在本部落格中，我們將解釋用於分析經濟和社會領域收入和儲蓄差異的「洛倫茲曲線」和「基尼係數」。另外，為了分析MLB（美國職棒大聯盟）各隊的本壘打數的偏差，我們將介紹一個使用JMP使用洛倫茲曲線將其可視化並使用基尼係數對其進行量化的示例。
衡量不平等的指標：基尼係數和洛倫茲曲線
「基尼係數」是量化數據偏差和不平等的眾所周知的指標。 「洛倫茲曲線」就是用來直觀地表達這種不等式的。
基尼係數也被稱為“不平等指數”，用來表示各領域的不平等程度，如收入差距、教育差距等。
下圖是洛倫茲曲線（藍色），直觀地顯示了家庭收入差距。橫軸表示家庭收入的累積份額，縱軸表示累計收入份額。在平等且沒有收入差距的情況下，洛倫茲曲線與45度虛線（稱為「完全平等線」）重疊。另一方面，當收入差距較大，也就是存在不平等時，洛倫茲曲線就會偏離45度線。
洛倫茲曲線與基尼係數的關係
基尼係數是根據洛倫茲曲線和完全平等線之間的面積計算的。它被定義為當右下三角形的面積設定為1時所圍成的面積，並使用以下公式計算。
基尼係數 = 1 - 2×（洛倫茲面下的面積）
在完全平等的情況下，洛倫茲曲線等於完全平等線，而在完全不平等的情況下，洛倫茲曲線變成直角三角形，因此基尼係數可以解釋如下。
- 基尼係數為0 ：完全平等（每個人都有相同的收入和資源）
- 基尼係數為1 ：完全不平等（一個人壟斷一切）
順便說一句，日本的收入基尼係數逐年上升，從1990年的0.433到2003年的0.526，再到2021年的0.570*。這些數字顯示日本的所得不平等正在擴大。
*這裡提供的數字是“初始收入基尼係數”，與“再分配基尼係數”不同，“再分配基尼係數”是基於繳納稅款和社會保險費後的收入。
如一開始所提到的，洛倫茲曲線和基尼係數常用於經濟和社會領域，但它們也可以作為衡量其他領域不平等和偏見的指標。
因此，這次我將介紹一個使用MLB資料使用JMP計算洛倫茲曲線和基尼係數的範例。
使用基尼係數的範例：MLB 中本壘打數量的偏差
在2024年MLB常規賽中，我們分析了參加世界大賽和聯盟冠軍系列賽的四支球隊的擊球手本壘打數量的偏差。
下面的直方圖顯示了每支球隊擊球手的本壘打分佈。
如果您對棒球有所了解，您就會知道道奇隊的異常值（50-55 支安打）和洋基隊的異常值（55-60 支安打）是誰。
以下是使用 Dodgers 範例在 JMP 中計算基尼係數和建立洛倫茲曲線的步驟。
1. 準備資料並建立計算公式
以下是上述直方圖的來源數據，包括「Homeruns」（本壘打數量）和「N」（人數）欄位。我們現在將使用公式建立以黃色顯示的列。
每個黃色欄位都應用了以下公式*。
- 「 Cum_N 」欄位：顯示累計人數百分比。用於洛倫茲曲線的水平軸。
- 「 Cum_Homeruns 」欄位：顯示本壘打的累積百分比。用於洛倫茲曲線的垂直軸。
- 「 GiniCoef 」欄位：根據梯形面積計算基尼係數。
所得的基尼係數為0.584。
*這些計算公式可以合併為一個公式，但為了更容易理解，我們特意使用了多列進行計算。
2. 建立洛倫茲曲線
使用「圖形產生器」使用新建立的欄位「Cum_N」和「Cum_Homeruns」建立折線圖。
這裡，可以透過右鍵點擊圖形，從出現的選單中選擇[自訂] ，然後編寫以下腳本來顯示45度線（黑色虛線）。
除了道奇隊之外，我們還對洋基隊、大都會隊和衛報隊進行了相同的計算，洛倫茲曲線的結果如下所示。
在洛倫茲曲線中，曲線越向下，偏差越大。您可以看到，與其他三支球隊相比，守護者隊（紅線）的偏差較小。如果你還在看基尼係數，道奇隊、洋基隊、大都會隊和衛報隊是最偏的。
進入世界職業棒球大賽的道奇隊和洋基隊的某些球員打出了壓倒性的大量本壘打，這是偏見的一個主要因素。
在本部落格中，我們展示了一個使用基尼係數和洛倫茲曲線來視覺化和量化 MLB 本壘打數量偏差的範例。此方法不僅可應用於經濟、社會領域，還可應用於體育等領域的數據分析。
請參閱本部落格所附計算四支球隊基尼係數的 JMP 資料表 (MLB2024_4teams.jmp)。
作者：Naohiro Masukawa（JMP 日本）
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