Dans la fabrication de semi-conducteurs, les défauts peuvent entraîner des rebuts et des coûts irrécupérables. S'ils ne sont pas détectés, ils peuvent avoir un impact négatif sur la fonctionnalité du dispositif et provoquer des pannes chez l'utilisateur final. Les défauts peuvent entraîner d'importantes pertes financières et nuire à la réputation. Il est important de rendre les modèles statistiques utilisés pour minimiser les défauts aussi précis que possible. La régression standard des moindres carrés est souvent la méthode de référence pour créer les modèles statistiques des processus de semi-conducteurs utilisés pour résoudre les problèmes de défauts. Mais devrait-elle l'être ? Les mesures de qualité telles que le nombre de défauts, qui sont utilisées comme variables de réponse, violent souvent les hypothèses qui doivent être respectées pour que les modèles de régression standard des moindres carrés soient efficaces. Que faut-il utiliser à la place ?
Le comptage des défauts sur une puce ou sur des wafers est une exigence de qualité standard dans la fabrication de semi-conducteurs. Par exemple, le comptage d'anomalies telles que la corrosion et les rayures dans un processus de planarisation chimico-mécanique (CMP) est assez courant.
Une mesure de la qualité basée sur le nombre de défauts diffère d'une mesure de la qualité continue, comme l'épaisseur du film, utilisée pour un procédé de dépôt chimique en phase vapeur (CVD) à la fois physiquement et pratiquement. Les défauts sont comptés et rapportés sous forme de valeurs entières de zéro à plus. Pour de nombreux types de défauts, nous nous attendons à ce que la plupart des observations soient nulles ou proches de zéro, comme le graphique de distribution à droite incliné sur la gauche ci-dessous. Différents niveaux de comptage de défauts peuvent également être associés à différents mécanismes de défaillance. Inversement, nous nous attendons à ce que les mesures continues soient raisonnablement symétriques de chaque côté d'une cible, comme celui du graphique de distribution normale sur la droite. La forme et l'échelle d'une mesure continue sont généralement le résultat d'un seul phénomène physique. Pour une variable de processus de type « le centre est le meilleur », la distribution sur la droite indiquerait un processus stable et fonctionnant sur la cible.
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Pour être efficace, un modèle statistique de réponse au comptage des défauts doit être capable de décrire ou de prédire des scénarios de processus susceptibles de générer de zéro à plusieurs défauts comptés. Un modèle statistique avec une réponse continue doit être capable de décrire ou de prédire des scénarios de processus qui conduisent à des variations autour d'une cible de processus. Étant donné les différences dans les aspects physiques et pratiques de ces mesures de qualité de processus et leurs attentes en matière de modèles, les méthodes utilisées pour générer les modèles ne devraient-elles pas être différentes ? Il s'avère que l'utilisation d'une approche de régression standard des moindres carrés peut conduire à des inexactitudes dans les réponses au comptage des défauts.
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Diagramme de processus CMP
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Défauts de rayures CMP
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Source : Formation de rayures et son mécanisme dans la planarisation chimico-mécanique (CMP), Friction, Kwon et al., 2013.
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Imaginez un scénario dans lequel un ingénieur de processus est chargé de réduire le nombre de défauts de rayures provenant d'un outil CMP. Pour commencer, il collecte un mois de données d'observation du processus dans le but de générer un modèle statistique pour aider à comprendre quelles variables du processus peuvent conduire à des défauts de rayures. En s'appuyant sur son expérience, il inclut le type de boue, le type de tampon de polissage, le débit de boue et les données sur le facteur de temps de polissage.
Notre ingénieur de processus utilise la personnalité Fit Model Standard Least Squares dans JMP pour une première tentative de modèle. Ensuite, à l'aide du profileur de prédiction, une combinaison de paramètres de facteurs qui minimisent les défauts est déterminée, pour finalement découvrir que le résultat du modèle est un nombre moyen de défauts négatif.
Même si la méthode des moindres carrés standard est mathématiquement possible pour l'exemple CMP, une estimation négative des défauts n'est clairement pas réaliste. Nous pouvons nous faire une idée de la raison pour laquelle la méthode pose problème en examinant les graphiques réels par rapport aux prévisions et résiduels par rapport aux prévisions.
Dans les deux graphiques, un modèle existe pour les nombres de défauts inférieurs. Le modèle montre que le modèle ne fonctionne pas bien pour les nombres de défauts inférieurs. Nous nous attendons à voir une dispersion aléatoire de chaque côté de la diagonale dans le graphique réel par prévision et une dispersion aléatoire de résidus autour de zéro dans le graphique résidu par prévision, comme nous le ferions pour des nombres de défauts plus élevés. Cela est probablement dû au fait que la plupart de nos observations sont nulles ou proches de zéro. La précision du modèle pour prédire zéro défaut est importante pour l'optimisation. La précision du modèle pour les nombres de défauts faibles est importante pour notre ingénieur de processus, car même un ou deux défauts peuvent tuer une matrice. Il n'y a également rien dans le modèle qui limite les estimations du nombre de défauts à zéro et plus. La régression standard des moindres carrés est construite sur la régression vers la moyenne et étant donné les distributions telles que le nombre de défauts, la moyenne n'est souvent pas une bonne mesure de la valeur centrale.
La régression standard des moindres carrés n'est tout simplement pas la meilleure approche pour modéliser le processus CMP par rapport à ces défauts. Alors, qu'est-ce que c'est ? Existe-t-il un type d'analyse de régression qui peut aider à traiter les distributions de défauts non normales et asymétriques ? La réponse est très certainement oui.
Pour le scénario CMP, notre ingénieur de processus découvre les options de distribution disponibles dans la personnalité du modèle d'ajustement de régression généralisée dans JMP Pro. La régression généralisée est un outil de modélisation linéaire polyvalent. Il existe non seulement une variété d'options de distribution, mais également des techniques de sélection de variables et des options pour traiter les données censurées, ce qui la rend utile dans de nombreuses situations de modélisation où les moindres carrés standard peuvent ne pas être suffisants. Notre ingénieur de processus apprend que les distributions de Poisson et binomiale négative sont souvent efficaces pour modéliser des données de type décompte de défauts. Il apprend également que les versions gonflées à zéro de ces distributions, par exemple, Poisson ZI, peuvent mieux fonctionner dans des circonstances où il existe de nombreuses observations sans défaut.
Pour obtenir une base de référence, notre ingénieur de procédé commence par une distribution normale, puis tente des ajustements avec des distributions de Poisson, de Poisson ZI, binomiale négative et binomiale négative ZI en utilisant une méthode d'estimation de lasso.
À en juger par le critère d'information d'Akaike ajusté pour une petite taille d'échantillon (AICc), tous les modèles, à l'exception du modèle standard des moindres carrés à réponse normale, fonctionnent de manière similaire. La statistique AICc est souvent utilisée pour comparer la qualité relative des modèles ajustés à l'aide de différentes méthodes. En règle générale, si la différence d'AICc entre deux modèles est de 2 ou plus, on peut dire que le modèle avec le plus petit AICc est fortement préféré [1] . La méthode d'estimation du lasso a réduit le nombre de paramètres du modèle par rapport aux moindres carrés standard. Étant donné des statistiques AICc similaires, le modèle avec le moins de paramètres est souvent jugé meilleur. Il est encore plus important pour la sélection du modèle de comprendre quel modèle correspond aux caractéristiques du processus générant les données ou à une certaine préséance historique. Notre ingénieur de procédé sait que les défauts de rayures ne se produisent pas souvent pour l'outil CMP étudié, donc une inflation nulle est attendue. Notre ingénieur de procédé est désormais en mesure de sélectionner en toute confiance le modèle de lasso de Poisson ZI en fonction de l'AICc, du nombre de paramètres et de la compréhension du processus.
Les résultats du nouveau modèle ZI Poisson avec retrait semblent beaucoup plus réalistes. Le modèle n'estime pas les défauts moyens négatifs.
Il y a également moins de tendance dans les tracés réels par rapport aux prévisions et résiduels par rapport aux prévisions pour les nombres de défauts inférieurs. Les points sont plus uniformément équilibrés de chaque côté de la diagonale dans le tracé réel par rapport aux prévisions et plus uniformément au-dessus et au-dessus de zéro dans le tracé résiduel.
Avec un modèle raisonnable en main, notre ingénieur de processus est un peu plus près de résoudre son problème de défaut de processus CMP.
En résumé, la régression des moindres carrés standard présente des limites. L'application de la méthode à toutes les situations d'analyse peut entraîner des inexactitudes, comme ce fut le cas avec l'exemple de CMP. Une meilleure approche consiste à utiliser des outils de modélisation flexibles qui peuvent être adaptés aux caractéristiques des données, comme la plate-forme de régression généralisée de JMP Pro, qui a mis au point un modèle efficace pour les données du processus CMP. La plate-forme de régression généralisée génère également un modèle des moindres carrés pour une distribution de réponse normale et des données non censurées, le rendant disponible pour des comparaisons et pour être utilisé s'il est le mieux adapté à la situation.
Pour plus d'informations sur la régression généralisée, reportez-vous aux didacticiels de développement de Clay Barker, Utilisation de la régression généralisée pour analyser les données d'observation et Utilisation de la régression généralisée pour analyser les expériences conçues .
[1] Russell B. Millar, Estimation et inférence du maximum de vraisemblance (Wiley, 2011)
