modell basierend auf AICc, Anzahl der Parameter und Prozessverständnis sicher auswählen.
Die Ergebnisse für das neue ZI-Poisson-Modell mit Schrumpfung sehen viel realistischer aus. Das Modell schätzt keine negativen Durchschnittsdefekte.
Bei niedrigeren Fehlerzahlen ist in den Diagrammen „Istwert mal Vorhersage“ und „Restwert mal Vorhersage“ außerdem weniger ein Muster erkennbar. Im Diagramm „Istwert mal Vorhersage“ sind die Punkte auf beiden Seiten der Diagonale gleichmäßiger verteilt und im Diagramm „Restwert“ oberhalb und unterhalb von Null gleichmäßiger verteilt.
Mit einem sinnvollen Modell in der Hand ist unser Prozessingenieur der Lösung seines CMP-Prozessfehlerproblems einen Schritt näher gekommen.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Standard-Kleinstquadrate-Regression Einschränkungen hat. Die Anwendung der Methode allgemein auf jede Analysesituation kann zu Ungenauigkeiten führen, wie es beim CMP-Beispiel der Fall war. Ein besserer Ansatz ist die Verwendung flexibler Modellierungstools, die an die Eigenschaften der Daten angepasst werden können, wie die verallgemeinerte Regressionsplattform in JMP Pro, die ein effektives Modell für die CMP-Prozessdaten erstellt hat. Die verallgemeinerte Regressionsplattform generiert auch ein Kleinstquadrate-Modell für eine normale Antwortverteilung und nicht zensierte Daten, sodass es für Vergleiche verfügbar ist und verwendet werden kann, wenn es für die jeweilige Situation am besten geeignet ist.
Weitere Informationen zur verallgemeinerten Regression finden Sie in den Entwickler-Tutorials von Clay Barker „Verwenden der verallgemeinerten Regression zur Analyse von Beobachtungsdaten“ und „Verwenden der verallgemeinerten Regression zur Analyse geplanter Experimente“ .
[1] Russell B. Millar, Maximum-Likelihood-Schätzung und Inferenz (Wiley, 2011)
